北师大版八上 7.4 平行线的性质 教案

7.4
平行线的性质
【教学目标】
1.经历探索平行线的性质定理的过程,获得证明的体验.
2.掌握平行线的性质定理,并能够应用平行线的性质定理解决一些问题.
【重点难点】
●重点:掌握推理和有条理的表达能力.
●难点:反证法.
【教法与学法】
●教法:通过画图操作,探究讨论,启发、引导学生学习本课内容.
●学法:观察、讨论、交流、归纳、应用,通过课堂讨论和练习掌握新知识.
【教学过程】
一、情境引入
提出问题:
1.平行线的判定方法有哪三种?它们是先知道什么,后知道什么?
2.已知直线AB及其外一点P,画出过点P的AB的平行线.
3.根据同位角相等可以判定两直线平行,反过来如果两直线平行同位角之间有什么关系呢?内错角,同旁内角之间又有什么关系呢?
二、互动新授
【探究1】我们已知知道:两直线平行,同位角相等.如何证明这个性质呢?
同学们,我们证明定理的步骤是什么?
学生稍加回忆,就能回答:画图,根据图形写出已知、求证,设法证明.
那么,平行线的这个性质的图形该怎么画,如何写已知、求证?
学生自主探究、交流讨论之后,可以得到:
教材图7-8
已知:如教材图7-8,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB被直线EF截出的同位角.
求证:∠1=∠2.
该如何证明呢?今天介绍一个特别的方法——反证法.
证明:假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2.如教材图7-9所示.
根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD.
又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线a与GH都与直线b平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
教材图7-9
这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.
由此,我们证明了以下的定理.
定理:两直线平行,同位角相等.
有时,直接证明很困难,我们就证明命题的另一面不成立.也就是假设结论的反面不成立,推导出与已知条件、定理、基本事实矛盾,那么假设不成立,原命题成立.
【探究2】我们可以证明其他两条性质吗?
学生可以自己画出图形,写出已知、求证.
通过自主交流、同伴互助,学生基本可以口述定理证明的过程.教师规范地板书.
已知:如右图,直线a∥b,∠1和∠2,∠2和∠3分别是直线a,b被直线c截出的内错角、同旁内角.
求证:∠1=∠2,∠2+∠3=180°.
解:∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵∠1=∠4(对顶角相等),
∴∠2=∠4(等量代换).
∵∠1+∠3=180°(邻补角定义),
∴∠2+∠3=180°(等量代换).
因此可以得到:
平行线的性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.
简单说成:两直线平行,内错角相等.
平行线的性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简单说成:两直线平行,同旁内角互补.
【想一想】完成一个命题的证明,有哪些主要环节?
学生交流讨论后,可以说出下列的部分环节,教师补充.
(1)根据命题,找出命题的条件和结论;
(2)根据命题画出图形,写出已知、求证;
(3)从已知条件出发,根据基本事实、定义、等式性质等,演绎推理出结论.
【思考】平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系?
条件和结论的互换.平行线的性质定理是已知两直线平行,得到角的关系;而判定定理是已知角的关系,得到两直线平行.
【设计意图】通过探究平行线性质定理的证明,理解证明的环节,其中反证法是个难点,对学生不要要求太高,让学生了解还有这样的证明方法就可以了.通过定理证明,要引导学生如何从已知条件演绎推理到结论.同时培养学生有条理的表达能力.
三、例题讲解
【例1】如图,已知AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A∶∠ABC=2∶1,则么ADB=　　　　.?
解析:利用AD∥BC,可以建立∠A与∠ABC之间的一种关系,利用∠A∶∠ABC=2∶1,又可建立它们的另一种关系,从而发现更多的已知角.
【例2】如图所示,DE、BE分别为∠BDC,∠DBA的角平分线,且∠DEB=∠1+∠2,求证(1)AB∥CD;(2)∠DEB=90°.
解析:(1)欲证AB∥CD,就应该设法去找同位角、内错角相等,或同旁内角互补,本题直接去证∠CDB与∠ABD互补有些困难,而∠1+∠2=∠DEB,若以E点为顶点,DE为一边在∠DEB的内部作∠DEF=∠2,则可构造EF∥CD,由角平分线不难证明EF∥BA,即EF∥DC,EF∥AB,故可证AB∥CD.
(2)由(1)证得AB∥CD后,由同旁内角互补易证,∠1+∠2=90°,可得∠DEB=90°.
四、巩固练习
1.加图,直线a、b被直线c所截,下列说法正确的是
(　　)
A.当∠1=∠2时,一定有a∥b
B.当a∥b时,一定有∠1=∠2
C.当a∥b时,一定有∠1+∠2=90°
D.当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b
2.如图所示,已知BD平分∠ABC,点E在BC上,EF∥AB,若∠CEF=100°,则么ABD的度数为
(　　)
A.60°　　B.50°　　C.40°　　D.30°
3.如图,AD∥BC,∠A=135°,∠C=65°,求:∠B+∠D的度数.
五、课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获?
本节课主要学习了:
1.完成一个命题的证明,有下列主要环节:
(1)根据命题,找出命题的条件和结论;
(2)根据命题画出图形,写出已知、求证;
(3)从已知条件出发,根据基本事实、定义、等式性质等,演绎推理出结论.
2.学行线的性质.
【布置作业】
教材习题7.5.
【板书设计】
4　平行线的性质
1.平行线的性质1
2.平行线的性质2
3.平行线的性质3
【教学反思】
“平行线的性质”与“平行线的判定”互为逆命题,学生很容易混淆.要区分平行线的性质定理与判定定理的关键是区分已知条件是什么,已知条件是两直线平行的,是性质定理,已知条件是角相等或者互补的,是判定定理.当学生区分清楚平行线的判定和性质之后;就可以开始系统训练说理能力了.