北师大版八上 7.2 定义与命题 教案

7.2
定义与命题
【教学目标】
1.知道命题、真命题、假命题、定理的含义,会区分命题的条件和结论,会把一些简单命题改写成“如果……那么……”的形式.
2.经历探索定理证明的过程,获得探索数学结论的体验,进一步发展学生的探究、分析、归纳与交流能力.
3.掌握定理证明的方法,会运用公理、定理及其推论进行简单的证明.
【重点难点】
●重点:知道命题、真命题、假命题、定理的含义,会区分命题的条件和结论,及探索证明定理的过程.
●难点:能区分命题的条件和结论,会把一些简单命题改写成“如果……那么……”的形式,及如何证明定理.
【教法与学法】
●教法:通过探究讨论,启发、引导学生学习本课内容.
●学法:观察、讨论、交流、归纳、应用.通过课堂讨论和练习掌握新知识.
【教学过程】
一、情境引入
我们在生活中经常遇到一些名词,如“中华人民共和国公民”,“正三角形”,“相似三角形”等,它们到底是什么意思呢?
二、互动新授
【定义】为了交流的方便,必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.
如:“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义.
“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.
“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义.
“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形”是“多边形,的定义.
“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”是“等腰三角形”的定义.
你还能举出一些定义吗?
【议一议】下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断,哪些没有?与同伴进行交流.
(1)任何一个三角形一定有一个角是直角;
(2)对顶角相等;
(3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数;
(4)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
(5)你喜欢数学吗?
(6)作线段AB=CD.
学生经过思考,自主探究,与同伴交流,借助语文的经验,可以得到正确的结论.
教师指出:判断一件事情的句子,叫做命题.例如,上面“议一议”中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断,都是命题.
如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.
你能判断“议一议”中哪些是命题吗?
学生思考,交流之后,可以知道,“议一议”中的(5)(6)都不是命题.
【想一想】观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征?与同伴进行交流.
(1)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;
(2)如果a=b,那么a2=b2;
(3)如果两个三角形中有两边和一个角对应相等,那么这两个三角形全等.
一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
教师说明:正确的命题称为真命题.不正确的命题称为假命题.
如果要证明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例.
【想一想】如何证明一个命题是真命题?
(1)能否用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法证明?
(2)能不能根据已经知道的真命题证实呢?
学生通过探究、讨论、交流,可以达成共识:
(1)这些方法往往不可靠.
(2)已知知道的真命题又该如何证实?
其实,在数学发展史上,数学家们也遇到过类似的问题.古希腊数学家欧几里得解决了这个问题.
挑选一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据,其中的数学名词称为原名,公认的真命题称为公理.
除了公理外,其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.
演绎推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理.
每个定理只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
我们已经学过的公理有:
(1)两点确定一条直线.
(2)两点之间线短最短.
(3)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(4)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
(5)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
(6)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
(7)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
(8)三边分别相等的两个三角形全等.
说明:此外,数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质、以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
等量代换:如果a=b,b=c,那么a=c.
【探讨】我们可以证明已经探索过的结论有哪些?
学生通过讨论交流,回忆已经探索过的结论.
定理:同角(或等角)的补角相等.
定理:同角(或等角)的补角相等.
定理:三角形的两边之和大于第三边.
【设计意图】通过讨论、交流,理解演绎推理的基础,知道已经认识的公理,了解证明的依据.为以后证明定理做准备.
三、例题讲解
【例1】下列句子是命题的是
(　　)
A.作线段AB=a　　　B.a与b谁大
C.洪水滔滔
D.法轮功是邪教
解析:判断一件事情的句子叫命题.命题的定义包含两层含义:①命题必须是一个句子;②这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断.注意命题与判断的结果是否正确没有关系.
【例2】指出下列命题的条件和结论:
(1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行;
(3)等角的补角相等;
(4)平行四边形的对边相等.
解析:对于条件和结论不十分分明的命题,我们可以先把它改写成“如果……那么……”的形式,再找出条件和结论.由于命题的改法不唯一,所以它的条件和结论也不唯一.如命题(3),还可以改写成“如果两个角相等,那么这两个角的补角相等”.对应的,条件:两个角相等;结论:这两个角的补角相等.
【例3】判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题,举出一个反例.(1)对顶角相等;(2)相等的角是对顶角;(3)大于直角的角是钝角;(4)若a≠b,则a2≠b2.
解析:举反例是判定一个命题是假命题的常用方法.
四、巩固练习
1.下列命题中,属于定义的是
(　　)
A.两点确定一条直线
B.同角或等角的余角相等
C.两直线平行,内错角相等
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
2.下列语句中,是命题的是
(　　)
A.高高的山
B.你好吗
C.同位角相等
D.直线AB上取一点C
3.下列命题是假命题的是
(　　)
A.锐角小于90°
B.平角等于两直角
C.若a>b,则a2>b2
D.若a2≠b2,则a≠b
4.如果三角形的两边长分别为3和5,第三边长是偶数,则第三边长可以是
(　　)
A.2
B.3
C.4
D.8
5.下列各命题的条件是什么?结论是什么?
(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角.
(2)如果a>b,b>c,那么a=c.
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
五、课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获?
本节课主要学习了.
1.真命题、假命题的定义.
2.公理、定理的定义.
3.已学过的公理、定理.
【布置作业】
教材习题7.2及习题7.3.
【板书设计】
2　定义与命题
1.真命题、假命题
2.公理、定理
3.已经学过的公理、定理
【教学反思】
定理证明是初中几何的重点内容之一,对学生的分析能力、逻辑思维能力、化归能力的培养与训练,起重要的作用.本课主要说明了公理、定理的来源,以及为什么要证明定理,怎样证明定理,为以后研究平行线的性质与判定提供了必要的知识准备.初中学生的注意力还是比较容易分散的,证明定理对逻辑思维要求比较高,因此,生动形象的语言和宽松活动的气氛可以帮助他们接受新知识.