人教A版（2019）必修第一册 第二章2.3二次函数与一元二次方程、不等式 同步练习
一、单选题
1．（2019高一下·上杭月考）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式x2>1，
移项得：x2﹣1>0，
因式分解得：（x+1）（x﹣1）>0，
则原不等式的解集为{x|x＜-1或x>1}．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出不等式的解集。
2．（2019·浙江）一元二次不等式x(9-x)>0的解集是（ ）
A．{x|x<0或x>9} B．{x|0C．{x|x<-9或x>0} D．{x|-9【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为x(x-9)<0，方程的两个根为0和9，方程开口向上则满足不等式的解集为 {x|0故答案为：B
【分析】首先整理为一元二次不等式的标准形式，开口向上再结合一元二次函数图象的性质求出满足题意得不等式的解集即可。
3．（2019高一下·江门月考）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 或 ，
即原不等式的解集为
故答案为：A
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出不等式解集。
4．（2019高一下·安庆期末）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式 可以因式分解为 ，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为 ，
故答案为：
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出解集。
5．（2019高二下·丰台期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由题得 、2为方程 的根，
将 代入 ，得 ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法结合根满足一元二次方程，利用代入法求出 的值。
6．（2020高一下·元氏期中）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】原不等式可化为： ，即 ， ，
所以原不等式解集为 ．
故答案为：C．
【分析】先化不等式的二次项系数为正，因式分解确定对应方程的根，然后结合二次函数性质写出解集．
7．（2017高一下·保定期末）不等式组 的解集是（ ）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|1＜x≤3}
C．{x|﹣1＜x≤0} D．{x|x≥3或x＜1}
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解析：原不等式相当于不等式组
不等式①的解集为{x|﹣1＜x＜1}，
不等式②的解集为{x|x＜0或x＞3}．
因此原不等式的解集为{x|x＜0或x＞3}∩{x|﹣1＜x＜1}={x|﹣1＜x≤0}
故答案为{x|﹣1＜x≤0}
故答案为：C．
【分析】利用一元二次不等式的解法求出①、②的解集，原不等式组的解集为两个解集的交集。
8．（2019高一上·葫芦岛月考）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】原不等式可化为 ，
即 ，
故其解集为 .
故答案为：B
【分析】原不等式可化为 ,再解不等式即得解.
9．（人教新课标A版必修5数学3.2 一元二次不等式及其解法同步检测）若不等式x2+ax+1≥0对一切 x∈（0，] 成立，则a的最小值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．- D．﹣3
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x= -
若 - ≥ ，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0， 〕上是减函数，
应有f（ ）≥0 ﹣ ≤a≤﹣1
若 - ≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0， 〕上是增函数，
应有f（0）=1＞0恒成立，
故a≥0
若0≤ - ≤ ，即﹣1≤a≤0，
则应有f（ - ）= 恒成立，
故﹣1≤a≤0
综上，有﹣ ≤a．
故选C
【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0， ]恒成立，只要f（x）在区间（0， ]上的最小值大于等于0即可得到答案．
10．（2019高一下·滁州月考）当x∈R时，不等式kx2-kx+1>0恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．（0，+∞) B．[0，+∞) C．[0，4) D．（0，4）
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：由题知当k=0时，原不等式变为1>0恒成立，所以k=0满足题意；当k≠0时，若不等式 kx2-kx+1>0 恒成立，则有函数f(x)= kx2-kx+1的图象开口向上且图象均落在x轴上方，所以有k>0且，解得0故答案为：C
【分析】利用一元二次函数的图象和性质结合一元二次不等式的解法即可得出结果。
二、填空题
11．（2019高一下·南海月考）不等式 的解集是 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 得： ，解得：
故答案为：
【分析】将分式不等式转化为整式不等式，即可得到不等式的解集.
12．（2018高一下·六安期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式 的解集为 ，则方程 的根为 ，由韦达定理可知： ， ，所以不等式 为 ，所以解集为 .
【分析】首先由不等式的解集求出a，c的值，代入其中，再由一元二次不等式的解法，即可得出答案。
13．（2018高一上·上海期中）已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是 。
【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】∵不等式 的解集是 ，
∴4和5是方程 =0的两个实数根，
∴ ，解得m=﹣9，n=﹣20，
∴不等 即为：20x2+9x+1＜0，
解方程20x2+9x+1=0，得x1= ，x2= ，
∴不等式 的解集为 ．
故答案为：
【分析】首先根据题意得知4和5是方程 =0的两个实数根，利用韦达定理得出m，n的值，代入所求不等式中求解即可。
14．（2019高一下·江门月考）对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式的实际应用
【解析】【解答】根据题意，m需满足方程 =0无解，即 ，
故答案为： .
【分析】利用不等式恒成立问题的解决方法结合方程无解与判别式的关系求出m的取值范围。
三、解答题
15．（2019高一上·伊春期中）解下列不等式:
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
因式分解得：
故 或
解得 或无解
故不等式的解集为：
（2）解：
配方得
故
即
故不等式的解集为：
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将不等式变形，左边因式分解得到 ，然后分类讨论即可。（2）将不等式变形，左边配方可得 ，只要使 即可。
16．（2017高二上·日喀则期中）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[ ]，求不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集．
【答案】解：不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[ ]，
∴﹣ ，﹣ 是方程ax2﹣bx﹣1=0的两个实数根，
所以 ，解得a=﹣6，b=5；
所以不等式x2﹣bx﹣a＜0化为x2﹣5x+6＜0，
解得2＜x＜3，
所以所求不等式的解集为{x|2＜x＜3}
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】利用韦达定理可求出a，b的值，进而可得到新的不等式，解得即可。
17．（2019高一下·上杭月考）已知函数
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： 即 ，
，（ⅰ）当 时，不等式解集为 ；
（ⅱ）当 时，不等式解集为 ；
（ⅲ）当 时，不等式解集为 ，
综上所述，（ⅰ）当 时，不等式解集为 ；
（ⅱ）当 时，不等式解集为 ；
（ⅲ）当 时，不等式解集为 .
（2）解：对任意的 恒成立，即 恒成立，即对任意的 ， 恒成立.
① 时，不等式为 恒成立，此时 ；
②当 时， ，
， ， ，
当且仅当 时，即 ， 时取“ ”, .
综上 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）利用函数的解析式结合分类讨论的方法，用一元二次不等式求解集的方法求出关于 的不等式 的解集。
（2） 对任意的 恒成立，即 恒成立，即对任意的 ， 恒成立，再利用不等式恒成立的求解方法结合均值不等式求最值的方法变形求出实数 的取值范围.
1 / 1人教A版（2019）必修第一册 第二章2.3二次函数与一元二次方程、不等式 同步练习
一、单选题
1．（2019高一下·上杭月考）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D． 或
2．（2019·浙江）一元二次不等式x(9-x)>0的解集是（ ）
A．{x|x<0或x>9} B．{x|0C．{x|x<-9或x>0} D．{x|-93．（2019高一下·江门月考）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019高一下·安庆期末）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019高二下·丰台期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．3
6．（2020高一下·元氏期中）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2017高一下·保定期末）不等式组 的解集是（ ）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|1＜x≤3}
C．{x|﹣1＜x≤0} D．{x|x≥3或x＜1}
8．（2019高一上·葫芦岛月考）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（人教新课标A版必修5数学3.2 一元二次不等式及其解法同步检测）若不等式x2+ax+1≥0对一切 x∈（0，] 成立，则a的最小值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．- D．﹣3
10．（2019高一下·滁州月考）当x∈R时，不等式kx2-kx+1>0恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．（0，+∞) B．[0，+∞) C．[0，4) D．（0，4）
二、填空题
11．（2019高一下·南海月考）不等式 的解集是 ．
12．（2018高一下·六安期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为 ．
13．（2018高一上·上海期中）已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是 。
14．（2019高一下·江门月考）对任意 ，都有 ，则实数 的取值范围是 .
三、解答题
15．（2019高一上·伊春期中）解下列不等式:
（1） ；
（2） .
16．（2017高二上·日喀则期中）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[ ]，求不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集．
17．（2019高一下·上杭月考）已知函数
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式x2>1，
移项得：x2﹣1>0，
因式分解得：（x+1）（x﹣1）>0，
则原不等式的解集为{x|x＜-1或x>1}．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出不等式的解集。
2．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：原不等式可化为x(x-9)<0，方程的两个根为0和9，方程开口向上则满足不等式的解集为 {x|0故答案为：B
【分析】首先整理为一元二次不等式的标准形式，开口向上再结合一元二次函数图象的性质求出满足题意得不等式的解集即可。
3．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 或 ，
即原不等式的解集为
故答案为：A
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出不等式解集。
4．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式 可以因式分解为 ，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为 ，
故答案为：
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出解集。
5．【答案】A
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由题得 、2为方程 的根，
将 代入 ，得 ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法结合根满足一元二次方程，利用代入法求出 的值。
6．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】原不等式可化为： ，即 ， ，
所以原不等式解集为 ．
故答案为：C．
【分析】先化不等式的二次项系数为正，因式分解确定对应方程的根，然后结合二次函数性质写出解集．
7．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解析：原不等式相当于不等式组
不等式①的解集为{x|﹣1＜x＜1}，
不等式②的解集为{x|x＜0或x＞3}．
因此原不等式的解集为{x|x＜0或x＞3}∩{x|﹣1＜x＜1}={x|﹣1＜x≤0}
故答案为{x|﹣1＜x≤0}
故答案为：C．
【分析】利用一元二次不等式的解法求出①、②的解集，原不等式组的解集为两个解集的交集。
8．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】原不等式可化为 ，
即 ，
故其解集为 .
故答案为：B
【分析】原不等式可化为 ,再解不等式即得解.
9．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x= -
若 - ≥ ，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0， 〕上是减函数，
应有f（ ）≥0 ﹣ ≤a≤﹣1
若 - ≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0， 〕上是增函数，
应有f（0）=1＞0恒成立，
故a≥0
若0≤ - ≤ ，即﹣1≤a≤0，
则应有f（ - ）= 恒成立，
故﹣1≤a≤0
综上，有﹣ ≤a．
故选C
【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0， ]恒成立，只要f（x）在区间（0， ]上的最小值大于等于0即可得到答案．
10．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：由题知当k=0时，原不等式变为1>0恒成立，所以k=0满足题意；当k≠0时，若不等式 kx2-kx+1>0 恒成立，则有函数f(x)= kx2-kx+1的图象开口向上且图象均落在x轴上方，所以有k>0且，解得0故答案为：C
【分析】利用一元二次函数的图象和性质结合一元二次不等式的解法即可得出结果。
11．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 得： ，解得：
故答案为：
【分析】将分式不等式转化为整式不等式，即可得到不等式的解集.
12．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式 的解集为 ，则方程 的根为 ，由韦达定理可知： ， ，所以不等式 为 ，所以解集为 .
【分析】首先由不等式的解集求出a，c的值，代入其中，再由一元二次不等式的解法，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】∵不等式 的解集是 ，
∴4和5是方程 =0的两个实数根，
∴ ，解得m=﹣9，n=﹣20，
∴不等 即为：20x2+9x+1＜0，
解方程20x2+9x+1=0，得x1= ，x2= ，
∴不等式 的解集为 ．
故答案为：
【分析】首先根据题意得知4和5是方程 =0的两个实数根，利用韦达定理得出m，n的值，代入所求不等式中求解即可。
14．【答案】
【知识点】一元二次不等式的实际应用
【解析】【解答】根据题意，m需满足方程 =0无解，即 ，
故答案为： .
【分析】利用不等式恒成立问题的解决方法结合方程无解与判别式的关系求出m的取值范围。
15．【答案】（1）解：
因式分解得：
故 或
解得 或无解
故不等式的解集为：
（2）解：
配方得
故
即
故不等式的解集为：
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）将不等式变形，左边因式分解得到 ，然后分类讨论即可。（2）将不等式变形，左边配方可得 ，只要使 即可。
16．【答案】解：不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是[ ]，
∴﹣ ，﹣ 是方程ax2﹣bx﹣1=0的两个实数根，
所以 ，解得a=﹣6，b=5；
所以不等式x2﹣bx﹣a＜0化为x2﹣5x+6＜0，
解得2＜x＜3，
所以所求不等式的解集为{x|2＜x＜3}
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】利用韦达定理可求出a，b的值，进而可得到新的不等式，解得即可。
17．【答案】（1）解： 即 ，
，（ⅰ）当 时，不等式解集为 ；
（ⅱ）当 时，不等式解集为 ；
（ⅲ）当 时，不等式解集为 ，
综上所述，（ⅰ）当 时，不等式解集为 ；
（ⅱ）当 时，不等式解集为 ；
（ⅲ）当 时，不等式解集为 .
（2）解：对任意的 恒成立，即 恒成立，即对任意的 ， 恒成立.
① 时，不等式为 恒成立，此时 ；
②当 时， ，
， ， ，
当且仅当 时，即 ， 时取“ ”, .
综上 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）利用函数的解析式结合分类讨论的方法，用一元二次不等式求解集的方法求出关于 的不等式 的解集。
（2） 对任意的 恒成立，即 恒成立，即对任意的 ， 恒成立，再利用不等式恒成立的求解方法结合均值不等式求最值的方法变形求出实数 的取值范围.
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