《功》、《功率》学案
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7.2 功 学案（人教版必修2）
基础知识：
1．一个物体受到______的作用，如果在力的方向上发生了一段________，这个力就对物
体做了功．做功的两个不可缺少的因素：______和在力的方向上发生的__________．功
的公式：____________，功的单位：________，符号是______．功是______(矢、标)量．
2．功的公式：
3．对功的理解：
(1)
(2)
(3)
(4)
4．总功的计算：总功的计算有如下方法
(1)W合＝____________(α为F合与位移l的夹角)．
(2)W合＝WF1＋WF2＋…＋WFn(即总功为各个分力所做功的____________)．
5．在下面哪些情况下，人对书本的作用力F做了功( )
A．F竖直向上，书本保持静止
B．F竖直向上，人与书本沿水平方向匀速运动
C．F沿水平方向，书本保持静止
D．F竖直向上，人与书本竖直向上做匀速运动
6．足球运动员飞起一脚用60 N的力将足球踢出，足球沿草地运动了40 m后停止运动，
关于运动员对足球做功的情况，下列说法正确的是( )
A．运动员对足球做功2 400 J
B．运动员对足球没有做功
C．运动员对足球做了功，但无法确定其大小
D．以上说法都不对
7．一个力对物体做了负功，则说明( )
A．这个力一定阻碍物体的运动
B．这个力不一定阻碍物体的运动
C．这个力与物体运动方向的夹角α>90°
D．这个力与物体运动方向的夹角α<90°
图1
8．如图1所示，两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，物体通过
一段位移时，力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 J，则力F1和F2的合力对物体做
功为( )
A．7 J B．1 J
C．5 J D．3.5
【概念规律练】
知识点一 功的理解
1．下列关于做功的说法中正确的是( )
A．凡是受力的作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，就一定有力对物体做功
D．只要物体受力且在力的方向上发生了位移，就一定有力对物体做功
2．用水平恒力F作用于质量为M的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距
离l，恒力做功为W1.再用该恒力作用于质量为m(m上移动同样距离l，恒力做功为W2，则两次恒力做功的关系是( )
A．W1>W2 B．W1C．W1＝W2 D．无法判断
知识点二 功的正负
3．下列说法中正确的是( )
A．功是矢量，正、负表示方向
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．力对物体做正功还是做负功，取决于力和位移的方向关系
D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
知识点三 公式W＝Flcos α的应用
4．如图所示，一个人用与水平方向成60°的力F＝40 N拉一木
箱，在水平地面上沿直线匀速前进了8 m，则
(1)拉力F对木箱所做的功是________ J.
(2)摩擦力对木箱所做的功是________ J.
(3)外力对木箱所做的总功是________ J.
5．如图所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上的质量为m的物体，由静 止开始运动时间t，
拉力F斜向上与水平面夹角为θ＝60°.如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况
下，可以将( )
A．拉力变为2F
B．时间变为2t
C．物体质量变为
D．拉力大小不变，但方向改为与水平面平行
【方法技巧练】
一、合力的功的计算
6．如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面
的动摩擦因数为μ.现使斜面水平向左匀速移动距离l.试求：
(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功；
(4)斜面对物体做的功是多少？各力对物体所做的总功是多少？
二、变力做功的计算方法
7. 人在A点拉着细绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图
所示，开始时绳与水平方向夹角为60°，当人匀速拉着重物由A点沿
水平方向运动s＝2 m到达B点时绳与水平方向成30°.求人对绳的拉力
做了多少功？(g取10 m/s2)
参考答案
5．D
6．C [足球运动员对足球做功，足球发生运动，但60 N的力与40 m的位移不对应同一过程，故无法确定功的大小，选C.]
7．AC [力对物体做负功，说明该力对物体来说是阻力，其方向与物体运动方向的夹角大于90°，故选A、C.]
8．A [合力做的功等于它的各个分力做功的代数和，即4 J＋3 J＝7 J．]
课堂探究练
1．D [做功的两个必要条件是：力和物体在力的方向上发生的位移，也就是说，只有力或只有位移，是不符合做功条件的，故A、B错误；若物体发生位移的同时也受力的作用，但力与位移垂直时，此力并不做功，故C错，D对．]
2．C [在粗糙水平面上移动的距离跟在光滑水平面上移动的距离相同，对力F做的功来说，是相同的，即W1＝W2＝Fl.]
点评 求功时，必须要明确哪个力在哪个过程中的功．根据功的定义，力F所做的功只与F的大小及在F方向上发生的位移大小有关，与物体是否受其他力及物体的运动状态等其他因素均无关．
3．BCD [理解功的概念，功有正、负之分，但功是标量，此处易误解．]
4．(1)160 (2)－160 (3)0
解析 (1)拉力F对木箱所做的功为W1＝Flcos 60°＝40×8× J＝1.6×102 J.
(2)摩擦力Ff对木箱所做的功为W2＝Fflcos 180°＝Fcos 60°·lcos 180°＝40××8×(－1) J＝－1.6×102 J.
(2)外力对木箱做的总功为W＝W1＋W2＝1.6×102 J＋(－1.6×102 J)＝0或者F合＝0(因为匀速直线运动)，W＝F合·l＝0.
点评 求恒力做功的关键是找准力F、位移l、夹角α，再应用公式W＝F合·l＝0求解即可．
5．ABD [本题要讨论的是恒力做功的问题，所以选择功的计算公式，要讨论影响做功大小的因素变化如何影响功的大小变化，比较快捷的思路是先写出功的通式，再讨论变化关系．
位移l＝at2＝t2，W＝Fl·cos 60°＝t2，当F′＝2F时，W′＝4W，当t′＝2t时，W′＝4W；当m′＝m时，W′＝2W；当θ＝0°时，W′＝4W，由此可知，C错，A、B、D对．]
6．见解析
解析 物体受力情况如图所示，
物体受到重力mg，摩擦力Ff和支持力FN的作用，物体相对斜面静止，物体相对地面水平向左匀速移动l，这些力均为恒力，故可用W＝Flcos α计算各力的功．根据物体平衡条件，可得Ff＝mgsin θ，FN＝mgcos θ，
(1)WFf＝Ff·lcos (180°－θ)＝－mglsin θ·cos θ.
(2)WFN＝FN·lcos (90°－θ)＝mglsin θ·cos θ.
(3)WG＝G·lcos 90°＝0.
(4)FN与Ff的合力与G等大反向，即物体所受斜面的力对物体做功为0，或WFN＋WFf＝0.
合力对物体做的总功W总＝WG＋WFf＋WFN
＝0＋(－mglsin θcos θ)＋mglsin θcos θ＝0，
或物体受力平衡，F合＝0，则W总＝F合lcos θ＝0.
方法总结 计算几个力的总功，通常有以下两种不同的处理方法：
(1)虽然力、位移都是矢量，但功是标量，所以几个力的总功等于各个力所做功的代数和．若以W1、W2、W3……Wn分别表示力F1、F2、F3…Fn所做的功(含正功与负功)，则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3＋…Wn.
(2)求出物体所受的合外力，根据公式W合＝F合lcos α求合外力做的功，则物体所受的外力做的总功为W总＝W合＝F合lcos α.
7．732 J
解析 设滑轮距地面的高度为h，则
h(cot 30°－cot 60°)＝s
人由A走到B的过程中，重物G上升的高度Δh等于滑轮右侧绳子增加的长度，即
Δh＝－
人对绳子做的功为：W＝GΔh
代入数据可得：W≈732 J.
方法总结 求变力做功的方法有以下几种：
(1)平均值法：当力F的大小发生变化，但F、l成线性关系时，可以代入F的平均值计算F做的功．
(2)图象法：变力做的功W可用F－l图线中所包围的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做的正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做的负功的多少．
(3)分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．
(4)化变为恒法：有时候表面看起来是变力做功，但是经过适当变换可以转换成恒力做功．
第3节 功 率
●导学天地
学法指导
在物理学中，我们用功率来表示做功的快慢.我们用比值法即功W跟完成这些功所用时间t的比值定义功率，在我们物理学中还有很多用比值法定义的物理量，同学们可以总结一下.另外，我们又推导出功率与力、速度的关系式P=Fv，注意两个公式P=W/t和P=Fv的区别与联系.
自主学习
知识梳理 自主探究
1.功率的概念（1）在物理学中做功的快慢用 表示.功W跟完成这些功所用时间t的比值，叫做功率，公式 .（2）功率的单位：在国际单位制中功率的单位是 ，另外常用单位还有 .（3）P=实际上是一段时间内的 .（4）额定功率是指电动机、内燃机等动力机械正常条件下可以长时间工作的最大功率.实际输出功率往往 这个数值，但在特殊情况下，如汽车越过障碍时，可以使实际功率大于额定功率.2.功率与速度（1）功率也可以用力和速度来表示，作用力方向与速度方向相同时，P= ，F恒定时，v是平均速度时，功率P指的是 ，若v是瞬时速度，则功率P指的是 .（2）从P=Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成 ，要增大牵引力，就要 . 1.若两台起重机在不同时间内做了不同的功，我们怎样比较它们做功的快慢？2.你能结合发动机的实际功率不能无限增大，分析汽车在行驶过程中，如果遇到爬坡或者泥泞路面，就会通过换挡的方式来降低速度的原因吗？
理解升华
重点、难点、疑点解析
1.对功率定义的理解
功率是用功W跟完成这些功所用时间t的比值来定义的，即P=W/t，功率表示物体做功的快慢，功率的大小与功W的大小和时间t的长短无关.
【例释】 小王把一个10 kg的物体在2 min内提到4楼做功960 J；小李把一个20 kg的物体在5 min内提到4楼做功2 000 J.两人比较谁的功率较大？
解析： 根据功率的定义可得小王的功率P1= W=8 W，小李的功率P2= W=6.67 W.虽然小李做的功多，但小王的功率较小李的大，原因就是功率是用功W与所用时间t的比值来定义的.
答案： 见解析
2.公式P=Fv的适用条件
当物体沿位移方向受的力为F时，从计时开始到时刻t这段时间内，发生的位移为l，则力F在该时间内所做的功W=Fl，再有P=得P=，而=v，即最后得到P=Fv，式中v为平均速度，与位移l同向，即F、v同向.综上分析在F、v同向时可用该公式计算功率.当F、v之间有一夹角θ时，P=Fvcos θ，同学们有兴趣可自己推导.
3.公式P=和P=Fv的比较
功率的定义式计算的是在一段时间内的平均功率；在公式P=Fv中，若v为平均速度则计算出的功率为该段时间内的平均功率，若v为某一时刻的瞬时速度，则计算出的结果为该时刻的瞬时功率.
4.汽车启动时两种典型情况
（1）汽车在平直路面上保持发动机功率（即牵引力的功率）不变，即以恒定功率启动，其加速过程如表所示：
设牵引力为F，所受阻力为F1
由表可分析知：①只有当汽车的牵引力与所受阻力大小相等时，才达到最大速度.
②在加速过程中，加速度是变化的，如果知道某时刻的速度，可求得此时刻的加速度.
③该方式启动过程中速度随时间的变化图象如图7-3-1所示.
（2）汽车匀加速启动，其过程分析如表所示：
由表可分析知：①汽车匀加速启动，当达到额定功率时，并没有达到最大速度，此后将保持功率不变做变加速运动，当牵引力与阻力大小相等时，才达到最大速度而匀速行驶.
②该过程的v-t图象如图7-3-2所示.
综上，汽车无论以哪种方式启动，最终都以额定功率行驶.遇到上坡或泥泞路时，为了增大牵引力F，由公式P=Fv，可增大P或减小v，而实际功率大于额定功率时，对发动机有害，则只能换低挡来解决问题.
例题评析
应用点一：平均功率和瞬时功率的计算
例1：质量为2 kg的物体，受到24 N竖直向上的拉力，由静止开始运动，经过5 s，求5 s内拉力对物体所做的功是多少？5 s内拉力的平均功率及5 s末拉力的瞬时功率各是多少？（g取10 m/s2）
答案： 600 J 120 W 240 W
思维总结：公式P=W/t一般用来计算平均功率，而P=Fv若v为瞬时速度则可用来计算瞬时功率.应用时，注意公式的选择.
拓展练习1-1： 如图7-3-4所示，质量为m的物体，沿着长为L，倾角为α的光滑斜面，自顶端由静止滑到处，重力做功的瞬时功率为多少？在这一过程中，重力的平均功率为多少？
图7-3-4
应用点二：汽车启动问题
例2：质量为m=4.0×10 3 kg的汽车，发动机的额定功率为P=40 kW，汽车从静止以a=0.5 m/s2的加速度行驶，所受阻力Ff=2.0×103 N，则汽车匀加速行驶的最长时间为多少？汽车可能达到的最大速度为多少？
解析： 汽车匀加速行驶时，汽车发动机牵引力为F，则根据牛顿第二定律F-Ff=ma
F=ma+Ff=4.0×103×0.5+2.0×103 N=4.0×103 N
汽车匀加速运动过程的末速度v，则
P=Fv，v=P/F= m/s=10 m/s
根据运动学公式v=at得
t=v/a=s=20 s
当汽车加速度a=0时，汽车有最大速度vmax，
则vmax= m/s=20 m/s
答案： 20 s 20 m/s
误区警示：汽车匀加速启动时，匀加速运动过程中的末速度不是汽车运动过程中的最大速度.
拓展练习2-1： 质量为2 t的汽车，发动机输出的功率为30 kW，在水平公路上能达到最大速度为15 m/s，当汽车的速度为10 m/s时，其加速度为多大？
教材资料探究
教材第56页“说一说”
解答： 各种机器实际输出的功率常随时间变化，因此有平均功率与瞬时功率之分.P=W/t式中，实际上P就是这段时间t内力对物体做功的平均功率.我们可以利用极限思想来推导瞬时功率的表达式：当Δt很短时，P==Fv，v这时是瞬时速度，那么P也为该时刻的瞬时功率了.
教材第58页“做一做”
解答： 各种机械的功率列表
摩托车 1.6~1.8 kW
手扶拖拉机 2.2~8.8 kW
轮式或履带式拖拉机 8.8~55 kW
小轿车 66~162 kW
大客车 66~118 kW
一般载重汽车 55~88 kW
推土机 107~147 Kw
一般机车 1 470 kW
强力内燃机车 4 410 kW
万吨级远洋轮发动机 7 350 kW
重型运输直升飞机 4 780 kW
液体燃料火箭瞬时功率约 1010 Kw
同学们可根据上表来分析解答课本上的“做一做”中提到的问题.
自我反馈自主学习1.功率 P= 瓦特 千瓦 平均功率 小于2.Fv 平均功率 瞬时功率 反比 减小速度例题评析拓展练习1-1： mgsin α 拓展练习2-1： 0.5 m/s2
演练广场
夯实基础
1.关于功率，下列各种说法正确的是 （ ）
A.功率大说明物体做的功多
B.功率小说明物体做功慢
C.由P=W/t可知机器做功越多，其功率越大
D.单位时间内机器做功越多，其功率越大
2.关于功率以下说法中正确的是（ ）
A.据P=W/t可知，机器做功越多，其功率就越大
B.据P=Fv可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C.据P=W/t可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D.根据P=Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比
3.水平恒力F作用在一个物体上，使该物体沿光滑水平面在力的方向移动距离l，恒力F做的功为W1，功率为P1；再用同样的水平力F作用在该物体上，使该物体在粗糙的水平面上在力的方向上移动距离l，恒力F做的功为W2，功率为P2，下面哪个选项是正确的（ ）
A.W1＜W2，P1＞P2
B.W1＞W2，P1＞P2
C.W1=W2，P1＞P2
D.W1＜W2，P1＜P2
4.一位高中三年级的男生在平直的公路上以最快的速度匀速骑自行车，所受的阻力为车和人总重力的0.05倍，则该男生的功率接近于 （ ）
A.40 W B.100 W C.250 W D.1 000 W
5.汽车由静止启动即以加速度a做匀加速运动，则汽车达到额定功率时，汽车的速度 （ ）
A.同时达到最大值
B.还没有达到最大值
C.在没有达到额定功率前达到最大值
D.此后保持不变
6.汽车由静止开始运动，若要使汽车在开始运动的一小段时间内保持匀加速直线运动，则 （ ）
A.不断增大牵引力功率
B.不断减小牵引力功率
C.保持牵引力功率不变
D.不能判断牵引力功率怎样变化
7.如图7-3-6所示，小球被细线悬挂于O点，若将小球拉至水平后由静止释放，则在小球下摆到最低点的过程中，重力瞬时功率的变化情况是 （ ）
图7-3-6
A.减小
B.增加
C.先减小后增加
D.先增大后减小
8设飞机飞行中所受阻力与其速度的平方成正比，如飞机以速度v匀速飞行时，其发动机功率为P，则飞机以2v速度匀速飞行时，其发动机功率为 （ ）
A.2P B.4P C.8P D.无法确定
9.起重机的功率增大时，将同一重物举到同样高度所需时间比原来 （ ）
A.减小 B.增加 C.不变 D.不能确定
能力提升
10.一质量为m=2 kg的物体，从某一高度自由下落，设高度足够高，求第4 s末的重力的功率和第4 s内重力的平均功率.（g=10 m/s2）
11.人的心脏每跳一次大约输送8×10-5 m3的血液，正常人血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值约为1.5×104 Pa，心跳约每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率为多少？
12.某型号汽车发动机的额定功率为60 kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是1 800 N，求发动机在额定功率下，汽车行驶的速度为15 m/s时，汽车受到的牵引力大小和汽车行驶的最大速度.
13.某司机为确定他的汽车所载货物的质量，他采用如下方法：已知汽车自身的质量为3.2×103 kg，当汽车空载时，让汽车在平直公路上以额定功率行驶，从速度表上读出汽车达到的最大速度为150 km/h，当汽车载重时，仍让汽车在平直公路上以额定功率行驶，从速度表上再读出汽车达到的最大速度为80 km/h，设汽车行驶的阻力与总重力成正比，试根据以上提供的信息，求汽车所载货物的质量.
演练广场
1.BD 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A
10.解析：第4 s末物体的速度为
v4=gt4=10×4 m/s=40 m/s
所以第4 s末重力的功率为：
P4=mgv4=2×10×40 W=800 W
第3 s末物体的速度为：
v3=gt3=10×3 m/s=30 m/s
所以第4 s内物体的平均速度为
== m/s=35 m/s
故第4 s内重力的平均功率为
=mg=2×10×35 W=700 W.
答案：800 W 700 W
11.解析：设想人的血液是在一圆柱形血管中被输送，血管截面积为S，则作用力F=pS，血液被输送的距离d=，故每分钟内心脏做功
W=Fd=pS·=pV，做功的平均功率
== W=1.4 W.
答案：1.4 W
12.解析：由P=Fv知，F== N=4 000 N
由P=Fv，F=F阻，
得v== m/s=33.3 m/s.
答案：4 000 N 33.3 m/s
13.解析：以m、M分别表示汽车和货物的质量，以P表示汽车的额定功率，汽车行驶的阻力与总重力的比例系数为k，则P=kmgv，P=k（m+M）gv′，故M=m（v-v′）/v′=3.2×103×（150-80）/80 kg=2.8×103 kg.
答案：2.8×103 kg
基础知识：
1．一个物体受到______的作用，如果在力的方向上发生了一段________，这个力就对物
体做了功．做功的两个不可缺少的因素：______和在力的方向上发生的__________．功
的公式：____________，功的单位：________，符号是______．功是______(矢、标)量．
2．功的公式：
3．对功的理解：
(1)
(2)
(3)
(4)
4．总功的计算：总功的计算有如下方法
(1)W合＝____________(α为F合与位移l的夹角)．
(2)W合＝WF1＋WF2＋…＋WFn(即总功为各个分力所做功的____________)．
5．在下面哪些情况下，人对书本的作用力F做了功( )
A．F竖直向上，书本保持静止
B．F竖直向上，人与书本沿水平方向匀速运动
C．F沿水平方向，书本保持静止
D．F竖直向上，人与书本竖直向上做匀速运动
6．足球运动员飞起一脚用60 N的力将足球踢出，足球沿草地运动了40 m后停止运动，
关于运动员对足球做功的情况，下列说法正确的是( )
A．运动员对足球做功2 400 J
B．运动员对足球没有做功
C．运动员对足球做了功，但无法确定其大小
D．以上说法都不对
7．一个力对物体做了负功，则说明( )
A．这个力一定阻碍物体的运动
B．这个力不一定阻碍物体的运动
C．这个力与物体运动方向的夹角α>90°
D．这个力与物体运动方向的夹角α<90°
图1
8．如图1所示，两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，物体通过
一段位移时，力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 J，则力F1和F2的合力对物体做
功为( )
A．7 J B．1 J
C．5 J D．3.5
【概念规律练】
知识点一 功的理解
1．下列关于做功的说法中正确的是( )
A．凡是受力的作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，就一定有力对物体做功
D．只要物体受力且在力的方向上发生了位移，就一定有力对物体做功
2．用水平恒力F作用于质量为M的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距
离l，恒力做功为W1.再用该恒力作用于质量为m(m
A．W1>W2 B．W1
知识点二 功的正负
3．下列说法中正确的是( )
A．功是矢量，正、负表示方向
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．力对物体做正功还是做负功，取决于力和位移的方向关系
D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
知识点三 公式W＝Flcos α的应用
4．如图所示，一个人用与水平方向成60°的力F＝40 N拉一木
箱，在水平地面上沿直线匀速前进了8 m，则
(1)拉力F对木箱所做的功是________ J.
(2)摩擦力对木箱所做的功是________ J.
(3)外力对木箱所做的总功是________ J.
5．如图所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上的质量为m的物体，由静 止开始运动时间t，
拉力F斜向上与水平面夹角为θ＝60°.如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况
下，可以将( )
A．拉力变为2F
B．时间变为2t
C．物体质量变为
D．拉力大小不变，但方向改为与水平面平行
【方法技巧练】
一、合力的功的计算
6．如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面
的动摩擦因数为μ.现使斜面水平向左匀速移动距离l.试求：
(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功；
(4)斜面对物体做的功是多少？各力对物体所做的总功是多少？
二、变力做功的计算方法
7. 人在A点拉着细绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图
所示，开始时绳与水平方向夹角为60°，当人匀速拉着重物由A点沿
水平方向运动s＝2 m到达B点时绳与水平方向成30°.求人对绳的拉力
做了多少功？(g取10 m/s2)
参考答案
5．D
6．C [足球运动员对足球做功，足球发生运动，但60 N的力与40 m的位移不对应同一过程，故无法确定功的大小，选C.]
7．AC [力对物体做负功，说明该力对物体来说是阻力，其方向与物体运动方向的夹角大于90°，故选A、C.]
8．A [合力做的功等于它的各个分力做功的代数和，即4 J＋3 J＝7 J．]
课堂探究练
1．D [做功的两个必要条件是：力和物体在力的方向上发生的位移，也就是说，只有力或只有位移，是不符合做功条件的，故A、B错误；若物体发生位移的同时也受力的作用，但力与位移垂直时，此力并不做功，故C错，D对．]
2．C [在粗糙水平面上移动的距离跟在光滑水平面上移动的距离相同，对力F做的功来说，是相同的，即W1＝W2＝Fl.]
点评 求功时，必须要明确哪个力在哪个过程中的功．根据功的定义，力F所做的功只与F的大小及在F方向上发生的位移大小有关，与物体是否受其他力及物体的运动状态等其他因素均无关．
3．BCD [理解功的概念，功有正、负之分，但功是标量，此处易误解．]
4．(1)160 (2)－160 (3)0
解析 (1)拉力F对木箱所做的功为W1＝Flcos 60°＝40×8× J＝1.6×102 J.
(2)摩擦力Ff对木箱所做的功为W2＝Fflcos 180°＝Fcos 60°·lcos 180°＝40××8×(－1) J＝－1.6×102 J.
(2)外力对木箱做的总功为W＝W1＋W2＝1.6×102 J＋(－1.6×102 J)＝0或者F合＝0(因为匀速直线运动)，W＝F合·l＝0.
点评 求恒力做功的关键是找准力F、位移l、夹角α，再应用公式W＝F合·l＝0求解即可．
5．ABD [本题要讨论的是恒力做功的问题，所以选择功的计算公式，要讨论影响做功大小的因素变化如何影响功的大小变化，比较快捷的思路是先写出功的通式，再讨论变化关系．
位移l＝at2＝t2，W＝Fl·cos 60°＝t2，当F′＝2F时，W′＝4W，当t′＝2t时，W′＝4W；当m′＝m时，W′＝2W；当θ＝0°时，W′＝4W，由此可知，C错，A、B、D对．]
6．见解析
解析 物体受力情况如图所示，
物体受到重力mg，摩擦力Ff和支持力FN的作用，物体相对斜面静止，物体相对地面水平向左匀速移动l，这些力均为恒力，故可用W＝Flcos α计算各力的功．根据物体平衡条件，可得Ff＝mgsin θ，FN＝mgcos θ，
(1)WFf＝Ff·lcos (180°－θ)＝－mglsin θ·cos θ.
(2)WFN＝FN·lcos (90°－θ)＝mglsin θ·cos θ.
(3)WG＝G·lcos 90°＝0.
(4)FN与Ff的合力与G等大反向，即物体所受斜面的力对物体做功为0，或WFN＋WFf＝0.
合力对物体做的总功W总＝WG＋WFf＋WFN
＝0＋(－mglsin θcos θ)＋mglsin θcos θ＝0，
或物体受力平衡，F合＝0，则W总＝F合lcos θ＝0.
方法总结 计算几个力的总功，通常有以下两种不同的处理方法：
(1)虽然力、位移都是矢量，但功是标量，所以几个力的总功等于各个力所做功的代数和．若以W1、W2、W3……Wn分别表示力F1、F2、F3…Fn所做的功(含正功与负功)，则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3＋…Wn.
(2)求出物体所受的合外力，根据公式W合＝F合lcos α求合外力做的功，则物体所受的外力做的总功为W总＝W合＝F合lcos α.
7．732 J
解析 设滑轮距地面的高度为h，则
h(cot 30°－cot 60°)＝s
人由A走到B的过程中，重物G上升的高度Δh等于滑轮右侧绳子增加的长度，即
Δh＝－
人对绳子做的功为：W＝GΔh
代入数据可得：W≈732 J.
方法总结 求变力做功的方法有以下几种：
(1)平均值法：当力F的大小发生变化，但F、l成线性关系时，可以代入F的平均值计算F做的功．
(2)图象法：变力做的功W可用F－l图线中所包围的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做的正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做的负功的多少．
(3)分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．
(4)化变为恒法：有时候表面看起来是变力做功，但是经过适当变换可以转换成恒力做功．
第3节 功 率
●导学天地
学法指导
在物理学中，我们用功率来表示做功的快慢.我们用比值法即功W跟完成这些功所用时间t的比值定义功率，在我们物理学中还有很多用比值法定义的物理量，同学们可以总结一下.另外，我们又推导出功率与力、速度的关系式P=Fv，注意两个公式P=W/t和P=Fv的区别与联系.
自主学习
知识梳理 自主探究
1.功率的概念（1）在物理学中做功的快慢用 表示.功W跟完成这些功所用时间t的比值，叫做功率，公式 .（2）功率的单位：在国际单位制中功率的单位是 ，另外常用单位还有 .（3）P=实际上是一段时间内的 .（4）额定功率是指电动机、内燃机等动力机械正常条件下可以长时间工作的最大功率.实际输出功率往往 这个数值，但在特殊情况下，如汽车越过障碍时，可以使实际功率大于额定功率.2.功率与速度（1）功率也可以用力和速度来表示，作用力方向与速度方向相同时，P= ，F恒定时，v是平均速度时，功率P指的是 ，若v是瞬时速度，则功率P指的是 .（2）从P=Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成 ，要增大牵引力，就要 . 1.若两台起重机在不同时间内做了不同的功，我们怎样比较它们做功的快慢？2.你能结合发动机的实际功率不能无限增大，分析汽车在行驶过程中，如果遇到爬坡或者泥泞路面，就会通过换挡的方式来降低速度的原因吗？
理解升华
重点、难点、疑点解析
1.对功率定义的理解
功率是用功W跟完成这些功所用时间t的比值来定义的，即P=W/t，功率表示物体做功的快慢，功率的大小与功W的大小和时间t的长短无关.
【例释】 小王把一个10 kg的物体在2 min内提到4楼做功960 J；小李把一个20 kg的物体在5 min内提到4楼做功2 000 J.两人比较谁的功率较大？
解析： 根据功率的定义可得小王的功率P1= W=8 W，小李的功率P2= W=6.67 W.虽然小李做的功多，但小王的功率较小李的大，原因就是功率是用功W与所用时间t的比值来定义的.
答案： 见解析
2.公式P=Fv的适用条件
当物体沿位移方向受的力为F时，从计时开始到时刻t这段时间内，发生的位移为l，则力F在该时间内所做的功W=Fl，再有P=得P=，而=v，即最后得到P=Fv，式中v为平均速度，与位移l同向，即F、v同向.综上分析在F、v同向时可用该公式计算功率.当F、v之间有一夹角θ时，P=Fvcos θ，同学们有兴趣可自己推导.
3.公式P=和P=Fv的比较
功率的定义式计算的是在一段时间内的平均功率；在公式P=Fv中，若v为平均速度则计算出的功率为该段时间内的平均功率，若v为某一时刻的瞬时速度，则计算出的结果为该时刻的瞬时功率.
4.汽车启动时两种典型情况
（1）汽车在平直路面上保持发动机功率（即牵引力的功率）不变，即以恒定功率启动，其加速过程如表所示：
设牵引力为F，所受阻力为F1
由表可分析知：①只有当汽车的牵引力与所受阻力大小相等时，才达到最大速度.
②在加速过程中，加速度是变化的，如果知道某时刻的速度，可求得此时刻的加速度.
③该方式启动过程中速度随时间的变化图象如图7-3-1所示.
（2）汽车匀加速启动，其过程分析如表所示：
由表可分析知：①汽车匀加速启动，当达到额定功率时，并没有达到最大速度，此后将保持功率不变做变加速运动，当牵引力与阻力大小相等时，才达到最大速度而匀速行驶.
②该过程的v-t图象如图7-3-2所示.
综上，汽车无论以哪种方式启动，最终都以额定功率行驶.遇到上坡或泥泞路时，为了增大牵引力F，由公式P=Fv，可增大P或减小v，而实际功率大于额定功率时，对发动机有害，则只能换低挡来解决问题.
例题评析
应用点一：平均功率和瞬时功率的计算
例1：质量为2 kg的物体，受到24 N竖直向上的拉力，由静止开始运动，经过5 s，求5 s内拉力对物体所做的功是多少？5 s内拉力的平均功率及5 s末拉力的瞬时功率各是多少？（g取10 m/s2）
答案： 600 J 120 W 240 W
思维总结：公式P=W/t一般用来计算平均功率，而P=Fv若v为瞬时速度则可用来计算瞬时功率.应用时，注意公式的选择.
拓展练习1-1： 如图7-3-4所示，质量为m的物体，沿着长为L，倾角为α的光滑斜面，自顶端由静止滑到处，重力做功的瞬时功率为多少？在这一过程中，重力的平均功率为多少？
图7-3-4
应用点二：汽车启动问题
例2：质量为m=4.0×10 3 kg的汽车，发动机的额定功率为P=40 kW，汽车从静止以a=0.5 m/s2的加速度行驶，所受阻力Ff=2.0×103 N，则汽车匀加速行驶的最长时间为多少？汽车可能达到的最大速度为多少？
解析： 汽车匀加速行驶时，汽车发动机牵引力为F，则根据牛顿第二定律F-Ff=ma
F=ma+Ff=4.0×103×0.5+2.0×103 N=4.0×103 N
汽车匀加速运动过程的末速度v，则
P=Fv，v=P/F= m/s=10 m/s
根据运动学公式v=at得
t=v/a=s=20 s
当汽车加速度a=0时，汽车有最大速度vmax，
则vmax= m/s=20 m/s
答案： 20 s 20 m/s
误区警示：汽车匀加速启动时，匀加速运动过程中的末速度不是汽车运动过程中的最大速度.
拓展练习2-1： 质量为2 t的汽车，发动机输出的功率为30 kW，在水平公路上能达到最大速度为15 m/s，当汽车的速度为10 m/s时，其加速度为多大？
教材资料探究
教材第56页“说一说”
解答： 各种机器实际输出的功率常随时间变化，因此有平均功率与瞬时功率之分.P=W/t式中，实际上P就是这段时间t内力对物体做功的平均功率.我们可以利用极限思想来推导瞬时功率的表达式：当Δt很短时，P==Fv，v这时是瞬时速度，那么P也为该时刻的瞬时功率了.
教材第58页“做一做”
解答： 各种机械的功率列表
摩托车 1.6~1.8 kW
手扶拖拉机 2.2~8.8 kW
轮式或履带式拖拉机 8.8~55 kW
小轿车 66~162 kW
大客车 66~118 kW
一般载重汽车 55~88 kW
推土机 107~147 Kw
一般机车 1 470 kW
强力内燃机车 4 410 kW
万吨级远洋轮发动机 7 350 kW
重型运输直升飞机 4 780 kW
液体燃料火箭瞬时功率约 1010 Kw
同学们可根据上表来分析解答课本上的“做一做”中提到的问题.
自我反馈自主学习1.功率 P= 瓦特 千瓦 平均功率 小于2.Fv 平均功率 瞬时功率 反比 减小速度例题评析拓展练习1-1： mgsin α 拓展练习2-1： 0.5 m/s2
演练广场
夯实基础
1.关于功率，下列各种说法正确的是 （ ）
A.功率大说明物体做的功多
B.功率小说明物体做功慢
C.由P=W/t可知机器做功越多，其功率越大
D.单位时间内机器做功越多，其功率越大
2.关于功率以下说法中正确的是（ ）
A.据P=W/t可知，机器做功越多，其功率就越大
B.据P=Fv可知，汽车牵引力一定与速度成反比
C.据P=W/t可知，只要知道时间t内机器所做的功，就可求得这段时间内任一时刻机器做功的功率
D.根据P=Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比
3.水平恒力F作用在一个物体上，使该物体沿光滑水平面在力的方向移动距离l，恒力F做的功为W1，功率为P1；再用同样的水平力F作用在该物体上，使该物体在粗糙的水平面上在力的方向上移动距离l，恒力F做的功为W2，功率为P2，下面哪个选项是正确的（ ）
A.W1＜W2，P1＞P2
B.W1＞W2，P1＞P2
C.W1=W2，P1＞P2
D.W1＜W2，P1＜P2
4.一位高中三年级的男生在平直的公路上以最快的速度匀速骑自行车，所受的阻力为车和人总重力的0.05倍，则该男生的功率接近于 （ ）
A.40 W B.100 W C.250 W D.1 000 W
5.汽车由静止启动即以加速度a做匀加速运动，则汽车达到额定功率时，汽车的速度 （ ）
A.同时达到最大值
B.还没有达到最大值
C.在没有达到额定功率前达到最大值
D.此后保持不变
6.汽车由静止开始运动，若要使汽车在开始运动的一小段时间内保持匀加速直线运动，则 （ ）
A.不断增大牵引力功率
B.不断减小牵引力功率
C.保持牵引力功率不变
D.不能判断牵引力功率怎样变化
7.如图7-3-6所示，小球被细线悬挂于O点，若将小球拉至水平后由静止释放，则在小球下摆到最低点的过程中，重力瞬时功率的变化情况是 （ ）
图7-3-6
A.减小
B.增加
C.先减小后增加
D.先增大后减小
8设飞机飞行中所受阻力与其速度的平方成正比，如飞机以速度v匀速飞行时，其发动机功率为P，则飞机以2v速度匀速飞行时，其发动机功率为 （ ）
A.2P B.4P C.8P D.无法确定
9.起重机的功率增大时，将同一重物举到同样高度所需时间比原来 （ ）
A.减小 B.增加 C.不变 D.不能确定
能力提升
10.一质量为m=2 kg的物体，从某一高度自由下落，设高度足够高，求第4 s末的重力的功率和第4 s内重力的平均功率.（g=10 m/s2）
11.人的心脏每跳一次大约输送8×10-5 m3的血液，正常人血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值约为1.5×104 Pa，心跳约每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率为多少？
12.某型号汽车发动机的额定功率为60 kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是1 800 N，求发动机在额定功率下，汽车行驶的速度为15 m/s时，汽车受到的牵引力大小和汽车行驶的最大速度.
13.某司机为确定他的汽车所载货物的质量，他采用如下方法：已知汽车自身的质量为3.2×103 kg，当汽车空载时，让汽车在平直公路上以额定功率行驶，从速度表上读出汽车达到的最大速度为150 km/h，当汽车载重时，仍让汽车在平直公路上以额定功率行驶，从速度表上再读出汽车达到的最大速度为80 km/h，设汽车行驶的阻力与总重力成正比，试根据以上提供的信息，求汽车所载货物的质量.
演练广场
1.BD 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A
10.解析：第4 s末物体的速度为
v4=gt4=10×4 m/s=40 m/s
所以第4 s末重力的功率为：
P4=mgv4=2×10×40 W=800 W
第3 s末物体的速度为：
v3=gt3=10×3 m/s=30 m/s
所以第4 s内物体的平均速度为
== m/s=35 m/s
故第4 s内重力的平均功率为
=mg=2×10×35 W=700 W.
答案：800 W 700 W
11.解析：设想人的血液是在一圆柱形血管中被输送，血管截面积为S，则作用力F=pS，血液被输送的距离d=，故每分钟内心脏做功
W=Fd=pS·=pV，做功的平均功率
== W=1.4 W.
答案：1.4 W
12.解析：由P=Fv知，F== N=4 000 N
由P=Fv，F=F阻，
得v== m/s=33.3 m/s.
答案：4 000 N 33.3 m/s
13.解析：以m、M分别表示汽车和货物的质量，以P表示汽车的额定功率，汽车行驶的阻力与总重力的比例系数为k，则P=kmgv，P=k（m+M）gv′，故M=m（v-v′）/v′=3.2×103×（150-80）/80 kg=2.8×103 kg.
答案：2.8×103 kg