第一章集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
学案
一、学习目标
1.通过实例了解集合的含义．(难点)
2.掌握集合中元素的三个特性．(重点)
3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
二、基础梳理
知识点一 集合的概念
1.定义：一般地，我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________（简称为________）.
2.元素特征：________、________、________.
3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是________的.
4.元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a
________集合A，记作______；如果a不是集合A中的元素，就说a
________集合A，记作________.
5.数学中一些常用的数集及其记法：
全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作________；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作________或________；
全体整数组成的集合称为整数集，记作________；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作________；
全体实数组成的集合称为实数集，记作________.
知识点二 集合的表示方法
1．列举法：把集合中的元素________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做________．
2．描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为________，这种表示集合的方法称为________．
三、巩固练习
1.若集合只有一个元素，则(
)
A.
B.0
C.4
D.0或
2.设集合，集合，则(
)
A.
B.
C.
D.
3.用列举法表示集合，正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.下列关系中，正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.设集合，其中且，则(
)
A.1
B.2
C.3
D.9
6.集合的另一种表示法是(
)
A.
B.
C.
D.
7.若集合，则实数的取值范围为________.
8.若，则集合中所有元素之和为________.
9.用符号“
”或“
”填空：①，则1_______，
______；②______.
10.试用恰当的方法表示下列集合.
(1)使函数有意义的的集合；
(2)不大于12的非负偶数；
(3)满足不等式的解集；
(4)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
参考答案
1.答案：A
解析：由题意得只有一个实根，所以，选A.
2.答案：C
解析：当时，；
当时，；
当时，，
所以.
故选：C.
3.答案：B
解析：解方程组，可得或，
故答案为，
故选B.
4.答案：C
解析：A选项，因为0不是正整数，所以；B选项，因为不是整数，所以；
C选项，因为不是有理数，所以；D选项，因为不含任何元素，所以.
故选：C.
5.答案：B
解析：可以取1，2，3；，所以.
6.答案：B
解析：集合中元素为小于5的正自然数，可用列举法表示为.
故选：B.
7.答案：
解析：由集合中元素的互异性知，解得且且，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
8.答案：2
解析：因为，
所以，即.
此时即为，
所以元素之和为2.
故答案为：2
9.答案：；；.
解析：①将1代入方程成立，将代入方程不成立，故，.
②将代入成立，故填.
故答案为：；；.
10.答案：(1)要使函数有意义，必须使分母，即.
因此所求集合用描述法可表示为.
(2)不大于12是小于或等于12，非负是大于或等于0，
不大于12的非负偶数集用列举法表示为.
用描述法表示为.
(3)满足的解是1，2，3，4，5.
用列举法表示为，用描述法表示为.
(4)设大于10小于20的整数为，则满足条件且y=\frac{3}{4}
x.故用描述法可表示为，用列举法表示为.《集合的概率》教学设计
本节课位于北师大版普通高中课程标准实验教科书
(必修)（Ⅰ）第一章第一节。集合是高中数学的基础，集合作为一种数学语言贯穿于整个高中数学，所以学好这一章节内容是十分关键的。集合又是高中数学课程的起始章，内容具有一定的抽象性，研究的方法也与初中不同，所以设计好这一章节内容的教学，对学生能否入门高中数学起着关键性的作用。所以我设计这节课时主要是通过创设情景，让学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，使学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言各自的特点，并掌握集合语言。因此我采取了如下的教学设计思路。
一、内容分析
【三维目标】
知识与技能：
①通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系的意义，体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，学会用集合语言表示有关的数学对象；
②初步了解有限集、无限集、空集的意义；
③掌握常用数集及集合表示的符号，能用集合语言描述一些具体的数学问题，感受集合语言的作用。
过程与方法：
①通过学习集合的含义，从中体会集合中蕴涵的分类思想；
②通过对集合表示法的学习，认识到列举法与描述法不同的适用范围。
情感、态度与价值观：
通过集合的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生良好的学习习惯，体会数学学习的意义。
【重点难点】
重点：集合的含义与表示；
难点：运用集合的两种常用表示法，正确表示一些简单的集合。
二、学情分析
90后的高一新生接受新事物的能力比较强，已经具有一定的分析问题与解决问题的能力。高一新生虽然经历了初中的启发式学习，但学生的依赖性还较强，自学能力与抽象思维能力还较弱。所以在本节课的教学过程中，我将在自主探究与合作交流方面做进一步的加强与引导。
三、教法学法
多媒体辅助教学——主要是利用多媒体展示图片来增加学生的学习兴趣和对集合知识的直观理解。为突破本节课的重难点，在教法上我充分体现教师的引导作用；在学法上突出学生的“自主探究与合作交流”。在教学过程中立足于“以教师为主导、学生为主体、问题为主线”的思想。实例让学生举，疑难让学生议，错误让学生析，结论让学生得，小结让学生做。
四、过程设计
本节课我将通过“游戏激趣
导入课题——自主探究
实例感知——限时记忆
反馈练习——变式探究
理性认识——知识迁移
游戏揭秘——归纳反思
自我提升”六个环节进行设计。
开篇：播放“2010年上海世博会展馆图片欣赏”，为后续教学“学生举例”作铺垫。
（一）游戏激趣
导入课题
flash小游戏——“可怕的读心术”：
任意选择一个两位数(或者说，从10-99之间任意选择一个数)，将这个两位数减去个位数字，再减去十位数字，运算得到结果。例如：你选的数是15，然后15-5-1=9，然后在图表中找出与结果所相应的图标，并把这个图标牢记心中，最后点击水晶球。你会发现，水晶球所显示出来的图标就是你刚刚心里记下的那个图标。
【活动过程】
“你想揭秘吗？那么在本节课的学习过程中你就能找到答案!开始行动吧！”
【设计意图】通过“水晶球”小游戏的引入，一下子将学生的视线拉到本节课的内容上来，极大地激发了学生的兴趣。
（二）自主探究
实例感知
1、集合的含义
结合下列实例，自学课本第3页内容，完成探究目标（1）1～20以内的所有质数；（2）我国从1991—2003年的13年内所发射的所有人造卫星（3）济源一中2008年9月入学的全体的高一学生。（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；【探究目标】（1）集合的含义是什么？什么叫元素？它们常用什么字母表示？（2）元素与集合之间有什么关系？如何表示？（3）请举出两个生活中能构成集合的实例？
【活动过程】引导学生讨论概括4个例子的特征，概括集合的含义。通过小活动：“请咱们班的全体女生起立！”（女生不明就里地站了起来）这时问：“咱们班的全体女生能构成一个集合吗？”（学生一下子放松了，给出了正确的答案）。
“接下来请咱们班的才子起立！”（学生有了经验，但是有些男生不知道该站还不是不该站！）“咱们班的才子能构成一个集合吗？”学生异口同声回答：“不能”。“咱们班很多同学都很有才啊，为什么不自信呢？”学生进行讨论,得到结论：“有才”的标准无法限定，集合中的元素无法确定。这说明了“集合中的元素必须是确定的，指定的！”“非常正确！”接下来引导学生进行举例：2010年我们身边发生的哪些大事能构成一个集合？并说明元素与集合之间的关系。
【设计意图】通过自主学习与轻松活动，帮组学生理解集合的含义，还明确了元素与集合的关系。
（三）限时记忆
反馈练习
2、常见数集及其记法
自然数组成的集合简称自然数集，记作N；正整数组成的集合简称正整数集，记作；整数组成的集合简称整数集，记作Z；有理数组成的集合简称有理数集，记作Q；实数组成的集合简称实数集，记作R.；
【反馈练习】课本Page5练习1，学生口答。
【设计意图】对于“常见数集及其记法”，要求学生在30秒内限时记忆，给学生一个信号：课堂上能消化的东西要及时记住！培养学生养成良好的学习习惯；为了反馈学生限时记忆的效果，设置如下练习：激发学生迫切想检验自己自学效果的热情，从而提高学生学习数学的自信心。
（四）变式探究
理性认识
【自学内容】课本4-5页的内容——集合的表示方法以及例1、例2【探究目标】集合有哪些常用表示方法？如何表示？集合可以按照什么进行分类？如何分类？还有一种很特殊的集合你记住它了吗？用什么符号标记它？一个集合只能用一种方法表示吗？
3、集合的常用表示方法
【活动过程】自然语言可以描述一个集合，那么有没有其他方式表示集合呢？通过学生自学课本第4页第5页内容，并完成探究目标。
【设计意图】使学生掌握“集合的两种常用表示法”的格式,并强调数学符号要书写规范。
【变式探究】例1（1）“由大于3小于10的整数组成的集合”如何表示？变式1：
“由大于3的整数数组成的集合”
如何表示？变式2：“由大于3小于10的实数组成的集合”又如何表示？
引导学生完成变式探究，讨论应当如何根据问题选择适当的集合表示法。
【设计意图】通过变式探究,使学生掌握好两种表示法各自的特点,根据题目会灵活选择。
（五）知识迁移
游戏揭秘
4、随堂练习
为使学生所学知识具有稳定性，并能将知识顺利迁移，特设如下练习：
选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是无限集，哪些是有限集，哪些是空集：（课后练习3和习题1-1A组第1题）小于20的素数组成的集合；所有奇数组成的集合；直角坐标系中纵坐标与横坐标相等的点的集合；方程的实数解集；
【设计意图】通过随堂练习与合作交流，使学生更准确地找到概念区分点，突破难点，从而提高学生的动手能力与纠错能力。
5、揭秘“读心术”
为了实现对学生的承诺，我特设“揭秘读心术”环节，实现本节课的首尾呼应：
请完成以下3个问题：（1）报出自己的最终数据，观察这组数据有什么特点？（2）十位用表示，个位用表示，这个两位数怎么表示？再次进行运算可以得到什么？能验证你的猜想吗？（3）你能用今天所学知识来揭秘这个游戏吗？
【活动过程】组织小组讨论运算，这组数据是1到90以内9的倍数。得到结论：这组数据能构成一个集合，大家运算的结果都是这个集合中的元素！游戏中这组数据都用同一个图标来表示，而水晶球显示的就是这个集合所对应的图标。
【设计意图】解开学生心中疑惑，引导学生:“数学来源于生活，服务于生活”，只要我们细心观察，勤于思考，勇于探索，敢于实践，就一定能够用这把神奇的钥匙，去解读魅力无穷的生活！
（六）归纳反思
自我提升
6、课堂小结
请同学们闭上眼睛回忆一下本节所学，所感。
（1）今天你有什么收获和体会呢？和大家分享吧！（学生进行归纳小结）
（2）本节课所运用的学习方法对你今后学习会有什么启示？
【活动过程】引导学生整理概括这一节课所学的知识
【设计意图】]归纳整理知识，形成知识网络，使学生学会回顾反思，培养学生良好的学习习惯。
7、作业布置
针对本班学生实际情况，我设置如下分层作业：
巩固作业：习题1-1
A组第4、5题、B组第2题；
开放作业：已知，若，求的值及集合。
五、效果评估
1、板书设计
集合的含义与表示集合的含义：（关键词）
例1
元素：
元素与集合的关系：
变式1常用数集：
集合的表示方法：
变式2集合的分类：
这是我的板书设计：条理清晰，层次分明，再现过程，突出重点。
2、时间安排
游戏激趣
导入课题
自主探究
实例感知
限时记忆
反馈练习
变式探究理性认识
知识迁移
游戏揭秘
归纳反思
自我提升
4分钟
8分钟
2分钟
15分钟
8分钟
3分钟
这是我的时间安排：侧重于自主探究与变式演练环节。
3、课堂设计特色
我的课堂我做主：
①让学生经历“自主学习——合作交流——方法探究——点评纠错——习惯养成”等活动，突出了学生的主体地位。
②评价多元化。每次小组汇报，学生展示后，我都要求其他学生给予评价，把课堂还给学生。
③我的课堂设计：游戏激趣，触动思维，首尾呼应，效果良好
。
以上是我对本节课的设想，敬请指导！
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1(共21张PPT)
1.1集合的概念
观察下列实例：
（1）1~10之间的所有偶数
（2）立德中学今年入学的全体高一学生
（3）方程
的实数根
（4）地球的四大洋
（5）我们班级里身高超过165cm的所有女生
（6）我们班级里所有较高的男生
问题一：上述实例中的研究对象分别是什么？
问题二：上述实例中的研究对象都是十分明确的么？
问题三：上述研究对象明确的实例有什么共同特征？
定义
表示
元素
一般地，我们把研究对象统称为元素
通常用小写字母a，b，c，…表示
集合
把一些元素组成的总体叫做集合
通常用大写字母A，B，C，…表示
集合元素的特性：（1）确定性
（2）互异性
（3）无序性
集合的概念
集合元素的性质
（1）确定性
作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。
思考：实例（6）中我们班级里所有较高的男生能不能
构成集合？
还有哪些不能构成集合的例子？
集合元素的性质
（2）互异性
对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。
例1：
的所有实数根和自然数0,1组成的集合有几个元素？
例2：
组成的集合有2个元素，则实数
可以为
。
集合元素的性质
（3）无序性
对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合。
集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合相等。
判断：下列实例构成的集合是否相等？
方程
的实数根
不等式组
的整数解
①
②
集合与元素的关系
问题四：若把我们学校的高一所有班级看作一个集合，那么：
（1）高一（1）班是不是这个集合中的元素？
（2）高一（2）班是不是这个集合中的元素？
（3）高二（1）班是不是这个集合中的元素？
集合与元素的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.
对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果。且具有方向性，左边是元素，右边是集合。
常用数集
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N
或N＋
Z
Q
R
1、下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②正三角形的全体；
③平面上到点A的距离等于1的点的全体；
④比较小的正整数的全体；
⑤
的近似值的全体．
其中能构成集合的是(
)
②③
随堂练习
4、设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A
B．a?A
C．a∈A
D．a＝A
E．A∈a
C
随堂练习
2、若集合A中含有三个元素a-3，2a-1，a2-4，且-3∈A
，则实
数a的值为_____
0或1
3、设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，若x∈A且x?B，则x＝ 。
2
观察下列集合：1.
地球上的四大洋组成的集合
2.
中国古代四大发明组成的集合
3.
20的所有正因数组成的集合
问题一：上述集合中的元素能够一一列举出来么？
1.
太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋
2.
造纸术、印刷术、指南针、火药
3.
1、2、4、5、10、20
列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示
集合的方法。
注：1、元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}；
2、元素不重复且无顺序，满足元素的互异性和无序性；
3、该方法适用于有有限个元素且个数较少的集合；
4、若元素个数较多但呈现一定的规律，在不会产生误解的情
况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略
号表示。
列举法
用列举法表示下列集合：
1、小于10的所有自然数组成的集合
2、由1~20以内的所有素数组成的集合
3、方程x2=x的所有实数根组成的集合
列举法
观察下列集合：
1、不等式x－2≥3的解集；
2、函数y＝x2－1的图象上的所有点．
问题二：这两个集合能用列举法表示吗？
描述法
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号
及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写
出这个集合中元素所具有的共同特征．
一般形式：{x∈A|p(x)}
其中：x表示集合中的代表元素
A指的是元素的取值范围，需写明确，若已明确可省略
p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征
“|”将代表元素与其特征分隔开来．
描述法
用描述法表示下列集合：
1、不等式x-7<3的解集
2、不等式x-2≥3的解集
3、函数y=x2-1的图像上的所有点组成的集合
1、选择适当方法法表示下列集合：
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
③被3除余2的正整数的集合；
④直线y＝2x＋1与y轴的交点组成的集合；
2、已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只
有4个元素，求集合B。
随堂练习
1、判断下列说法是否正确，并说明理由．
①我们学校里所有的年轻教师可以组成一个集合；
②由
，
，
，
，
组成的集合有五个元素；
③由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．
巩固训练
2、下列所给关系正确的是( )
①π∈R；②
?Q；③0∈N
；④|-4|?N
①②
3、已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a为
。
-1
4、用符号“∈”或“?”填空：
①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；
②(1,2)_____{(x，y)|y＝x＋1}．
∈
∈
?
5、集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )
A．{x|x＝2n±1，n∈N}
B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N}
C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N}
D．{x|x＝(－1)n－1(2n＋1)，n∈N}
C
巩固训练
6、若集合A中有三个元素x，x+1，1，集合B中也有三个元素x，
x2+x，x2，且A=B，则实数x的值为_____
-1
巩固训练
7、用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x2，－1≤x≤1，且x∈Z}．
解：由－1≤x≤1，且x∈Z，得x＝－1,0,1
当x＝－1时，y＝1；
当x＝0时，y＝0；
当x＝1时，y＝1.
∴A＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．
8、集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的值．
解：当a=0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－2(1)，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，
原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
巩固训练
