课程基本信息
课题
空间向量及其线性运算
教学目标
教学目标：
（1）经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．
（2）经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程．
（3）掌握空间向量的线性运算和简单应用．
教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用
教学难点：空间向量的线性运算及其应用
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
师生问答、共同探究
问题1
我们已经学面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？
追问(1)：平面向量是什么的？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
追问（2）：如何表示平面向量？？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？
追问（3）：从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念.
你还记得吗？有哪些？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
问题2
在学面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算及运算律吗？
追问（1）：平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？
答：平面向量有加法、减法和数乘运算.
先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律；
追问（2）：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义或法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加、减和数乘运算的定义或法则吗？
追问（3）：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间线性运算的运算律吗？
由于任意两个空间向量都可以通过平移，转化为同一平面内的向量，因此，我们猜想，空间向量的线性运算也具有和平面向量线性运算相同的运算律.
数学结论是需要严格证明的,
由合情推理、猜想得到的结论不一定正确，需要严格证明.
追问(4)：空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？
除空间向量加法的结合律以外，其他运算律都可以转化为平面向量线性运算的运算律进行证明.结合律涉及三个向量，它们可能不在同一个平面内.
追问（5）如何证明空间向量的加法结合律呢？
如图，可将空间中任意三个不共面的向量，通过平移使它们起点重合，分别平移表示表示这三个向量的线段，构成一个平行六面体.
我们借助这个平行六面体来证明加法的结合律.
一般地，对于三个不共面的向量a，b，
c，以任意点O为起点，
a，b，
c为邻边作平行六面体，则a，b，
c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
问题3
平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中相应的问题呢？
由平面向量的线性运算，我们研究了平面向量的共线及线性表示等问题.
追问（1）：你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？
追问（2）：任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？
答：任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.
追问（3）：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？
问题4
如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.
求证：
E，F，G，H
四点共面.
追问(1):如何证明E，F，G，H
四点共面？
答：可以通过证明E，F，G，H这四点构成的三个向量，如
共面，来证明这四点共面.
追问(2):如何证明这三个向量共面？
答：根据向量共面的充要条件，用表示即可.
追问(3):如何实现上述表示？
答：可以根据三角形法则，把分别用等向量来表示；再利用已知条件，将它们转化用表示的形式.而由已知平行四边形ABCD，得到，从而可以得到的关系，进一步得到的关系，最终用用表示.
思路小结：选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系是解决立体几何问题的常用方法.
问题5
回顾本节课的探究过程，你都学到了什么？
1.
从知识层面，我们学习了空间向量的有关概念和线性运算.包括空间向量的概念，表示法以及零向量、单位向量、共线向量等相关概念；我们把平面向量的线性运算推广空间向量，研究了空间向量的加法、减法、数乘运算的定义、运算法则以及运算律；通过空间向量的线性运算，我们有了直线的方向向量，以及空间中证明向量或点共面的方法.
2.
从本节课的研究方法上来看，我们始终类比平面向量的相关内容，在空间中进行推广，同时比较它与平面向量的共性和差异，并对差异之处进行了严格的证明，最终，在平面向量的相关内容推广过程中，既保持了原结论的延续性，又保证了新结论的严谨性.原有内容的融入到新内容中，这种兼容性是数学的特点，
是数学中常用的研究方法.今后继续研究空间向量的过程中，还会不断使用这样的方法.希望同学们在今后的学习中，继续大胆发现，勇于探索，严谨推理，体会数学的逻辑之美，严谨之美和广泛的应用.(共24张PPT)
1.1.1空间向量及其线性运算
1、定义：
平面内既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法：
用小写字母表示，或者用表示向量的
有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
A
B
C
D
2、表示法：
回顾
向量加法的三角形法则
a
b
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
a
b
a
－
b
a
＋
b
a
(k>0)
k
a
(k<0)
k
向量的数乘
a
首尾相接,首尾连
共起点,对角线
共起点,连终点,指向被减向量
回顾
加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
回顾
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。
回顾
章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，用图示法表示这些力
资料
在空间，我们把具有大小和方向的量
空间向量的大小
模
有向线段
学习新知
长度为0的向量
0
0
模为1的向量
与向量a长度相等而方向相反的向量
－a
方向相同且模相等的向量
同一向量
相等向量
A
B
C
D
学习新知
√
×
×
×
练习
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
学习新知
a
b
O
A
B
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
a
b
a
b
a
b
+
O
A
B
b
C
a
(k>0)
k
a
(k<0)
k
学习新知
a＋b
a－b
b＋a
(a＋b)＋c
学习新知
相反
学习新知
O●
A
B
C
推广：
O●
A
B
C
学习新知
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
G
M
探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
D
C
B
A
E
练习
在正方体AC1中,点E是面AC’
的中心,
求下列各式中的x,y,z.
A
B
E
C
F
D
空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点,化简：
(2)原式
练习
A
B
C
D
D
C
B
A
E
在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
F
练习
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或
重合
这些向量
共线向量
方向向量
学习新知
证明：
∵四边形ABCD为
①
∴
（﹡）
（﹡）代入
所以
E、F、G、H共面。
例题
小结
1、空间向量的定义及表示方法
2、特殊的向量
3、向量的加减法
4、向量的数乘运算
5、共线向量与共面向量
作业
课本P9
复习巩固1、2
