7.3.3　余弦函数的性质与图像-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册练习（Word版，含解析）

7.3.3　余弦函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数y=cos的图像的两条相邻对称轴间的距离为(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.π
2.(多选)设函数f(x)=cosx+,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的一个周期为2π
B.y=f(x)的图像关于直线x=-对称
C.fx+的一个零点为π
D.f(x)在,π上单调递减
3.函数y=sin2x-cos
x+1的最大值为　　　　.?
4.已知函数y=a-bcos
x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4bsin
ax的最大值、最小值及周期.
5.已知函数y=cos
x+|cos
x|.
(1)画出函数的简图.
(2)判断该函数是否为周期函数.如果是,求出它的最小正周期.
(3)求函数的单调增区间.
能力提升练
1.函数y=-cos
x(x>0)的图像中与y轴距离最近的最高点的坐标为(　　)
A.,1
B.(π,1)
C.(0,1)
D.(2π,1)
2.若把函数y=3cos2x+的图像上的所有点向右平移m(m>0)个单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m的最小值是(　　)
A.π
B.
C.
D.
3.函数y=-xcos
x的部分图像是(　　)
4.已知ω>0,函数f(x)=cos-ωx在,π上单调递减,则ω的取值范围是(　　)
A.(0,2]
B.0,
C.
D.
5.设函数f(x)=cos+1,有以下结论:
①点是函数f(x)图像的一个对称中心;
②直线x=是函数f(x)图像的一条对称轴;
③函数f(x)的最小正周期是π;
④将函数f(x)的图像向右平移个单位后,对应的函数是偶函数.
其中所有正确结论的序号是　　　　　.?
6.已知函数f(x)=2cos
ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间.
素养培优练
　已知函数f(x)=2cos2x+,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈-时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根,
求实数k的取值范围;
(3)将函数f(x)=2cos2x+的图像向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图像关于原点中心对称,求m的最小值.
7.3.3　余弦函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数y=cos的图像的两条相邻对称轴间的距离为(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.π
解析y=cos的最小正周期T=.
其相邻两条对称轴间的距离为半个周期,故两条相邻对称轴间的距离为d=.
答案B
2.(多选)设函数f(x)=cosx+,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的一个周期为2π
B.y=f(x)的图像关于直线x=-对称
C.fx+的一个零点为π
D.f(x)在,π上单调递减
解析已知函数f(x)=cosx+.
在A中,由余弦函数的周期性得f(x)的一个周期为2π,故A正确;
在B中,函数f(x)=cosx+的对称轴满足条件x+=kπ,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,所以y=f(x)的图像关于直线x=-对称,故B正确;
在C中,fx+=cosx+=-sin
x,-sin
π=0,所以fx+的一个零点为π,故C正确;
在D中,函数f(x)=cosx+在,π上先减后增,故D错误.
答案ABC
3.函数y=sin2x-cos
x+1的最大值为　　　　.?
解析y=sin2x-cos
x+1=-cos2x-cos
x+2
=-cos
x+2+.
∵-1≤cos
x≤1,
∴当cos
x=-时,ymax=.
答案
4.已知函数y=a-bcos
x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4bsin
ax的最大值、最小值及周期.
解∵-1≤cos
x≤1,由题意知b≠0.
当b>0时,-b≤-bcos
x≤b,
∴a-b≤a-bcos
x≤a+b.
∴解得
∴y=-4bsin
ax=-4sinx.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
当b<0时,b≤-bcos
x≤-b,
∴a+b≤a-bcos
x≤a-b.
∴解得
∴y=-4bsin
ax=4sinx.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
5.已知函数y=cos
x+|cos
x|.
(1)画出函数的简图.
(2)判断该函数是否为周期函数.如果是,求出它的最小正周期.
(3)求函数的单调增区间.
解(1)y=cos
x+|cos
x|
=
函数图像如图.
(2)由图像可知该函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像可知函数的单调递增区间为2kπ-,2kπ(k∈Z).
能力提升练
1.函数y=-cos
x(x>0)的图像中与y轴距离最近的最高点的坐标为(　　)
A.,1
B.(π,1)
C.(0,1)
D.(2π,1)
解析作出函数y=-cos
x(x>0)的图像(图略),由图易知,与y轴距离最近的最高点的坐标为(π,1).
答案B
2.若把函数y=3cos2x+的图像上的所有点向右平移m(m>0)个单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m的最小值是(　　)
A.π
B.
C.
D.
解析y=3cos2x+y=3cos
2x+-m.
因为图像关于y轴对称,所以当x=0时,2×0+-2m=kπ(k∈Z),m=(k∈Z),当k=0时,m=,故选C.
答案C
3.函数y=-xcos
x的部分图像是(　　)
解析令y=f(x),因为f(x)的定义域为R,f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos
x=-f(x),
所以函数y=-xcos
x是奇函数,图像关于原点对称,所以排除A,C;
因为当x∈0,时,y=-xcos
x<0,所以排除B.
故选D.
答案D
4.已知ω>0,函数f(x)=cos-ωx在,π上单调递减,则ω的取值范围是(　　)
A.(0,2]
B.0,
C.
D.
解析令t=-ωx,则函数f(x)=cos-ωx,
由y=cos
t及t=-ωx复合而成,
因为ω>0,
所以t=-ωx为减函数,
要使得函数f(x)=cos-ωx在,π上单调递减,
则y=cos
t必须单调递增,
令-π+2kπ≤t≤2kπ(k∈Z),
即-π+2kπ≤-ωx≤2kπ(k∈Z),
解得≤x≤(k∈Z),
要使得函数f(x)=cos-ωx在,π上单调递减,
则,π?(k∈Z),
即解得
当k=0时,≤ω≤.
答案D
5.设函数f(x)=cos+1,有以下结论:
①点是函数f(x)图像的一个对称中心;
②直线x=是函数f(x)图像的一条对称轴;
③函数f(x)的最小正周期是π;
④将函数f(x)的图像向右平移个单位后,对应的函数是偶函数.
其中所有正确结论的序号是　　　　　.?
解析∵f(x)的图像是由y=cos向上平移1个单位得到,
y=cos的对称中心的纵坐标为0,
∴f(x)的对称中心的纵坐标为1,故①错;
当x=时,f(x)取得最小值0,
∴x=是f(x)的一条对称轴,故②正确;
T==π,故③正确;
f(x)的图像向右平移个单位后,得到y=cos
2x+1的图像,它是偶函数,故④正确.
答案②③④
6.已知函数f(x)=2cos
ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间.
解(1)因为f(x)的周期T=π,故=π,所以ω=2.
所以f(x)=2cos
2x.所以f=2cos.
(2)将y=f(x)的图像向右平移个单位后,得到y=2cos的图像,再将所得图像上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到y=2cos的图像,
所以g(x)=2cos.
当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
素养培优练
　已知函数f(x)=2cos2x+,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈-时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根,
求实数k的取值范围;
(3)将函数f(x)=2cos2x+的图像向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图像关于原点中心对称,求m的最小值.
解(1)由余弦函数的单调性,解不等式2kπ+π<2x+<2kπ+2π,k∈Z,
得+kπ(2)函数f(x)=2cos2x+的单调递增区间为+kπ,+kπ,k∈Z,单调递减区间为+kπ,+kπ,k∈Z,
又x∈,所以函数f(x)在-,-上单调递增,在-上单调递减,
则f-=0,f-=2,f=-,
所以当0≤k<2时,函数y=k与函数y=f(x)的图像有两个公共点,
即当k∈[0,2]时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.
(3)函数f(x)=2cos2x+的图像向右平移m(m>0)个单位,
得到图像对应的函数为g(x)=2cos2x+-2m,
则g(x)是奇函数,
g(0)=2cos0+-2m=0,
即-2m=kπ+,k∈Z,
则m=-,k∈Z,
因为m>0,所以当k=-1时,mmin=.