第五章　习题课——等差数列习题课-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word版，含解析）

第五章数列
习题课——等差数列习题课
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在等差数列{an}中,已知a1=,a1+a6=4,an=37,则n等于(　　)
A.50
B.49
C.56
D.51
2.在数列{xn}中,x1=8,x4=2,且满足xn+2+xn=2xn+1,n∈N+.则x10=(　　)
A.-10
B.10
C.-20
D.20
3.已知数列{an}满足a1=33,=2,则的最小值为(　　)
A.10
B.10.5
C.9
D.8
4.在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前9项的和为(　　)
A.297
B.144
C.99
D.66
5《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人所得与下三人等.问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,戊所得为(　　)
A.钱
B.钱
C.钱
D.钱
6.已知f(n+1)=f(n)-(n∈N+),且f(2)=2,则f(101)=　　　　.?
7.在等差数列{an}中,若a1<0,Sn为其前n项之和,且S7=S17,则当Sn为最小时,n的值为　　　　.?
8等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d(d≠0),首项为a1,若{}也是等差数列,则=　　　　.?
9.已知在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn,
(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;
(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
10.已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且满足=a1a21.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N+),且b1=3,求数列的前n项和Tn.
能力提升练
1.(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有(　　)
A.a10=0
B.S7=S12
C.S10最小
D.S20=0
2.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的1份为(　　)
A.
B.
C.
D.
3.“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为　　　　.?
4.在等差数列{an}中,a1=2,S10=15,记Bn=a2+a4+a8+…+,则当n=　　　　时,Bn取得最大值.?
5.等差数列{an}的公差为2,Sn是数列{an}的前n项的和,若S20=40,则a1+a3+a5+a7+…+a19=　　　　.?
6.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1),n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)是否存在正整数n,使得+…+-(n-1)2=2
021?若存在,求出n值;若不存在,请说明理由.
7.一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.
(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?
(2)如果每辆车的行驶速度都是60
km/h,这支车队当天总共行驶了多少路程?
素养培优练
　已知{an}是各项都为正数的数列,其前n项和为Sn,且Sn为an与的等差中项.
(1)求证:数列{}为等差数列;
(2)设bn=,求{bn}的前100项和T100.
第五章数列
习题课——等差数列习题课
课后篇巩固提升
基础达标练
1.在等差数列{an}中,已知a1=,a1+a6=4,an=37,则n等于(　　)
A.50
B.49
C.56
D.51
解析设公差为d,因为a1+a6=2a1+5d=4,a1=,所以d=,所以an=+(n-1)×=37,所以n=56.
答案C
2.在数列{xn}中,x1=8,x4=2,且满足xn+2+xn=2xn+1,n∈N+.则x10=(　　)
A.-10
B.10
C.-20
D.20
解析由xn+2+xn=2xn+1,n∈N+,
可知数列{xn}是等差数列.
又x1=8,x4=2,
∴公差d==-2.
∴x10=x1+9d=8+9×(-2)=-10.
答案A
3.已知数列{an}满足a1=33,=2,则的最小值为(　　)
A.10
B.10.5
C.9
D.8
答案B
4.在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前9项的和为(　　)
A.297
B.144
C.99
D.66
解析∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,即a4=13,a6=9.
∴d=-2,a1=19.
∴S9=19×9+×(-2)=99.
答案C
5《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上两人所得与下三人等.问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,戊所得为(　　)
A.钱
B.钱
C.钱
D.钱
解析依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,即a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得a=-6d.又五人分五钱,则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,∴a=1,则a+2d=a+2×-=.故选B.
答案B
6.已知f(n+1)=f(n)-(n∈N+),且f(2)=2,则f(101)=　　　　.?
解析令an=f(n),则an+1-an=-,
∴{an}为等差数列,且a2=2.
∴an=a2-(n-2)=.
∴f(101)=a101=-.
答案-
7.在等差数列{an}中,若a1<0,Sn为其前n项之和,且S7=S17,则当Sn为最小时,n的值为　　　　.?
解析由S7=S17,知a8+a9+…+a17=0,根据等差数列的性质,a8+a17=a9+a16=…=a12+a13,因此a12+a13=0,从而a12<0,a13>0,故n为12.
答案12
8等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d(d≠0),首项为a1,若{}也是等差数列,则=　　　　.?
解析依题意,知Sn=na1+d,
由于{}是等差数列,所以=2,
即=2,d≠0,
两边平方并化简,得2=4a1+d,
两边平方并化简,得4-4a1d+d2=0,
即(2a1-d)2=0,2a1-d=0,.
答案
9.已知在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn,
(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;
(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
解(1)∵a16+a17+a18=a9=-18,
∴a17=-6.又a9=-18,∴d=.
首项a1=a9-8d=-30.∴an=n-.
设前n项和为Sk最小,则
即∴k=20或21.
故当n=20或21时,Sn取最小值.
最小值为S20=S21=-315.
(2)由an=n-≤0,得n≤21.
∴当n≤21时,Tn=-Sn=(41n-n2).
当n>21时,
Tn=-a1-a2-…-a21+a22+…+an
=Sn-2S21=(n2-41n)+630.
10.已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且满足=a1a21.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N+),且b1=3,求数列的前n项和Tn.
解(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
则解得
则an=2n+3.
(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N+),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=an-1+an-2+…+a1+b1
=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),
∴bn=n(n+2),n∈N+.
∴.
∴Tn=
=.
能力提升练
1.(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有(　　)
A.a10=0
B.S7=S12
C.S10最小
D.S20=0
解析因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确;
又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确;
当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误;
又S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误.故选AB.
答案AB
2.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的1份为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析设这5份分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(d>0),则有(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=100,故a=20,d=,则最小的一份为a-2d=20-.
答案A
3.“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为　　　　.?
解析由题意可得an+an+1=5,∴an+1+an+2=5.
∴an+2-an=0.∵a1=2,∴a2=5-a1=3.∴当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2.∴a18=3.
答案3
4.在等差数列{an}中,a1=2,S10=15,记Bn=a2+a4+a8+…+,则当n=　　　　时,Bn取得最大值.?
解析∵S10=10a1+d=15,a1=2,∴d=-<0,故数列{an}单调递减,其通项公式为an=2-(n-1),令an=0,得n=19,即a19=0.当n>19时,an<0;当n<19时,an>0.在a2,a4,a8,…,中,当n≤4时,>0,当n≥5时,<0,故Bn取最大值时,n=4.
答案4
5.等差数列{an}的公差为2,Sn是数列{an}的前n项的和,若S20=40,则a1+a3+a5+a7+…+a19=　　　　.?
解析等差数列{an}的公差为2,S20=40,
则S20=a1+a2+a3+…+a19+a20
=a1+a3+a5+…+a17+a19+a2+a4+…+a18+a20
=a1+a3+a5+…+a17+a19+a1+d+a3+d+…+a17+d+a19+d
=2(a1+a3+a5+…+a17+a19)+10d=40,
解得a1+a3+a5+a7+…+a19=10.
答案10
6.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1),n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)是否存在正整数n,使得+…+-(n-1)2=2
021?若存在,求出n值;若不存在,请说明理由.
解(1)由an=+2(n-1),得Sn=nan-2(n-1)n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-2(n-1)n-(n-1)an-1+2(n-2)(n-1),
整理,得an-an-1=4,则{an}为a1=1,d=4的等差数列,所以an=1+(n-1)4=4n-3.
(2)由(1),得Sn=n[4n-3-2(n-1)]=(2n-1)n,得=2n-1,得+…+=n2.
令n2-(n-1)2=2
021,解得n=1
011.
因此存在n=1
011满足题意.
7.一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.
(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?
(2)如果每辆车的行驶速度都是60
km/h,这支车队当天总共行驶了多少路程?
解由题意,知第1辆车在休息之前行驶了240
min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an},其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.
(1)∵a15=-10×15+250=100,
∴到下午6时,最后一辆车行驶了100
min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15=2
550(min)=(h),∴这支车队当天总共行驶的路程为×60=2
550(km).
素养培优练
　已知{an}是各项都为正数的数列,其前n项和为Sn,且Sn为an与的等差中项.
(1)求证:数列{}为等差数列;
(2)设bn=,求{bn}的前100项和T100.
解(1)由题意,知2Sn=an+,即2Snan-=1,
①
当n=1时,由①式可得S1=1;
又n≥2时,有an=Sn-Sn-1,
代入①式得2Sn(Sn-Sn-1)-(Sn-Sn-1)2=1,
整理得=1(n≥2),
∴{}是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)由(1)可得=1+n-1=n.
∵{an}各项都为正数,∴Sn=.
∴an=Sn-Sn-1=(n≥2),
又a1=S1=1,∴an=,
则bn==(-1)n(),
∴T100=-1+(+1)-()+…-()+()==10,
即T100=10.∴{bn}的前100项和T100=10.