6.2.1　导数与函数的单调性-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word版，含解析）

第六章导数及其应用
6.2　利用导数研究函数的性质
6.2.1　导数与函数的单调性
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像可能是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
2.函数y=x+xln
x的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,e-2)
B.(0,e-2)
C.(e-2,+∞)
D.(e2,+∞)
3.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-)∪[,+∞)
B.[-]
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-)
4.下列函数既是奇函数且又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=x2+x
B.y=xln
x
C.y=x3-3x
D.y=x-sin3x
5.设a=e,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.aB.bC.cD.c6.(多选)(2020山东济南高三模拟)已知定义在上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有cos
xf'(x)+sin
xf(x)<0成立,则(　　)
A.f
B.>f
C.f
D.
7.函数f(x)=x2e-x在区间(-∞,0)上的单调性为　　　　　.?
8.已知函数f(x)=x3+ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.?
9.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x-2,求:
(1)函数y=f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)f(x)的单调递减区间.
10.
已知二次函数h(x)=ax2+bx+2,其导函数y=h'(x)的图像如图所示,f(x)=6ln
x+h(x).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数,求实数m的取值范围.
能力提升练
1.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(　　)
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,+∞)
2.(多选)已知f(x)是可导的函数,且f'(x)A.f(1)020)020f(0)
B.f(1)>ef(0),f(1)>e2f(-1)
C.f(1)D.f(1)>ef(0),f(2
020)>e2
020f(0)
3.函数f(x)=的单调递减区间为　　　　　.?
4.已知f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)单调递减,则b的取值范围是　　　　　.?
5.已知函数y=f(x)的定义域为,且y=f(x)的图像如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式x·f'(x)<0的解集是　　　　　.?
6.已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.
7.(1)已知函数f(x)=axekx-1,g(x)=ln
x+kx.当a=1时,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上为增函数,求实数k的值;
(2)已知函数f(x)=x+-2ln
x,a∈R,讨论函数f(x)的单调区间.
素养培优练
已知函数f(x)=ax2ex-1(a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)已知a>0且x∈[1,+∞),若函数f(x)没有零点,求a的取值范围.
第六章导数及其应用
6.2　利用导数研究函数的性质
6.2.1　导数与函数的单调性
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像可能是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
解析根据导函数图像,y=f(x)的递增区间为(-3,-1),(0,1),递减区间为(-1,0),(1,3),观察选项可得D符合,故选D.
答案D
2.函数y=x+xln
x的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,e-2)
B.(0,e-2)
C.(e-2,+∞)
D.(e2,+∞)
解析因为y=x+xln
x,所以定义域为(0,+∞).
令y'=2+ln
x<0,解得0x的单调递减区间是(0,e-2),故选B.
答案B
3.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-)∪[,+∞)
B.[-]
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-)
解析f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,且不恒为0,则Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤.
答案B
4.下列函数既是奇函数且又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=x2+x
B.y=xln
x
C.y=x3-3x
D.y=x-sin3x
解析由题意,知A选项中y=x2+x为非奇非偶函数,故A选项不正确,B选项中,y=xln
x为非奇非偶函数,故B选项不正确,C选项中,y=x3-3x是奇函数,求导得y'=3x2-3,当y'≥0时,有x≥1或x≤-1,故y=x3-3x在(0,+∞)上不单调递增,故C选项不正确,D选项中,y=x-sin3x是奇函数,求导得y'=-3sin2x·cos
x=(1-sin
2x·sin
x),又-1≤sin
2x≤1,-1≤sin
x≤1,故y'≥0恒成立,满足在(0,+∞)上单调递增,故D选项正确.故选D.
答案D
5.设a=e,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.aB.bC.cD.c解析考察函数f(x)=,则f'(x)=,f(x)在(e,+∞)上单调递增,
∵e<3<π,∴f(e)即,a答案A
6.(多选)(2020山东济南高三模拟)已知定义在上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有cos
xf'(x)+sin
xf(x)<0成立,则(　　)
A.f
B.>f
C.f
D.
解析设g(x)=,
则g'(x)=,
因为x∈时,cos
xf'(x)+sin
xf(x)<0,所以x∈时,g'(x)=<0,
因此g(x)在上单调递减,
所以g>g,g>g,
即,即f,即.故选CD.
答案CD
7.函数f(x)=x2e-x在区间(-∞,0)上的单调性为　　　　　.?
解析依题意,f(x)=,所以f'(x)=,故函数在(-∞,0)上单调递减.
答案单调递减
8.已知函数f(x)=x3+ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.?
解析由题意,得f'(x)=3x2+a≥0在R上恒成立,即a≥-3x2恒成立,故a≥0,所以a的取值范围是[0,+∞).
答案[0,+∞)
9.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x-2,求:
(1)函数y=f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)f(x)的单调递减区间.
解(1)f'(x)=-3x2+6x+9,f'(0)=9=k,f(0)=-2,所以切点为(0,-2),
∴切线方程为y=9x-2,一般方程为9x-y-2=0.
(2)f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),
令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,-1]和[3,+∞).
10.
已知二次函数h(x)=ax2+bx+2,其导函数y=h'(x)的图像如图所示,f(x)=6ln
x+h(x).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数,求实数m的取值范围.
解(1)由已知,h'(x)=2ax+b,
其图像为直线,且过(0,-8),(4,0)两点,把两点坐标代入h'(x)=2ax+b,∴解得
∴h(x)=x2-8x+2,h'(x)=2x-8,
∴f(x)=6ln
x+x2-8x+2.
(2)∵f'(x)=+2x-8=(x>0).
∴当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
↘
↗
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞),f(x)的单调递减区间为(1,3).
要使函数f(x)在区间上是单调函数,
则解得即实数m的取值范围为.
能力提升练
1.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(　　)
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,+∞)
解析构造函数g(x)=f(x)-(2x+4),
则g(-1)=2-(-2+4)=0,又f'(x)>2.
∴g'(x)=f'(x)-2>0,
∴g(x)是R上的增函数.
∴f(x)>2x+4?g(x)>0?g(x)>g(-1),
∴x>-1.
答案B
2.(多选)已知f(x)是可导的函数,且f'(x)A.f(1)020)020f(0)
B.f(1)>ef(0),f(1)>e2f(-1)
C.f(1)D.f(1)>ef(0),f(2
020)>e2
020f(0)
解析设g(x)=,所以g'(x)=,
因为f'(x)所以g(x)在R上是减函数,
所以g(1)020)020)020f(0),f(1)故选AC.
答案AC
3.函数f(x)=的单调递减区间为　　　　　.?
解析因为f(x)=,所以x>0且x≠1.
所以f'(x)=,
令f'(x)<0,解得0所以f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e).
答案(0,1),(1,e)
4.已知f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)单调递减,则b的取值范围是　　　　　.?
解析由题意,可知f'(x)=-x+≤0在x∈(-1,+∞)上恒成立,即b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)上恒成立,令f(x)=x(x+2)=x2+2x,x∈(-1,+∞),
∴f(x)>-1,∴要使b≤x(x+2),则b≤-1,
故b的取值范围为(-∞,-1].
答案(-∞,-1]
5.已知函数y=f(x)的定义域为,且y=f(x)的图像如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式x·f'(x)<0的解集是　　　　　.?
解析当x<0时,y=f(x)在上单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在上单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0不成立;
当x>0时,y=f(x)在(0,1)上单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0成立;
y=f(x)在(1,3)上单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0不成立,所以x·f'(x)<0的解集是-,-∪(0,1).
答案∪(0,1)
6.已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.
解f'(x)=(ax+2a+1)xex.
(1)若a=1,则f'(x)=(x+3)xex,f(x)=(x2+x-1)ex,所以f'(1)=4e,f(1)=e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.
(2)若a=-1,则f'(x)=-(x+1)xex.
令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=0.
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0;
当x∈(-1,0)时,f'(x)>0;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0;
所以f(x)的单调递增区间为[-1,0],单调递减区间为(-∞,-1]和[0,+∞).
7.(1)已知函数f(x)=axekx-1,g(x)=ln
x+kx.当a=1时,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上为增函数,求实数k的值;
(2)已知函数f(x)=x+-2ln
x,a∈R,讨论函数f(x)的单调区间.
解(1)当a=1时,f(x)=xekx-1,
∴f'(x)=(kx+1)ekx,g'(x)=+k.
∵f(x)在(1,+∞)上为减函数,
则对于任意x>1,f'(x)≤0?k≤-,∴k≤-1.
∵g(x)在(0,1)上为增函数,
则对于任意x∈(0,1),g'(x)≥0?k≥-,
∴k≥-1.
综上所述,k=-1.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∴f'(x)=1-.
①当Δ=4+4a≤0,即a≤-1时,
得x2-2x-a≥0,则f'(x)≥0.
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当Δ=4+4a>0,即a>-1时,
令f'(x)=0,得x2-2x-a=0,
解得x1=1-,x2=1+>0.
(ⅰ)若-10,
∵x∈(0,+∞),∴f(x)在(0,1-),(1+,+∞)上单调递增,
在(1-,1+)上单调递减.
(ⅱ)若a≥0,则x1≤0,当x∈(0,1+)时,f'(x)<0,当x∈(1+,+∞)时,f'(x)>0,
∴函数f(x)在区间(0,1+)上单调递减,
在区间(1+,+∞)上单调递增.
素养培优练
已知函数f(x)=ax2ex-1(a≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)已知a>0且x∈[1,+∞),若函数f(x)没有零点,求a的取值范围.
解(1)f'(x)=2axex+ax2ex=axex(2+x),
令f'(x)=0,则x=0或x=-2.
①若a>0,
当x<-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当-2当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
②若a<0,
当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当-20,f(x)单调递增;
当x>0时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞),单调递减区间为[-2,0];
当a<0时,f(x)的单调递增区间为[-2,0],单调递减区间为(-∞,-2]和[0,+∞).
(2)当a>0时,由(1)可知,f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,若函数没有零点,则f(1)=ae-1>0,解得a>,故a的取值范围为,+∞.