第六章测评-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word版，含解析）

第六章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如果物体的运动方程为s(t)=+2t(t>1),其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在2秒末的瞬时速度是
(　　)
A.米/秒
B.米/秒
C.米/秒
D.米/秒
2.若函数f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为
(　　)
A.0
B.2
C.1
D.-1
3.已知函数f(x)=x4+ax2+1,若曲线y=f(x)在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=(　　)
A.9
B.6
C.-9
D.-6
4.函数f(x)=exsin
x在区间上的值域为(　　)
A.[0,]
B.(0,)
C.[0,)
D.(0,]
5.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是(　　)
A.(2,3)
B.(3,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-∞,3)
6.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(　　)
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
7.设函数f(x)=x-ln
x(x>0),则y=f(x)(　　)
A.在区间,(1,e)内均有零点
B.在区间,(1,e)内均无零点
C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
8.f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,xf'(x)-f'(x)<0,且f(-3)=0,则不等式>0的解集为(　　)
A.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-3,3)
D.(-3,0)∪(3,+∞)
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9设函数f(x)=ex-x+,点P是曲线y=f(x)上的任意一点,P点处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围包含下列哪些(　　)
A.
B.
C.
D.
10.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像,则下面判断正确的有(　　)
A.在(-2,1)上f(x)是增函数
B.在(3,4)上f(x)是减函数
C.在x=-1处取得极小值
D.在x=1处取得极大值
11.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当-eD.若x∈[t,+∞)时,f(x)max=,则t的最小值为2
12.设函数f(x)=,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)定义域是(0,+∞)
B.x∈(0,1)时,f(x)图像位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)有且仅有两个极值点
E.f(x)在区间(1,2)上有最大值
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=2cos
x+sin
x,则f'的值为　　　　　.?
14过曲线y=x3-3x2上一点(2,-4)作曲线的切线,则切线方程为　　　　　.?
15.用长为18
cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,则该长方体的长、宽、高分别为　　　　　　　　时,其体积最大.?
16.若f(x)=mln
x-x3+x2-4x+4在(2,+∞)上单调递减,则实数m的取值范围为　　　　　.?
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=+x2.
(1)求f(x)的递减区间;
(2)当x∈[-1,1]时,求f(x)的值域.
18.(本小题满分12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求曲线y=f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ln
x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>2时,f(x)>3x-4.
20.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r
m,高为h
m,体积为V
m3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/m2,底面的建造成本为160元/m2,该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-1+axln
x(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)函数g(x)=m(x+1)+f(x),当022.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln
x+(a>0).
(1)求函数f(x)的极值.
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.
第六章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如果物体的运动方程为s(t)=+2t(t>1),其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在2秒末的瞬时速度是
(　　)
A.米/秒
B.米/秒
C.米/秒
D.米/秒
解析∵s(t)=+2t,∴s'(t)=-+2.故物体在2秒末的瞬时速度s'(2)=-+2=(米/秒).
答案A
2.若函数f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为
(　　)
A.0
B.2
C.1
D.-1
解析∵f(x)=x3-f'(1)·x2-x,
∴f'(x)=x2-2f'(1)·x-1,
∴f'(1)=1-2f'(1)-1,∴f'(1)=0.
答案A
3.已知函数f(x)=x4+ax2+1,若曲线y=f(x)在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=(　　)
A.9
B.6
C.-9
D.-6
解析f'(x)=4x3+2ax,由题意,知f'(-1)=-4-2a=8,∴a=-6.故选D.
答案D
4.函数f(x)=exsin
x在区间上的值域为(　　)
A.[0,]
B.(0,)
C.[0,)
D.(0,]
解析f'(x)=ex(sin
x+cos
x).
∵x∈,f'(x)>0,
∴f(x)在上是单调增函数,
∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f.
答案A
5.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是(　　)
A.(2,3)
B.(3,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-∞,3)
解析f'(x)=6x2+2ax+36.
因为f(x)在x=2处有极值,
所以f'(2)=0,解得a=-15.
令f'(x)>0,得x>3或x<2.
所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).
答案B
6.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(　　)
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
解析f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·ex-1,
则f'(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0,
解得a=-1,则f(x)=(x2-x-1)·ex-1,f'(x)=(x2+x-2)·ex-1,令f'(x)=0,得x=-2或x=1,
当x<-2或x>1时,f'(x)>0,
当-2则f(x)极小值为f(1)=-1.
答案A
7.设函数f(x)=x-ln
x(x>0),则y=f(x)(　　)
A.在区间,(1,e)内均有零点
B.在区间,(1,e)内均无零点
C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
解析f'(x)=,令f'(x)=0,得x=3,当00,f(e)=-1<0,f+1>0,所以y=f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点.
答案D
8.f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,xf'(x)-f'(x)<0,且f(-3)=0,则不等式>0的解集为(　　)
A.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-3,3)
D.(-3,0)∪(3,+∞)
解析设函数g(x)=,则g'(x)=,
当x<0时,xf'(x)-f(x)<0,所以此时g'(x)=<0,即函数g(x)单调递减.
又函数g(x)=为奇函数,
所以函数g(x)在x>0时单调递减,且f(3)=0.
画出函数g(x)=的草图(只体现单调性),
则不等式>0的解集为0即不等式的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
答案B
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9设函数f(x)=ex-x+,点P是曲线y=f(x)上的任意一点,P点处的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围包含下列哪些(　　)
A.
B.
C.
D.
解析f'(x)=ex->-.
设切线的倾斜角为α,则tan
α>-,
故可得α∈.
故选CD.
答案CD
10.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像,则下面判断正确的有(　　)
A.在(-2,1)上f(x)是增函数
B.在(3,4)上f(x)是减函数
C.在x=-1处取得极小值
D.在x=1处取得极大值
解析根据导函数的正负,得到原函数的增减性,由图可得如下数据:
x
(-3,
-1)
-1
(-1,
2)
2
(2,4)
4
(4,
+∞)
f'(x)
-
0
+
0
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
在(3,4)上f(x)是减函数,在x=-1处取得极小值.
正确的有BC.
答案BC
11.已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当-eD.若x∈[t,+∞)时,f(x)max=,则t的最小值为2
解析由f(x)=0,得x2+x-1=0,解得x=,所以A正确.
f'(x)=-=-,当f'(x)>0时,-12.所以(-∞,-1),(2,+∞)是函数的单调递减区间,(-1,2)是函数的单调递增区间,所以f(-1)是函数的极小值,f(2)是函数的极大值,所以B正确.
当x→+∞时,f(x)→0,根据B可知,函数的最小值是f(-1)=-e,再根据单调性可知,当-e由图像可知,t的最大值是2,所以D不正确.
故选ABC.
答案ABC
12.设函数f(x)=,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)定义域是(0,+∞)
B.x∈(0,1)时,f(x)图像位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)有且仅有两个极值点
E.f(x)在区间(1,2)上有最大值
解析由题意,函数f(x)=满足解得x>0且x≠1,所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A不正确;由f(x)=,当x∈(0,1)时,ln
x<0,∴f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的图像都在x轴的下方,所以B正确;因为f'(x)=>0在定义域上有解,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C是正确的;由g(x)=ln
x-,则g'(x)=(x>0),所以g'(x)>0,函数g(x)单调递增,则函数f'(x)=0只有一个根x0,使得f'(x0)=0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,函数单调递减,当x∈(x0,+∞)时,函数单调递增,所以函数只有一个极小值,所以D不正确;由g(x)=ln
x-,则g'(x)=(x>0),所以g'(x)>0,函数g(x)单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=ln
2->0,所以函数f(x)在(1,2)先减后增,没有最大值,所以E不正确,故选BC.
答案BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=2cos
x+sin
x,则f'的值为　　　　　.?
解析依题意,得f'(x)=-2sin
x+cos
x,故f'=-2sincos=-=-.
答案-
14过曲线y=x3-3x2上一点(2,-4)作曲线的切线,则切线方程为　　　　　.?
解析由题意可得y'=3x2-6x.
设该切线切点为(x0,y0),则切线斜率为3-6x0,因此切线方程为y=(3-6x0)(x-x0)+y0=(3-6x0)(x-x0)+-3.
又点(2,-4)在切线上,
∴(3-6x0)(2-x0)+-3=-4,
整理,得(2-x0)2(2x0-1)=0,
解得x0=2或x0=.
代入切线方程,化简得y=-4或y=-x+,
整理得,y=-4或9x+4y-2=0.
答案9x+4y-2=0或y=-4
15.用长为18
cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,则该长方体的长、宽、高分别为　　　　　　　　时,其体积最大.?
解析设长、宽、高分别为2x,x,h,则4(2x+x+h)=18,h=-3x,
∴V=2x·x·h=2x2=-6x3+9x2,由V'=0,得x=1或x=0(舍去).
∴x=1是函数V在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,
故长、宽、高分别为2
cm,1
cm,
cm时,体积最大.
答案2
cm,1
cm,
cm
16.若f(x)=mln
x-x3+x2-4x+4在(2,+∞)上单调递减,则实数m的取值范围为　　　　　.?
解析∵f(x)=mln
x-x3+x2-4x+4(x>0),
∴f'(x)=-3x2+3x-4.
由于f(x)在(2,+∞)上单调递减,
即f'(x)≤0在(2,+∞)上恒成立,
即-3x2+3x-4≤0在(2,+∞)上恒成立,
则m≤3x3-3x2+4x在(2,+∞)上恒成立,
即m≤g(x)min在(2,+∞)上恒成立,
设g(x)=3x3-3x2+4x(x>2),
g'(x)=9x2-6x+4,知Δ=36-4×9×4<0,
∴x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴m≤g(x)min=g(2)=3×23-3×22+4×2=20,
∴m≤20,即实数m的取值范围为(-∞,20].
答案(-∞,20]
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=+x2.
(1)求f(x)的递减区间;
(2)当x∈[-1,1]时,求f(x)的值域.
解(1)由函数f(x)=+x2,得f'(x)=x2+2x.
由f'(x)=x2+2x<0,解得x∈(-2,0).
即f(x)的递减区间为[-2,0].
(2)当f'(x)=x2+2x>0,解得x∈(-∞,-2)∪(0,+∞),
即f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增.
所以f(0)≤f(x)≤max{f(-1),f(1)},且f(0)=0,f(-1)=,f(1)=,
故f(x)的值域为.
18.(本小题满分12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求曲线y=f(x)在点A(1,16)处的切线方程.
解(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a.
∵f(x)在x=3处取得极值,
∴f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.
∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.
(2)A点在f(x)上,由(1),可知f'(x)=6x2-24x+18,f'(1)=6-24+18=0,
∴切线方程为y=16.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ln
x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>2时,f(x)>3x-4.
解(1)依题意,知函数的定义域为{x|x>0},
∵f'(x)=2x-,
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0∴f(x)的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为[0,1].
(2)设g(x)=f(x)-3x+1=x2-2ln
x-3x+4,
∴g'(x)=2x--3=,
∵当x>2时,g'(x)>0,
∴g(x)在(2,+∞)上为增函数,
∴g(x)>g(2)=4-2ln
2-6+4>0,
∴当x>2时,x2-2ln
x>3x-4,
即当x>2时,f(x)>3x-4.
20.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r
m,高为h
m,体积为V
m3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/m2,底面的建造成本为160元/m2,该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
又根据题意200πrh+160πr2=12
000π,
所以h=(300-4r2),
从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
因为r>0,又由h>0可得r<5,
故函数V(r)的定义域为(0,5).
(2)因为V(r)=(300r-4r3),
所以V'(r)=(300-12r2).
令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).
当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-1+axln
x(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)函数g(x)=m(x+1)+f(x),当0解(1)因为f'(x)=a(ln
x+1)+1,
当a=0时,f'(x)=1>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞);
当a>0时,由f'(x)>0得x>,
所以函数f(x)的单调递增区间是[,+∞);
当a<0时,由f'(x)>0得0所以函数f(x)的单调递增区间是[0,].
(2)g(x)≥0,即m(x+1)+axln
x+x-1≥0,因为x>0,
所以m≥,令h(x)=,
①当x≥1时,因为0x≤0,
因此1-x-axln
x≤0,所以只需m≥0.
②当0x≤-xln
x,
所以h(x)≤,
因此只需h(x)≤≤m,即m+ln
x-+1≥0,构造函数p(x)=m+ln
x-+1,p'(x)=,
当m≥2时,p(x)在(0,m-1)上单调递减,在(m-1,+∞)上单调递增,
所以p(x)min=p(m-1)=m+2+ln(m-1)>0;
当m=1时,p(x)=ln
x+2,
则p=-3+2=-1<0,不满足题意;
当m=0时,p(x)=ln
x-+1,
则p=-e<0,故不满足题意.
综上可知,整数m的最小值为2.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln
x+(a>0).
(1)求函数f(x)的极值.
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.
解(1)由题意,知x>0,f'(x)=(a>0).
由f'(x)>0,得>0,解得x>,所以函数f(x)的单调递增区间为;
由f'(x)<0,得<0,解得0所以当x=时,函数f(x)取得极小值为f=aln+a=a-aln
a,无极大值.
(2)由(1),知函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
①当0<≤1,即a>1时,函数在[1,e]上为增函数,故函数f(x)的最小值为f(1)=aln
1+1=1,显然1≠0,故不满足条件;
②当1<a=a(1-ln
a),
由a(1-ln
a)=0,解得a=e或a=0(舍去),
而③当≥e,即0e+=a+,由a+=0,解得a=-,而0综上所述,这样的a不存在.