第五章　习题课——等比数列习题课-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word版，含解析）

第五章数列
习题课——等比数列习题课
课后篇巩固提升
基础达标练
1.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=24-n
B.an=2n-4
C.an=2n-3
D.an=23-n
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4等于(　　)
A.7
B.8
C.15
D.16
3.已知在等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1]
B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S2+a2,S3成等差数列,则数列{an}的公比为(　　)
A.1
B.2
C.
D.3
5.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=15,S9=18,在等比数列{bn}中,b3=a3,b5=a5,则b7的值为(　　)
A.
B.
C.2
D.3
6.(多选)已知等差数列{an}的首项为1,公差d=4,前n项和为Sn,则下列结论成立的有(　　)
A.数列的前10项和为100
B.若a1,a3,am成等比数列,则m=21
C.若,则n的最小值为6
D.若am+an=a2+a10,则的最小值为
7.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=　　　　　.?
8.已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2-+2a10=0,首项为的等比数列{bn}的前n项和为Sn,若b6=a6,则S6=　　　　　.?
9.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=3,求Sn.
10.已知数列{an},用a1,a2,a3,…,an,…构造一个新数列a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…,此数列是首项为1,公比为的等比数列.求:
(1)数列{an}的通项;
(2)数列{an}的前n项和Sn.
能力提升练
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=(　　)
A.4n-1
B.4n-1
C.2n-1
D.2n-1
2.数列{an}满足a1=1,对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n,则+…+=(　　)
A.
B.
C.
D.
3.如图,已知点D为△ABC的边BC上一点,=3,En(n∈N+)为边AC上的动点,满足an+1-(3an+2).实数列{an}中,an>0,a1=1,则{an}的通项公式为(　　)
A.3·2n-1-2
B.2n-1
C.3n-2
D.2·3n-1-1
4.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Sn恒成立,则实数t的最小值为　　　　　.?
5.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=　　　　　.?
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Tn=a1·a2·a3·a4·…·an,若a7=2,a10=16,则满足Sn>Tn的最大正整数n的值为　　　　.?
7.已知数列{an}是等差数列,an+1>an,a1·a10=160,a3+a8=37.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第2n项,按原来的顺序组成一个新数列{bn},求Sn=b1+b2+…+bn.
8.设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+.设Sn为数列{bn}的前n项和,已知b1≠0,2bn-b1=S1·Sn,n∈N+.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=bn·log3an,求数列{cn}的前n项和Tn;
(3)证明对任意n∈N+,且n≥2,有+…+.
素养培优练
　设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N+.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.
(1)求a4的值;
(2)证明为等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.
第五章数列
习题课——等比数列习题课
课后篇巩固提升
基础达标练
1.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,则数列{an}的通项公式为(　　)
A.an=24-n
B.an=2n-4
C.an=2n-3
D.an=23-n
解析等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,
由等比数列通项公式可得
两式相除可得q3=,即q=,
代入可求得a1=8=23,
所以an=23·n-1=24-n.
答案A
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4等于(　　)
A.7
B.8
C.15
D.16
解析设等比数列的公比为q,则由4a1,2a2,a3成等差数列,得4a2=4a1+a3,
∴4a1q=4a1+a1q2.∴q2-4q+4=0.
∴q=2.∴S4=15.
答案C
3.已知在等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1]
B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
答案D
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S2+a2,S3成等差数列,则数列{an}的公比为(　　)
A.1
B.2
C.
D.3
解析因为S1,S2+a2,S3成等差数列,所以2(S2+a2)=S1+S3,2(a1+a2+a2)=a1+a1+a2+a3,a3=3a2,q=3.选D.
答案D
5.等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=15,S9=18,在等比数列{bn}中,b3=a3,b5=a5,则b7的值为(　　)
A.
B.
C.2
D.3
解析在等差数列{an}中,由
得a3=3,a5=2.
于是b3=3,b5=2,所以b7=.
答案B
6.(多选)已知等差数列{an}的首项为1,公差d=4,前n项和为Sn,则下列结论成立的有(　　)
A.数列的前10项和为100
B.若a1,a3,am成等比数列,则m=21
C.若,则n的最小值为6
D.若am+an=a2+a10,则的最小值为
解析由已知,可得an=4n-3,Sn=2n2-n,=2n-1,则数列为等差数列,则前10项和为=100.所以A正确;
a1,a3,am成等比数列,则=a1·am,am=81,即am=4m-3=81,解得m=21,故B正确;
因为,
所以
=1-+…+
=,
解得n>6,故n的最小值为7,故选项C错误;
由等差数列的性质可知m+n=12,
所以(m+n)
=1++16
≥(17+2×4)
=,
当且仅当时,即n=4m=时取等号,
因为m,n∈N+,所以等号不成立,故选项D错误.
故选AB.
答案AB
7.已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=　　　　　.?
解析设{an}的公比为q,则a4=a2q2,a3=a2q.
所以a4-a3=a2q2-a2q=4,又a2=2,
所以q2-q-2=0,
解得q=2或q=-1.
又{an}为递增数列,所以q=2.
答案2
8.已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2-+2a10=0,首项为的等比数列{bn}的前n项和为Sn,若b6=a6,则S6=　　　　　.?
解析∵2a2-+2a10=0,∴4a6=.
∵a6≠0,∴a6=4.∴b6=4.
又∵{bn}的首项b1=,
∴q5==32.∴q=2.
∴S6=.
答案
9.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=3,求Sn.
解(1)由题意得a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),
∵a1≠0,∴2q2+q=0.
又q≠0,∴q=-.
(2)由已知可得a1-a1=3,故a1=4,
∴Sn=.
10.已知数列{an},用a1,a2,a3,…,an,…构造一个新数列a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…,此数列是首项为1,公比为的等比数列.求:
(1)数列{an}的通项;
(2)数列{an}的前n项和Sn.
解(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1++…+.
(2)Sn=a1+a2+a3+…+an=+…+
=
=n-
=n-
=(2n-1)+.
能力提升练
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=(　　)
A.4n-1
B.4n-1
C.2n-1
D.2n-1
解析∵
=2,解得q=.
代入①得a1=2,∴an=2×,
∴Sn==4,
∴=2n-1,故选D.
答案D
2.数列{an}满足a1=1,对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n,则+…+=(　　)
A.
B.
C.
D.
解析由an+1=a1+an+n,得an+1-an=n+1,
所以a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2),上述(n-1)个式子相加得an-a1=2+3+…+n,
所以an=1+2+3+…+n=,
当n=1时,a1=1满足上式,
所以an=(n∈N+),
所以=2,
所以+…+=2×+…+=2×.故选D.
答案D
3.如图,已知点D为△ABC的边BC上一点,=3,En(n∈N+)为边AC上的动点,满足an+1-(3an+2).实数列{an}中,an>0,a1=1,则{an}的通项公式为(　　)
A.3·2n-1-2
B.2n-1
C.3n-2
D.2·3n-1-1
解析因为=3+4,
又,
所以=-.
设m,
则由an+1-(3an+2)·,
得-m=an+1,m=-(3an+2),
所以an+1=(3an+2),所以an+1+1=3(an+1).
因为a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以an+1=2·3n-1,
所以an=2·3n-1-1.故选D.
答案D
4.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Sn恒成立,则实数t的最小值为　　　　　.?
解析令m=1,则=a1,由a1=,知an+1=an,
∴{an}是以a1为首项,为公比的等比数列.
∴an=,
∴Sn=
=.
由SnSn的最大值,可知t的最小值为.
答案
5.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=　　　　　.?
解析由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,说明{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中连续四项至少有一项为负,∴q<0,又|q|>1,
∴{an}的连续四项为-24,36,-54,81,
∴q==-,∴6q=-9.
答案-9
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Tn=a1·a2·a3·a4·…·an,若a7=2,a10=16,则满足Sn>Tn的最大正整数n的值为　　　　.?
解析根据题意,a7=2,a10=16,
∴q=2,所以an=2n-6.
记Sn=a1+a2+…+an=,
Tn=a1·a2·…·an=2-5·2-4·…·2n-6=,由题意Sn>Tn,即,
∴2n-1>,
∴2n->1,
因此只需n>,∴n2-13n+10<0,
∴由于n为整数,因此n最大为的整数部分,即为12.
故答案为12.
答案12
7.已知数列{an}是等差数列,an+1>an,a1·a10=160,a3+a8=37.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第2n项,按原来的顺序组成一个新数列{bn},求Sn=b1+b2+…+bn.
解(1)等差数列{an}中,an+1>an,a1+a10=a3+a8=37,
则解得
∴d==3.
∴an=5+(n-1)×3=3n+2.
(2)由(1)知,
b1=a2=3×2+2,
b2=a4=3×4+2,
…
bn==3·2n+2,
∴Sn=b1+b2+…+bn
=(3×2+2)+(3×4+2)+…+(3·2n+2)
=3×(2+4+…+2n)+2n
=3×+2n
=3×2n+1-6+2n
=6×2n+2n-6.
8.设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+.设Sn为数列{bn}的前n项和,已知b1≠0,2bn-b1=S1·Sn,n∈N+.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=bn·log3an,求数列{cn}的前n项和Tn;
(3)证明对任意n∈N+,且n≥2,有+…+.
(1)解∵an+1=3an,
∴{an}是公比为3,首项为a1=1的等比数列,
∴通项公式为an=3n-1.
∵2bn-b1=S1·Sn,
∴当n=1时,2b1-b1=S1·S1,
∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1.
∴当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2bn-2bn-1,
∴bn=2bn-1,
∴{bn}是公比为2,首项为b1=1的等比数列,
∴通项公式为bn=2n-1.
(2)解cn=bn·log3an=2n-1log33n-1=(n-1)2n-1,
Tn=0×20+1×21+2×22+…+(n-2)2n-2+(n-1)2n-1,
①
2Tn=0×21+1×22+2×23+…+(n-2)2n-1+(n-1)2n,
②
①-②得-Tn=0·20+21+22+23+…+2n-1-(n-1)2n=2n-2-(n-1)2n=-2-(n-2)2n,
∴Tn=(n-2)2n+2.
(3)证明当n≥2时,,
+…++…+.
素养培优练
　设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N+.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.
(1)求a4的值;
(2)证明为等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.
分析(1)令n=2可得a4的值;(2)先将4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2)转化为4an+2+an=4an+1,再利用等比数列的定义可证是等比数列;(3)先由(2)得数列的通项公式,再将数列的通项公式转化为数列是等差数列,进而可得数列{an}的通项公式.
(1)解当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,
即4×+5×=8×+1,解得a4=.
(2)证明∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),
∴4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),
即4an+2+an=4an+1(n≥2).
∵当n=1时,4a3+a1=4×+1=6=4a2,
∴当n=1时,4an+2+an=4an+1成立.
∵,
∴数列是以a2-a1=1为首项,以为公比的等比数列.
(3)解由(2),知数列是以a2-a1=1为首项,以为公比的等比数列,
∴an+1-an=,即=4,
∴数列是以=2为首项,以4为公差的等差数列,∴=2+(n-1)×4=4n-2,
即an=(4n-2)×=(2n-1)×,
∴数列{an}的通项公式是an=(2n-1)×.