6.3　利用导数解决实际问题-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word版，含解析）

第六章导数及其应用
6.3　利用导数解决实际问题
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)(　　)
A.32,16
B.30,15
C.40,20
D.36,18
2.将8分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小,则应分为(　　)
A.2和6
B.4和4
C.3和5
D.以上都不对
3.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为(　　)时,其容积最大.
A.
B.
C.
D.
4.某公司生产某种产品,固定成本为20
000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)=
则总利润最大时,每年生产的产品是(　　)
A.100
B.150
C.200
D.300
5.已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是(　　)
A.1
B.
C.
D.2
6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为　　　　　.?
7.某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+5(x-6)2,其中38.
某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度.
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k>0),O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
9.某商店经销一种商品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的日售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;
(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
能力提升练
1.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕(　　)
A.8万斤
B.6万斤
C.3万斤
D.5万斤
2.已知等腰梯形的上底长为7,腰长为2,那么该等腰梯形面积最大时的下底长为(　　)
A.7.5
B.8
C.8.5
D.9
3.如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10
m,AB=8
m的仓库,则当总造价最低时,PO=(　　)
A.
m
B.
m
C.4
m
D.4
m
4.如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为　　　　　.?
5.
如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是　　　　　.?
6.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)=为使公司获得最大利润,则应将年产量定为　　　　　千件(注:年利润=年销售收入-年总成本).?
7.已知正三棱锥的体积为,则其表面积的最小值为　　　　　.?
8.
如图所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边A处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂位于离海岸40
km的B处,乙厂到海岸的垂足D与A相距50
km.两厂要在此岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,则供水站C建在何处才能使水管费用最省?
9.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln
x+-17(万元).已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润p(x)(万年)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(取e3=20)
素养培优练
为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27
cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C1作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).
(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;
(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大?
第六章导数及其应用
6.3　利用导数解决实际问题
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)(　　)
A.32,16
B.30,15
C.40,20
D.36,18
解析要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L=2x+(x>0),则L'=2-.令L'=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为=32(米),可使L最短.
答案A
2.将8分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小,则应分为(　　)
A.2和6
B.4和4
C.3和5
D.以上都不对
解析设一个数为x,则另一个数为8-x,则其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2(0≤x≤8),y'=48x-192.令y'=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y'<0;当40.所以当x=4时,y最小.
答案B
3.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为(　　)时,其容积最大.
A.
B.
C.
D.
解析设正六棱柱容器的底面边长为x,则正六棱柱容器的高为(1-x),所以正六棱柱容器的容积为V(x)=(x+2x)·x·(1-x)=(-x3+x2),
所以V'(x)=-x2+x,令V'(x)=0,得x=0(舍去)或x=,则在0,上,V'(x)>0;在,1上,V'(x)<0,所以V(x)在0,上单调递增,在,1上单调递减,所以当x=时,V(x)取得最大值.
答案B
4.某公司生产某种产品,固定成本为20
000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)=
则总利润最大时,每年生产的产品是(　　)
A.100
B.150
C.200
D.300
解析由题意,得总成本函数为C(x)=20
000+100x,总利润P(x)=R(x)-C(x)=
所以P'(x)=令P'(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.
答案D
5.已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是(　　)
A.1
B.
C.
D.2
解析如
图,△PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,则AC=a,OA=OP=3,设OE=x(0则由AO2=OE2+AE2,得x2+a2=9,a2=18-2x2,PE=3+x,S四边形ABCD=18-2x2,
V=S四边形ABCD·PE=(18-2x2)(3+x)=(-x3-3x2+9x+27),
V'=(-3x2-6x+9)=-2(x-1)(x+3),当00,V单调递增,当1∴当x=1时,V取得极大值也是最大值Vmax=.
此时高PE=4,a==4,=1.故选A.
答案A
6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为　　　　　.?
解析由题设,知y'=x2-39x-40,
令y'>0,解得x>40或x<-1,
故函数y=x3-x2-40x(x>0)在(40,+∞)上单调递增,在(0,40)上单调递减.∴当x=40时,y取得最小值.由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.
答案40
7.某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+5(x-6)2,其中3解析设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,则L=y(x-3)=+5(x-6)2(x-3)=5x3-75x2+360x-539(30,得3答案4　21
8.
某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度.
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k>0),O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当O'B=40时,BB1=-×403+6×40=160,则AA1=160.由O'A2=160,得O'A=80.
所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).
(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).
设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-x3+6x,
EF=160-y2=160+x3-6x.
因为CE=80,所以O'C=80-x.
设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2,
所以CD=160-y1=160-(80-x)2=-x2+4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k
=k(0f'(x)=kx(x-20),
令f'(x)=0,得x=20.
x
(0,20)
20
(20,40)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以当x=20时,f(x)取得最小值.
答:(1)桥AB的长度为120米;
(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
9.某商店经销一种商品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的日售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;
(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
解(1)设日销售量为,则=10,
∴k=10e40,则日售量为件.则日利润L(x)=(x-30-a)=10e40·;
答:该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)=10e40·.
(2)L'(x)=10e40·.
①当2≤a≤4时,33≤a+31≤35,
当35∴当x=35时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;
②当4令L'(x)=0,得x=a+31,易知当x=a+31时,L(x)取最大值为10e9-a.
综上,得L(x)max=
答:当2≤a≤4时,当每件产品的日售价35元时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;当4能力提升练
1.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕(　　)
A.8万斤
B.6万斤
C.3万斤
D.5万斤
解析设销售的利润为g(x),由题意,得g(x)=-x3+ax2+x-1-x,x∈(0,8],
即g(x)=-x3+ax2-1.当x=2时,g(2)=-1+a-1=,解得a=2,故g(x)=-x3+x2-1,g'(x)=-x2+x=-x(x-6),
当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大,故选B.
答案B
2.已知等腰梯形的上底长为7,腰长为2,那么该等腰梯形面积最大时的下底长为(　　)
A.7.5
B.8
C.8.5
D.9
解析根据题意,绘图如下:
由题意,可知AB=7,AD=2,不妨设DE=x,x∈(0,2),
故可得AE=,DC=7+2x,则梯形的面积
f(x)=(7+x)
=,
令h(x)=-x4-14x3-45x2+56x+196,
故可得h'(x)=-4x3-42x2-90x+56,
令g(x)=-4x3-42x2-90x+56,
则g'(x)=-12x2-84x-90,
因为x∈(0,2),容易知g'(x)<0恒成立,
故可得h'(x)在区间(0,2)上单调递减,
又h'(0)>0,h'(2)<0,h'=0,故可得h(x)在区间0,上单调递增,在,2上单调递减,故当且仅当x=时,h(x)取得最大值,则f(x)也取得最大值.此时,梯形的底边长DC=7+2x=8.故选B.
答案B
3.如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10
m,AB=8
m的仓库,则当总造价最低时,PO=(　　)
A.
m
B.
m
C.4
m
D.4
m
解析如
图,设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.
由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE.
在Rt△POE中,设∠PEO=θ,则有PO=4tan
θ,PE=,
所以上部屋顶面积为S=4S△PBC=,下部主体的高度为h=10-4tan
θ,
所以仓库的总造价为y=S·k+h·8k=32k·+80k.
设f(θ)=0<θ<,所以f'(θ)=.
令f'(θ)=0,得sin
θ=,所以θ=.
则当0<θ<时,f'(θ)<0,f(θ)在0,上单调递减;
当<θ<时,f'(θ)>0,f(θ)在上单调递增;
所以当θ=时,f(θ)有最小值,此时总造价最低,PO=
m.
答案B
4.如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为　　　　　.?
解析根
据题意,画出图形:
由题意,设小圆柱体底面半径为cos
θ,
则高为1+sin
θ,θ∈0,,
小圆柱体体积V=π·cos2θ·(1+sin
θ).
设sin
θ=t,t∈(0,1),
则V=π·(1-t2)(1+t)=π·(-t3-t2+t+1).
则V'=π·(-3t2-2t+1)=π·(-3t+1)(t+1).
当t=时,Vmax=.
答案
5.
如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是　　　　　.?
解析设CD=x,则点C的坐标为,
点B的坐标为,
∴矩形ABCD的面积S=f(x)=x·=-+x,x∈(0,2).
由f'(x)=-x2+1=0,
得x1=-(舍),x2=,
∴x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故当x=时,f(x)取最大值.
答案
6.已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)=为使公司获得最大利润,则应将年产量定为　　　　　千件(注:年利润=年销售收入-年总成本).?
解析设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)=
当0所以W(x)在(0,6)上单调递增,在(6,10]上单调递减,最大值为W(6)=3.6×6--5=9.4万元.
当x>10时,W(x)=190--3x=190-+3x≤190-2=190-2×75=40,
当且仅当=3x,即x=25时,等号成立.
综上所述,当x=25千件时,年利润最大.
答案25
7.已知正三棱锥的体积为,则其表面积的最小值为　　　　　.?
解析设
正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,∴AB=a,SO=h.
∴SO⊥底面ABC,AB?底面ABC,
∴AB⊥SO,SO⊥OD.
又∵AB⊥OD,SO∩OD=O,∴AB⊥平面SOD.
又∵SD?平面SOD,∴AB⊥SD,即SD为△SAB的高,三棱锥体积×a2×h,得a2h=12,
又O为底面中心,∴OD=ABsin
60°=a,SD=,
三棱锥的表面积S=a2+3××a×a2+,将a2=代入得S==3.
∴S'=3,令S'=0,得h3-2-2=0,令=t(t>0),上式可化为t2-2t-3=0,解得t=3,或t=-1(舍),
∴=3,得h=2.
当02时,S'>0,故S在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时S=3=6.
答案6
8.
如图所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边A处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂位于离海岸40
km的B处,乙厂到海岸的垂足D与A相距50
km.两厂要在此岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,则供水站C建在何处才能使水管费用最省?
解设C点距D点x
km,则AC=50-x(km),
所以BC=(km).
又设总的水管费用为y元,
依题意,得y=3a(50-x)+5a(0y'=-3a+.令y'=0,解得x=30.
在(0,50)上,y只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在x=30
km处取得最小值,此时AC=50-x=20(km).故供水站建在A,D之间距甲厂20
km处,可使水管费用最省.
9.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln
x+-17(万元).已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润p(x)(万年)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(取e3=20)
解(1)每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.
依题意,得当0当x≥7时,p(x)=6x-6x+ln
x+-17-2=15-ln
x-.
∴p(x)=
(2)当0∴当x=6时,p(x)的最大值为p(6)=10(万元).
当x≥7时,p(x)=15-ln
x-,
∴p'(x)=-,
∴当7≤x∴当x=e3时,p(x)取最大值p(e3)=15-ln
e3-1=11(万元).
∵11>10,
∴当x=e3≈20时,p(x)取得最大值11万元,
即当年产量约为20万件,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元.
素养培优练
为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27
cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C1作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).
(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;
(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大?
解设三棱柱的底面边长为x
cm,即A1C=x,
则A1A=27-x.
因为△ABC为等边三角形,
所以三棱柱的高为×(27-x)=(27-x).
(1)因为三棱柱的底面积为×x×x×x2,
侧面积为3×x×(27-x)=(27x-x2),
所以x2=(27x-x2),
解得x=18或x=0(舍去).
即三棱柱的底面边长为18
cm.
(2)三棱柱的体积V=x2×(27-x)=(27x2-x3).
因为x>0,(27-x)>0,所以0因为V'=(54x-3x2)=x(18-x),
所以当00,V单调递增;
当18所以当x=18时,V取到极大值,也是最大值,
Vmax=(27×182-183)=.
即当底面边长为18
cm时,三棱柱的体积最大,为
cm3.