7.1.2　弧度制及其与角度制的换算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册练习（Word版，含解析）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.=60°
B.10°=
C.36°=
D.=115°
2.将2
025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是
(　　)
A.-+10π
B.+10π
C.-+12π
D.+10π
3.若α=-3,则角α的终边在(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.(多选)下列转化结果正确的是(　　)
A.67°30'化成弧度是
B.-化成角度是-600°
C.-150°化成弧度是-
D.化成角度是15°
5.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N等于　　　　　.?
6.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了　　　　弧度,时针转了　　　　度.?
7.把下列各角化为2kπ+α,k∈Z,0≤α<2π的形式,并判断该角是第几象限角.
(1)π;(2)-1
104°.
能力提升练
1.已知,则角α的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第一或第二象限
D.第三或第四象限
2.某扇形的周长为6,面积为2,则其圆心角的弧度数是
(　　)
A.1或4
B.1或2
C.2或4
D.1或5
3.集合A=与集合B=α=2kπ±,k∈Z的关系是(　　)
A.A=B
B.A?B
C.B?A
D.以上都不对
4.已知扇形的周长为6,圆心角为1,则扇形的半径为　　　　;扇形的面积为　　　　.?
5.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程为　　　　.?
6.已知扇形的圆心角为α,半径为R.
(1)若α=60°,R=10
cm,求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大?
素养培优练
　单位圆上有两个动点M,N,它们同时从点P(1,0)出发,沿圆周运动,点M按逆时针方向每秒旋转弧度,点N按顺时针方向每秒旋转弧度,试探究:
(1)点M,N首次在点P相遇需要多长时间?
(2)在1分钟内,点M,N在第二象限内相遇的次数为多少?
7.1.2　弧度制及其与角度制的换算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.=60°
B.10°=
C.36°=
D.=115°
答案ABC
2.将2
025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是
(　　)
A.-+10π
B.+10π
C.-+12π
D.+10π
解析2
025°=5×360°+225°,又225°=,故2
025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为+10π.
答案B
3.若α=-3,则角α的终边在(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析因为-π<-3<-,所以α=-3的终边在第三象限.
答案C
4.(多选)下列转化结果正确的是(　　)
A.67°30'化成弧度是
B.-化成角度是-600°
C.-150°化成弧度是-
D.化成角度是15°
解析67°30'=67.5×,A正确;
-=-×°=-600°,B正确;
-150°=-150×=-≠-,C错误;
×°=15°,D正确.
答案ABD
5.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N等于　　　　　.?
解析当k=-1,0,1,2时,M中的角满足N中的条件,故M∩N=.
答案
6.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了　　　　弧度,时针转了　　　　度.?
解析将时针拨慢5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的角都是正角,这时,分针转过的角度是=30°,即30×弧度,时针转过的角度是=2.5°.
答案　2.5
7.把下列各角化为2kπ+α,k∈Z,0≤α<2π的形式,并判断该角是第几象限角.
(1)π;(2)-1
104°.
解(1)由题意得,=6π+.
因为是第二象限的角,所以是第二象限角.
(2)-1
104°=-1
104×=-=-8π+.
因为是第四象限的角,所以-1
104°是第四象限角.
能力提升练
1.已知,则角α的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第一或第二象限
D.第三或第四象限
解析因为,
所以当k=2m(m∈Z)时,α=2mπ+,终边在第一象限;当k=2m+1(m∈Z)时,α=2mπ+,终边在第二象限.所以角α的终边在第一或第二象限.
答案C
2.某扇形的周长为6,面积为2,则其圆心角的弧度数是
(　　)
A.1或4
B.1或2
C.2或4
D.1或5
解析设此扇形的半径为r,圆心角的弧度数是α(0<α<2π),则有解得α=1或α=4.
答案A
3.集合A=与集合B=α=2kπ±,k∈Z的关系是(　　)
A.A=B
B.A?B
C.B?A
D.以上都不对
解析∵B=αα=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z=αα=kπ+,k∈Z=A,∴A=B.故选A.
答案A
4.已知扇形的周长为6,圆心角为1,则扇形的半径为　　　　;扇形的面积为　　　　.?
解析设扇形的半径为r,因为扇形的周长为6,圆心角为1,所以有2r+r=6,解得r=2,扇形面积为×1×22=2.
答案2　2
5.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程为　　　　.?
解析因为圆O的半径r=1,正方形的边长a=1,所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为,正方形在圆周上滚动时,点的位置如图所示,故当点A首次回到点P的位置时,正方形在圆周上滚动了3圈.设第i(i∈N
)次滚动点A的路程为Ai,则A1=×AB=,A2=×AC=,A3=×DA=,A4=0,所以点A所走过的路程为3(A1+A2+A3+A4)=π.
答案π
6.已知扇形的圆心角为α,半径为R.
(1)若α=60°,R=10
cm,求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大?
解(1)弧长l=αR=60××10=(cm).
(2)由已知c=l+2R,得
S扇=l·R=(c-2R)R=-R2
=-,
故当R=时,S扇取最大值,
此时l=,α==2,
所以当α为2
rad时,该扇形的面积最大.
素养培优练
　单位圆上有两个动点M,N,它们同时从点P(1,0)出发,沿圆周运动,点M按逆时针方向每秒旋转弧度,点N按顺时针方向每秒旋转弧度,试探究:
(1)点M,N首次在点P相遇需要多长时间?
(2)在1分钟内,点M,N在第二象限内相遇的次数为多少?
解(1)设从点P(1,0)出发,t(t>0)秒后点M,N首次在点P相遇,设此时是点M,N的第n(n∈N
)次相遇,则t+t=2nπ,即t=4n,
①
又由点M沿圆周运动到点P处,得t=2k1π(k1∈N
),即t=12k1(k1∈N
).
②
由①②得n=3k1,则当k1=1,n=3时,点M,N首次在点P相遇,所需要的时间t=12(秒).
(2)设第m(m∈N
)次相遇时所需的时间为x(x>0)秒,则x+x=2mπ,即x=4m.由x≤60得,m≤15,
③
又由点M在第二象限,知2k2π+x<2k2π+π(k2∈N),消去x得3k2+④
由③④知,当k2=0,1,2,3,4时,m=1,4,7,10,13,即在1分钟内,点M,N在第二象限内共相遇5次.