第六章导数及其应用
6.1 导数
6.1.1 函数的平均变化率
6.1.2 导数及其几何意义
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.4
2.若函数f(x)=x+,则f'(1)=( )
A.2
B.
C.1
D.0
3.已知点P(-1,1)为曲线上的一点,PQ为曲线的割线,当Δx→0时,若kPQ的极限为-2,则在点P处的切线方程为( )
A.y=-2x+1
B.y=-2x-1
C.y=-2x+3
D.y=-2x-2
4.已知函数f(x)=x2,则在曲线y=f(x)上切线倾斜角为的点是( )
A.(0,0)
B.(2,4)
C.
D.
5.已知直线l经过(-1,0),(0,1)两点,且与曲线y=f(x)切于点A(2,3),则的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,其三者的大小关系是 .?
7.已知函数f(x)=x2-2x+3,则曲线y=f(x)在点A(-1,6)处的切线方程是 .?
8.已知函数f'(x)=x2+2x,曲线y=f(x)在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标是 .?
9.若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,求a的值.
10.已知函数f(x)=x2,曲线y=f(x),
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
能力提升练
1.A,B两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有
( )
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
2.设函数f(x)可导,则等于( )
A.f'(1)
B.3f'(1)
C.f'(1)
D.f'(3)
3.设f(x)为可导函数,且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
4.(多选)已知函数f(x)=x3,曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率k=3,则点P的坐标是( )
A.(1,1)
B.(-1,-1)
C.(-1,1)
D.(1,-1)
5.若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s)
s(t)=
求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
6.已知函数f(x)=x3,若曲线y=f(x)在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,求a的值.
素养培优练
已知函数f(x)=,曲线y=f(x).
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;
(2)求满足斜率为-的曲线的切线方程.
第六章导数及其应用
6.1 导数
6.1.1 函数的平均变化率
6.1.2 导数及其几何意义
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.4
解析由已知,得=3,
∴m+1=3,∴m=2.
答案B
2.若函数f(x)=x+,则f'(1)=( )
A.2
B.
C.1
D.0
解析f'(1)=1-=0.
答案D
3.已知点P(-1,1)为曲线上的一点,PQ为曲线的割线,当Δx→0时,若kPQ的极限为-2,则在点P处的切线方程为( )
A.y=-2x+1
B.y=-2x-1
C.y=-2x+3
D.y=-2x-2
解析由题意可知,曲线在点P处的切线方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.
答案B
4.已知函数f(x)=x2,则在曲线y=f(x)上切线倾斜角为的点是( )
A.(0,0)
B.(2,4)
C.
D.
解析设切点为(x0,y0),
∵f'(x0)=(2x0+Δx)=2x0,∴2x0=tan=1,得x0=.
∴y0=,所求点的坐标为.
答案D
5.已知直线l经过(-1,0),(0,1)两点,且与曲线y=f(x)切于点A(2,3),则的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析∵直线l经过(-1,0),(0,1)两点,∴l:y=x+1.
直线与曲线y=f(x)切于点A(2,3),
可得曲线在x=2处的导数为f'(2)=1,
所以f'(2)==1.
答案C
6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,其三者的大小关系是 .?
解析∵=kMA,
=kAB,=kBC,
由图像可知,kMA答案
7.已知函数f(x)=x2-2x+3,则曲线y=f(x)在点A(-1,6)处的切线方程是 .?
解析因为f(x)=x2-2x+3,切点为点A(-1,6),所以斜率k=f'(-1)=
=(Δx-4)=-4,
所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.
答案4x+y-2=0
8.已知函数f'(x)=x2+2x,曲线y=f(x)在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标是 .?
解析设P(x0,y0),
则f'(x0)=(2x0+2+Δx)=2x0+2.
因为点P处的切线垂直于直线x+2y=0,
所以点P处的切线的斜率为2,
所以2x0+2=2,解得x0=0,即点P的坐标是(0,0).
答案(0,0)
9.若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,求a的值.
解∵f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c=a(Δx)2+2aΔx,∴f'(1)=(aΔx+2a)=2a,
即2a=2,∴a=1.
10.已知函数f(x)=x2,曲线y=f(x),
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.
解(1)设切点为(x0,y0),
∵f'(x0)=
==2x0,
∴f'(1)=2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
(2)点P(3,5)不在曲线y=f(x)上,设切点为A(x0,y0),
由(1)知,f'(x0)=2x0,
∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),
①
再由A(x0,y0)在曲线y=x2上得y0=,
②
联立①②得x0=1或x0=5.
从而切点为(1,1)时,
切线的斜率为k1=2x0=2,
此时切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,
此时切线方程为y-25=10(x-5),即y=10x-25.
综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为y=2x-1或y=10x-25.
能力提升练
1.A,B两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有
( )
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
解析由图可知,A,B两机关用电量在[0,t0]上的平均变化率都小于0,由平均变化率的几何意义知,A机关用电量在[0,t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率,从而A机关比B机关节能效果好.
答案B
2.设函数f(x)可导,则等于( )
A.f'(1)
B.3f'(1)
C.f'(1)
D.f'(3)
解析
=f'(1).
答案C
3.设f(x)为可导函数,且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
解析∵
==-1,
∴=-2,
即f'(1)=-2.
由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=-2,故选D.
答案D
4.(多选)已知函数f(x)=x3,曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率k=3,则点P的坐标是( )
A.(1,1)
B.(-1,-1)
C.(-1,1)
D.(1,-1)
解析设点P的坐标为(x0,y0),因为y=x3,
所以f'(x0)=[3+3x0·Δx+(Δx)2]=3.
由题意,知切线斜率k=3,令3=3,得x0=1或x0=-1.
当x0=1时,y0=1;
当x0=-1时,y0=-1.
故点P的坐标是(1,1)或(-1,-1).
答案AB
5.若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s)
s(t)=
求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
解(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为=24(m/s).
(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.
因为物体在t=0附近的平均变化率为=3Δt-18.所以物体在t=0处的瞬时变化率为(3Δt-18)=-18.
即物体的初速度为-18
m/s.
(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.
因为物体在t=1附近的平均变化率为=3Δt-12.所以物体在t=1处的瞬时变化率为(3Δt-12)=-12.
即物体在t=1时的速度为-12
m/s.
6.已知函数f(x)=x3,若曲线y=f(x)在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,求a的值.
解∵f'(a)==3a2,
∴曲线在(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a),切线与x轴的交点为.∴三角形的面积为·|a3|=,得a=±1.
素养培优练
已知函数f(x)=,曲线y=f(x).
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程;
(2)求满足斜率为-的曲线的切线方程.
解(1)设过点A(1,0)的切线的切点为P,
则f'(x0)==-,即该切线的斜率为k=-.
因为点A(1,0),P在切线上,
所以=-,
解得x0=.故切线的斜率k=-4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y=-4(x-1),
即4x+y-4=0.
(2)设斜率为-的切线的切点为Q,
由(1)知,k=f'(a)=-=-,得a=±.
所以切点坐标为或-,-.
故满足斜率为-的曲线的切线方程为y-=-(x-)或y+=-(x+),
即x+3y-2=0或x+3y+2=0.