5.3.1　等比数列-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word版，含解析）

第五章数列
5.3　等比数列
5.3.1　等比数列
课后篇巩固提升
基础达标练
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　)
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
2.在等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积等于(　　)
A.216
B.-216
C.217
D.-217
3设等比数列{an}满足a1+a3=3,a1-a5=-3,则a7=(　　)
A.8
B.-8
C.6
D.-6
4.在下面所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,则a+b+c的值为
(　　)
1
2
0.5
1
a
b
c
A.1
B.2
C.
D.4
5.公比为2的等比数列{an}中存在两项am,an,满足aman=32,则的最小值为
(　　)
A.
B.
C.
D.
6.在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两数是　　　　　.?
7.已知a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则a∶b∶c=　　　　　.(其中a,b,c不相等)?
8.设{an}是正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,则a3a6a9…a30=　　　　.?
9.在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.
(1)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比.
(2)是否存在a,b使得对于一切自然数n都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b;若不存在,请说明理由.
10.已知{an}是各项为不同的正数的等差数列,lg
a1,lg
a2,lg
a4成等差数列.又bn=,n=1,2,3,….
(1)证明{bn}为等比数列;
(2)如果数列{bn}前3项的和等于,求数列{an}的首项a1和公差d.
能力提升练
1.(多选)数列{an}满足an=qn(q>0,n∈N+),则以下结论正确的是(　　)
A.{a2n}是等比数列
B.是等比数列
C.{lg
an}是等差数列
D.{lg
}是等差数列
2.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,则a1和d的值分别为(　　)
A.
B.-
C.-,-
D.,-
3.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做“和差等比数列”.已知{an}是“和差等比数列”,a1=2,a2=3,则满足使不等式an>10的n的最小值是(　　)
A.8
B.7
C.6
D.5
4.朱载堉(1536—1611),中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f1,第七个音的频率为f2,则=(　　)
A.4
B.
C.
D.
5.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若数列{an}是唯一的,则a的值为　　　　　.?
6.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　　.?
7.设二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;
(2)求证:当a1≠时,是等比数列;
(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式.
8.判断是否存在一个等比数列{an},使其满足下列三个条件,使am-1,,am+1+依次成等差数列:①a1+a6=11,且a3a4=;②an+1>an;③至少存在一个m(m∈N+,且m>4).若存在,请写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
素养培优练
　已知{an}是递增的等比数列,a1=1,且2a2,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N+,求数列{bn}的前n项和Sn.
第五章数列
5.3　等比数列
5.3.1　等比数列
课后篇巩固提升
基础达标练
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　)
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
解析因为在等比数列中,an,a2n,a3n,…也成等比数列,所以a3,a6,a9成等比数列.
答案D
2.在等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积等于(　　)
A.216
B.-216
C.217
D.-217
解析由等比数列的性质:序号和相等,则对应项的乘积相等.∵a1·a17=a2·a16=…=,
∴a1·a2·…·a17=(a9)17=(-2)17=-217.
答案D
3设等比数列{an}满足a1+a3=3,a1-a5=-3,则a7=(　　)
A.8
B.-8
C.6
D.-6
解析设等比数列{an}的公比为q,
a1+a3=3,即a1(1+q2)=3,
①
a1-a5=-3,即a1(1-q4)=-3,
②
由②÷①得1-q2=-1,即q2=2,a1=1.
则an=a1qn-1=qn-1,所以a7=q6=(q2)3=8.
答案A
4.在下面所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,则a+b+c的值为
(　　)
1
2
0.5
1
a
b
c
A.1
B.2
C.
D.4
解析根据题意填写表格,得
1
2
3
4
0.5
1
2
1
所以a+b+c=.
答案C
5.公比为2的等比数列{an}中存在两项am,an,满足aman=32,则的最小值为
(　　)
A.
B.
C.
D.
解析aman=2m+n-2=32,∴m+n=7.
当m=1,n=6时,;
当m=2,n=5时,;
当m=3,n=4时,;
当m=4,n=3时,;
当m=5,n=2时,;
当m=6,n=1时,.
故的最小值为.
故选D.
答案D
6.在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两数是　　　　　.?
解析设两数依次为a,b,∴a2=2b,2b=a+30.
∴a2-a-30=0,∴a=6,∴b=18.
答案6,18
7.已知a,b,c成等差数列,且a,c,b成等比数列,则a∶b∶c=　　　　　.(其中a,b,c不相等)?
解析由已知,得
由①,得a=2b-c,代入②得2b2-bc-c2=0,
解得b=-c(b=c舍去).
∴c=-2b.∴a=2b-c=4b.
∴a∶b∶c=4b∶b∶(-2b)=4∶1∶(-2).
答案4∶1∶(-2)
8.设{an}是正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,则a3a6a9…a30=　　　　.?
解析因为数列{an}中,公比q=2,设a2a5a8…a29=x,
而a1a4a7…a28,a2a5a8…a29,a3a6a9…a30成等比数列,且公比为q10=210,
又a1a2a3…a30=230,即x3=230,
解得x=a2a5a8…a29=210,
所以a3a6a9…a30=220.
答案220
9.在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.
(1)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比.
(2)是否存在a,b使得对于一切自然数n都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b;若不存在,请说明理由.
解(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由已知a1=b1=1,a2=b2,得1+d=q,由a8=b3,得1+7d=q2,解得(舍去)或
(2)若存在a,b,使得an=logabn+b成立,即1+(n-1)·5=loga6n-1+b,∴5n-4=(n-1)loga6+b,
∴(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.
∴解得因此,存在a=,b=1使得结论成立.
10.已知{an}是各项为不同的正数的等差数列,lg
a1,lg
a2,lg
a4成等差数列.又bn=,n=1,2,3,….
(1)证明{bn}为等比数列;
(2)如果数列{bn}前3项的和等于,求数列{an}的首项a1和公差d.
分析要证明数列为等比数列,关键是从定义出发看bn+1与bn之比是否为同一常数,或是否满足等比数列通项公式的形式;由题设应先求出{an}的通项公式.
(1)证明∵lg
a1,lg
a2,lg
a4成等差数列,
∴2lg
a2=lg
a1+lg
a4,即=a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d,则(a1+d)2=a1(a1+3d),这样d2=a1d,从而d(d-a1)=0.
∵d≠0,∴d=a1≠0.∴an=a1+(n-1)d=n·d.
∴=2n·d.
∴bn=.
∴数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列.
(2)解∵b1+b2+b3=,
∴d=3.∴a1=d=3.
能力提升练
1.(多选)数列{an}满足an=qn(q>0,n∈N+),则以下结论正确的是(　　)
A.{a2n}是等比数列
B.是等比数列
C.{lg
an}是等差数列
D.{lg
}是等差数列
解析因为an=qn(q>0,n∈N+),所以a2n=q2n,=q2,故A正确;
,故B正确;
lg
an=lg
qn=nlg
q,故lg
an-lg
an-1=nlg
q-(n-1)lg
q=lg
q,故C正确;
lg
=lg
q2n=2nlg
q,故lg
-lg
=2nlg
q-2(n-1)lg
q=2lg
q,故D正确;
故选ABCD.
答案ABCD
2.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,则a1和d的值分别为(　　)
A.
B.-
C.-,-
D.,-
解析由
由两式得a1=,代入①式中,+3d=·d3,
化简得d9-3d3+2=0,即(d3-1)(d6+d3-2)=0,∵d≠1,
∴由d6+d3-2=0,得d=-,a1=.
答案D
3.如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做“和差等比数列”.已知{an}是“和差等比数列”,a1=2,a2=3,则满足使不等式an>10的n的最小值是(　　)
A.8
B.7
C.6
D.5
解析依题意,=5,得,
则数列{an}是首项为2,公比为的等比数列,
所以an=2·n-1,
验证知,当n≥5时,2·n-1>10成立,
所以n的最小值是5.
故选D.
答案D
4.朱载堉(1536—1611),中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f1,第七个音的频率为f2,则=(　　)
A.4
B.
C.
D.
解析设第一个音的频率为a,设相邻两个音之间的频率之比为q,那么an=aqn-1,根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍,得a13=2a=aq12,解得q=,所以=q4=,故选D.
答案D
5.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若数列{an}是唯一的,则a的值为　　　　　.?
解析设{an}的公比为q,则b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,
由b1,b2,b3成等比数列,得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.
(
)
由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(
)有两个不同的实根.由{an}唯一知方程(
)必有一根为0,代入(
)得a=.
答案
6.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　　.?
答案64
7.设二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;
(2)求证:当a1≠时,是等比数列;
(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式.
分析本题是有关数列、一元二次方程的根与系数关系的综合题.根据题目条件列出等量关系,找到递推关系即可获解.
解(1)根据根与系数的关系,有
代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,得=3.
∴an+1=an+.
(2)证明:∵an+1=an+,
∴an+1-.
当a1≠时,an-≠0,故数列是以为公比的等比数列.
(3)当a1=时,a1-.
故数列是首项为a1-,公比为的等比数列,
∴an=,n=1,2,3,…,
即数列{an}的通项公式为an=,n=1,2,3,….
8.判断是否存在一个等比数列{an},使其满足下列三个条件,使am-1,,am+1+依次成等差数列:①a1+a6=11,且a3a4=;②an+1>an;③至少存在一个m(m∈N+,且m>4).若存在,请写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
解假设存在符合条件的等比数列{an},
则
解得
又因为an+1>an,
所以取a1=,a6=.
设公比为q,由a6=a1q5,得q5,解得q=2,
所以an=·2n-1.
又因为am-1,,am+1+成等差数列,
所以2am-1+,
即2.
整理,得22m-7·2m-8=0,即(2m-8)(2m+1)=0.
因为2m+1>0,所以2m-8=0,
即2m=8,所以m=3,这与条件③中的m>4矛盾.
所以不存在符合题意的等比数列.
素养培优练
　已知{an}是递增的等比数列,a1=1,且2a2,a3,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N+,求数列{bn}的前n项和Sn.
解(1)设数列{an}的公比为q,由题意,知q>1.
∵2a2,a3,a4成等差数列,
∴3a3=a4+2a2,∴3q2=q3+2q,
即q2-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍去),∴q=2.
∴数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n-1.
(2)∵bn=
=,
∴Sn=1-+++…++
=
=
=.