5.1.2　数列中的递推-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word版，含解析）

第五章数列
5.1　数列基础
5.1.2　数列中的递推
课后篇巩固提升
基础达标练
1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是(　　)
A.a1=1,an+1=an+n,n∈N+
B.a1=1,an=an-1+n,n∈N+,n≥2
C.a1=1,an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2
D.a1=1,an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2
2.已知数列{an}中的首项a1=1,且满足an+1=an+,此数列的第3项是(　　)
A.1
B.
C.
D.
3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A.an=n
B.an=n+1
C.an=2n
D.an=2n-1
4.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+),且Sn=n2+λ.若数列{an}为递增数列,则实数λ的取值范围为(　　)
A.(-∞,1)
B.(-∞,2)
C.(-∞,3)
D.(-∞,4)
5.数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2),且a1=0,则此数列的第5项是　　　　　.?
6.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　.?
7.已知Sn是数列{an}的前n项和,若an=sin,则S2
020的值为　　　　.?
8.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,求通项an.
9.(2019浙江余姚第四中学高一竞赛)已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.
(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?
(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.
能力提升练
1.数列{an}满足a1=,an+1=1-,则a2
018等于(　　)
A.
B.-1
C.2
D.3
2.已知数列{an}满足a1=a(a∈R),an+1=+2an-2(n∈N+),则下列说法中错误的是
(　　)
A.若a>1,则数列{an}为递增数列
B.若数列{an}为递增数列,则a>1
C.存在实数a,使数列{an}为常数数列
D.存在实数a,使|an+1|≤2恒成立
3.已知数列{an},满足a1=3,=an+2(n∈N+),则使an>42
020成立的最小正整数n为(　　)
A.10
B.11
C.12
D.13
4.数列{an}中,a1=7,a9=8,且(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3),则a2等于　　　　　.?
5.数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n-1(n∈N+),则an=　　　　.若存在n∈N+使得an≤·λ成立,则实数λ的最小值为　　　　.?
6.已知数列{an}满足:a1=2,an+an-1=4n-2(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1+3b2+7b3+…+(2n-1)bn=an,求数列{bn}的通项公式.
素养培优练
　已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围.
第五章数列
5.1　数列基础
5.1.2　数列中的递推
课后篇巩固提升
基础达标练
1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是(　　)
A.a1=1,an+1=an+n,n∈N+
B.a1=1,an=an-1+n,n∈N+,n≥2
C.a1=1,an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2
D.a1=1,an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2
解析由题可知a1=1,an-an-1=n(n≥2).
答案B
2.已知数列{an}中的首项a1=1,且满足an+1=an+,此数列的第3项是(　　)
A.1
B.
C.
D.
解析a1=1,a2=a1+=1,a3=a2+.
答案C
3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A.an=n
B.an=n+1
C.an=2n
D.an=2n-1
解析由题可知a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,经验证,选D.
答案D
4.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+),且Sn=n2+λ.若数列{an}为递增数列,则实数λ的取值范围为(　　)
A.(-∞,1)
B.(-∞,2)
C.(-∞,3)
D.(-∞,4)
解析当n=1时,a1=S1=1+λ;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+λ-(n-1)2-λ=2n-1,
因为an+1-an=2>0(n≥2),
所以当n≥2时,数列{an}为递增数列.
若数列{an}为递增数列,只需a2>a1,
所以3>1+λ,即λ<2.
故选B.
答案B
5.数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2),且a1=0,则此数列的第5项是　　　　　.?
解析因为an=4an-1+3(n≥2),a1=0,所以a2=4×0+3=3,a3=4×3+3=15,a4=4×15+3=63,a5=4×63+3=255.
答案255
6.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　.?
解析由an+1=,得an=1-,
∵a8=2,∴a7=1-,
a6=1-=-1,a5=1-=2,…,
∴{an}是以3为周期的数列,
∴a1=a7=.
答案
7.已知Sn是数列{an}的前n项和,若an=sin,则S2
020的值为　　　　.?
解析∵T==6,
且a1=,a2=,a3=0,a4=-,a5=-,a6=0,a7=,…,
所以数列{an}的周期为6,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,
又2
020=6×336+4,
∴S2
020=(a1+a2+a3+a4)+336×0=.
答案
8.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,求通项an.
解将an+1=两边同时取倒数,得,
则,即,
∴,…,,
把以上这(n-1)个式子累加,得.
∵a1=1,∴an=.
9.(2019浙江余姚第四中学高一竞赛)已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.
(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?
(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.
解(1)由an=n2-n-30,得
a1=1-1-30=-30,
a2=22-2-30=-28,
a3=32-3-30=-24.
令an=60,则60=n2-n-30.
解得n=10或n=-9(舍去).
∴60是此数列的第10项.
(2)令an=n2-n-30=0,
解得n=6或n=-5(舍去),∴a6=0.
令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).
∴当n>6(n∈N+)时,an>0.
令n2-n-30<0,解得0∴当0(3)Sn存在最小值,不存在最大值.
由an=n2-n-30=n-2-,
知{an}是递增数列,且a1故Sn存在最小值S5=S6,不存在Sn的最大值.
能力提升练
1.数列{an}满足a1=,an+1=1-,则a2
018等于(　　)
A.
B.-1
C.2
D.3
解析当n=1时,a2=1-2=-1,a3=1-(-1)=2,a4=1-,a5=1-2=-1,所以数列的周期是3,所以a2
018=a(3×672+2)=a2=-1.
答案B
2.已知数列{an}满足a1=a(a∈R),an+1=+2an-2(n∈N+),则下列说法中错误的是
(　　)
A.若a>1,则数列{an}为递增数列
B.若数列{an}为递增数列,则a>1
C.存在实数a,使数列{an}为常数数列
D.存在实数a,使|an+1|≤2恒成立
解析对于A选项,若a>1,则an+1-an=+an-2=an+2->1+2-=0,∴an+1>an,即数列{an}为递增数列,则A正确;对于B选项,若数列{an}为递增数列,则an+1-an=+an-2=an+2->0,∴an+<-,或an+,即an<-2,或an>1,∴a<-2,或a>1,则B错;对于C选项,要使数列{an}为常数数列,则an+1-an=+an-2=(an-1)(an+2)=0,∴an=1,或an=-2,即存在实数a=1或a=-2,使数列{an}为常数数列,则C正确;对于D选项,由C选项可得,当a=1时,数列{an}为常数数列,即|an+1|=|1+1|=2,则存在实数a=1,使|an+1|≤2恒成立,则D正确.
答案B
3.已知数列{an},满足a1=3,=an+2(n∈N+),则使an>42
020成立的最小正整数n为(　　)
A.10
B.11
C.12
D.13
解析因为=an+2,即an+1=+2an,
所以an+1+1=+2an+1=(an+1)2,
则a2+1=(a1+1)2,a3+1=(a2+1)2=(a1+1,…,an+1=(an-1+1)2=(a1+1,
所以an+1=,即an=-1,
因为an>42
020,即-1>42
020,
又n∈N+,所以n≥12,
故选C.
答案C
4.数列{an}中,a1=7,a9=8,且(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3),则a2等于　　　　　.?
解析由(n-1)an=a1+a2+…+an-1(n≥3),
得nan+1=a1+a2+…+an,
两式相减,得nan+1-(n-1)an=an.
∴当n≥3时,nan+1=nan,即an+1=an.
又a9=8,∴a3=8.
又2a3=a1+a2,a1=7,∴a2=2a3-a1=9.
答案9
5.数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n-1(n∈N+),则an=　　　　.若存在n∈N+使得an≤·λ成立,则实数λ的最小值为　　　　.?
解析当n≥2时,
a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan=2n-1,
a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1-1,
两式相减得nan=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,
所以an=(n≥2).
当n=1时,a1=1满足上式,
综上所述,an=.
存在n∈N+使得an≤·λ成立的充要条件为存在n∈N+使得λ≥,
设bn=,
所以>1,即bn+1>bn,
所以{bn}单调递增,{bn}的最小项b1=,
即有λ≥b1=,λ的最小值为.
答案an=
6.已知数列{an}满足:a1=2,an+an-1=4n-2(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1+3b2+7b3+…+(2n-1)bn=an,求数列{bn}的通项公式.
解(1)由an+an-1=4n-2(n≥2)可化为(an-2n)+(an-1-2n+2)=0.
令cn=an-2n,则cn+cn-1=0,即cn=-cn-1.
因为a1=2,所以c1=a1-2=0,
所以cn=0,即an-2n=0,故an=2n.
(2)由b1+3b2+7b3+…+(2n-1)bn=an,
可知b1+3b2+7b3+…+(2n-1-1)bn-1=an-1(n≥2),
两式作差得(2n-1)bn=an-an-1=2(n≥2),
即bn=(n≥2).
又当n=1时,b1=a1=2也满足上式,故bn=.
素养培优练
　已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围.
解(1)∵2Sn=(n+1)an,∴2Sn+1=(n+2)an+1,
∴2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,
即nan+1=(n+1)an,∴,
∴=…==1,∴an=n(n∈N+).
(2)由(1)知bn=3n-λn2.
bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)=2·3n-λ(2n+1).
∵数列{bn}为递增数列,
∴2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<.
令cn=,
即>1.
∴{cn}为递增数列,∴λ即λ的取值范围为(-∞,2).