5.2.1　等差数列-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word版，含解析）

第五章数列
5.2　等差数列
5.2.1　等差数列
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为(　　)
A.an=2n-5
B.an=2n-3
C.an=2n-1
D.an=2n+1
2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=
(　　)
A.12
B.16
C.20
D.24
3.一个等差数列的首项为23,公差为整数,且前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差为(　　)
A.-2
B.-3
C.-4
D.-5
4元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题:“今有竹七节,下两节容米四升,上两节容米二升,各节欲均容,问逐节各容几升?”其大意为:现有一根七节的竹子,最下面两节可装米四升,最上面两节可装米二升,如果竹子装米量逐节等量减少,问竹子各节各装米多少升?以此计算,第四节竹子的装米量为(　　)
A.1升
B.升
C.升
D.升
5.若等差数列的第一、二、三项依次是,则该数列的公差d是　　　　　.?
6.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=　　　　.?
7.一种游戏软件的租金,第一天6元,第二天12元,以后每天比前一天多3元,则第n(n≥2)天的租金an=　　　(单位:元).?
8.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…中的项?如果是,那么是第几项?
9.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
10.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+1)2(n∈N+).
(1)求a1,a2;
(2)求证:数列{an}是等差数列.
能力提升练
1.在正整数100至400之间能被11整除的整数的个数是
(　　)
A.25
B.26
C.27
D.28
2.设{an}是首项为50,公差为2的等差数列,{bn}是首项为10,公差为4的等差数列,以ak和bk为两边的矩形内的最大圆的面积记为Sk,如果k≤21,那么Sk等于(　　)
A.π(k+24)2
B.π(k+12)2
C.π(2k+3)2
D.π(2k+1)2
3.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,且不等式log2(ax2-3x+6)>2的解集为{x|x<1或x>b},则数列{an}的通项公式为　　　　　.?
4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于　　　.?
5.已知函数f(x)=cos
x,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列,能构成等差数列,则实数m=　　　　　.?
6.等差数列{an}中,a3=8,a7=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Sn.
7.已知数列{an}满足a1=2,an=2an-1+2n+1(n≥2,n∈N+).
(1)设bn=,求证数列{bn}是等差数列,并写出其通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn=2n+1,且对于任意正整数n,不等式a恒成立,求正数a的取值范围.
素养培优练
　数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
第五章数列
5.2　等差数列
5.2.1　等差数列
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为(　　)
A.an=2n-5
B.an=2n-3
C.an=2n-1
D.an=2n+1
解析由题意得2(a+1)=(a-1)+(2a+3),解得a=0.所以{an}的前三项分别为-1,1,3,即a1=-1,d=2.故an=-1+(n-1)·2=2n-3.
答案B
2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=
(　　)
A.12
B.16
C.20
D.24
解析a2+a10=a4+a8=16,故选B.
答案B
3.一个等差数列的首项为23,公差为整数,且前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差为(　　)
A.-2
B.-3
C.-4
D.-5
解析设公差为d,d∈Z,由a6=23+5d>0,且a7=23+6d<0,得-答案C
4元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题:“今有竹七节,下两节容米四升,上两节容米二升,各节欲均容,问逐节各容几升?”其大意为:现有一根七节的竹子,最下面两节可装米四升,最上面两节可装米二升,如果竹子装米量逐节等量减少,问竹子各节各装米多少升?以此计算,第四节竹子的装米量为(　　)
A.1升
B.升
C.升
D.升
解析设竹子自下而上的各节容米量分别为a1,a2,…,a7,则有a1+a2+a6+a7=6,由等差数列的性质可得a1+a7=2a4=3,所以a4=.故选B.
答案B
5.若等差数列的第一、二、三项依次是,则该数列的公差d是　　　　　.?
解析依题意得2×,解得x=2,则d=.
答案
6.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=　　　　.?
解析设其公差为d,∵a1+a3+a5=105,
∴3a3=105.∴a3=35.
同理,由a2+a4+a6=99,得a4=33.
∴d=a4-a3=-2.
∴a20=a4+16d=33+16×(-2)=1.
答案1
7.一种游戏软件的租金,第一天6元,第二天12元,以后每天比前一天多3元,则第n(n≥2)天的租金an=　　　(单位:元).?
解析a1=6,a2=12,a3=15,a4=18,…,从第二项起,{an}才构成等差数列,且公差为3,在这个等差数列中第一项是12,而第n天的租金,是第n-1项,故an=12+(n-2)×3=3n+6(n≥2).
答案3n+6(n≥2)
8.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…中的项?如果是,那么是第几项?
解(1)由a1=8,d=5-8=2-5=-3,得数列的通项公式为an=-3n+11,令n=20,得a20=-49.
(2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得数列通项公式为an=-5-4(n-1).
令an=-401,解得n=100,即-401是这个数列的第100项.
9.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
解设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
∴d2=1,∴d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列,所以d>0,
∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
10.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+1)2(n∈N+).
(1)求a1,a2;
(2)求证:数列{an}是等差数列.
(1)解由已知条件得,a1=(a1+1)2.
∴a1=1.
又有a1+a2=(a2+1)2,即-2a2-3=0.
解得a2=-1(舍)或a2=3.
(2)证明由Sn=(an+1)2得
当n≥2时,Sn-1=(an-1+1)2,
∴Sn-Sn-1=[(an+1)2-(an-1+1)2]
=+2(an-an-1)],
即4an=+2an-2an-1,
∴-2an-2an-1=0,
∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2).
所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
能力提升练
1.在正整数100至400之间能被11整除的整数的个数是
(　　)
A.25
B.26
C.27
D.28
解析由100≤11k≤400(k∈Z),得9≤k≤36.故k=10,11,…,36,共36-10+1=27(个).
答案C
2.设{an}是首项为50,公差为2的等差数列,{bn}是首项为10,公差为4的等差数列,以ak和bk为两边的矩形内的最大圆的面积记为Sk,如果k≤21,那么Sk等于(　　)
A.π(k+24)2
B.π(k+12)2
C.π(2k+3)2
D.π(2k+1)2
解析由题意,得ak=2k+48,bk=4k+6,bk-ak=(4k+6)-(2k+48)=2k-42.
∵k≤21,∴2k-42<0,∴bk∴矩形内的最大圆是以bk为直径的圆.
因此Sk=π(2k+3)2.
答案C
3.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,且不等式log2(ax2-3x+6)>2的解集为{x|x<1或x>b},则数列{an}的通项公式为　　　　　.?
答案an=2n-1
4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于　　　.?
解析设a1=,a2=+d,a3=+2d,a4=+3d,而方程x2-2x+m=0的两根之和为2,方程x2-2x+n=0的两根之和也为2,
∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4.∴d=.
因此a1=,a4=是一个方程的两根,a2=,a3=是另一个方程的两个根.
∴m,n分别为.
∴|m-n|=.
答案
5.已知函数f(x)=cos
x,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列,能构成等差数列,则实数m=　　　　　.?
答案-
6.等差数列{an}中,a3=8,a7=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Sn.
解(1)设等差数列公差为d,
由a7-a3=4d=12,得d=3,
∴an=3n-1.
(2)∵
=,
∴Sn=+…+
=+…+
==.
7.已知数列{an}满足a1=2,an=2an-1+2n+1(n≥2,n∈N+).
(1)设bn=,求证数列{bn}是等差数列,并写出其通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn=2n+1,且对于任意正整数n,不等式a恒成立,求正数a的取值范围.
分析本题(1)实际上降低了难度,构造数列{bn},使其构成等差数列并求解.由定义,只需证明bn-bn-1=d(n≥2)即可.
(2)恒成立问题通常转化为与最大值、最小值比较.a≤,故只需求出此不等式右边的最小值.
(1)证明∵an=2an-1+2n+1,
∴+2(n≥2,n∈N+).
∵bn=,∴bn=bn-1+2(n≥2,n∈N+).
又b1==1,
∴{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
∴bn=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)解由a,得a≤…1+对任意正整数n恒成立,
记f(n)=,
则
=>1.
又f(n)>0,∴f(n+1)>f(n),即f(n)单调递增.
故f(n)min=f(1)=,∴0即a的取值范围是.
素养培优练
　数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,
所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{an}不可能为等差数列,
证明如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,
解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列矛盾.所以,不存在实数λ使数列{an}是等差数列.