6.1.3　基本初等函数的导数　6.1.4　求导法则及其应用-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word版，含解析）

第六章导数及其应用
6.1　导数
6.1.3　基本初等函数的导数
6.1.4　求导法则及其应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若f(x)=cos
x,则f'=(　　)
A.-1
B.1
C.0
D.
2.(多选)下列求导运算不正确的是(　　)
A.'=1+
B.(log2x)'=
C.(3x)'=3elog3e
D.(x2cos
x)'=-2xsin
x
3.函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)
A.y=-2x-1
B.y=-2x+1
C.y=2x-3
D.y=2x+1
4.直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+9相切于点(3,0),则b的值为(　　)
A.-15
B.-45
C.15
D.45
5.某质点的运动方程为s(t)=(其中s的单位为米,t的单位为秒),则质点在t=3秒时的速度为(　　)
A.-4×3-4米/秒
B.-3×3-4米/秒
C.-5×3-5米/秒
D.-4×3-5米/秒
6.已知f(x)=x2,g(x)=ln
x,若f'(x)-g'(x)=1,则x=　　　　　.?
7.已知函数f(x)=(-3x+1)ex(其中e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为　　　　　.?
8.已知函数f(x)=f'sin
x+cos
x,则f'=　　　　　.?
9.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
10.已知函数f(x)=esin
x,曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.
能力提升练
1.若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为(　　)
A.y=2x+1
B.y=2x+
C.y=x+1
D.y=x+
2.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.1
3.已知函数f(x)=.点P在曲线y=f(x)上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
4.已知f(x)=(x+a)是奇函数,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为(　　)
A.2x-y+3=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
D.x+y+2=0
5.函数f(x)=ln
在x=0处的导数为　　　　　.?
6.已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln
x的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　　.?
7.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　　　.?
8.已知函数f(x)=x2,P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=f(x)上的两点.
(1)求点P,Q处的曲线y=f(x)的切线方程;
(2)求与直线PQ平行的曲线y=f(x)的切线方程.
素养培优练
　(1)已知f(x)=eπxsin
πx,求f'(x)及f';
(2)设函数f(x)=,在曲线y=f(x)上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.
第六章导数及其应用
6.1　导数
6.1.3　基本初等函数的导数
6.1.4　求导法则及其应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若f(x)=cos
x,则f'=(　　)
A.-1
B.1
C.0
D.
解析f(x)=cos
x,f'(x)=-sin
x,
∴f'=-1.故选A.
答案A
2.(多选)下列求导运算不正确的是(　　)
A.'=1+
B.(log2x)'=
C.(3x)'=3elog3e
D.(x2cos
x)'=-2xsin
x
解析∵'=1-,故A错;
∵(log2x)'=,故B正确;
∵(3x)'=3xln
3,故C错;
∵(x2cos
x)'=2xcos
x-x2sin
x,故D错.
答案ACD
3.函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)
A.y=-2x-1
B.y=-2x+1
C.y=2x-3
D.y=2x+1
解析对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
答案B
4.直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+9相切于点(3,0),则b的值为(　　)
A.-15
B.-45
C.15
D.45
解析因为曲线y=x3+ax+9过点(3,0),所以0=33+3a+9,所以a=-12,所以y=x3-12x+9,
所以y'=3x2-12,
所以曲线在点(3,0)处的切线斜率k=3×32-12=15.
因此,曲线在点(3,0)处的切线方程为y-0=15(x-3),即y=15x-45,所以b=-45.
答案B
5.某质点的运动方程为s(t)=(其中s的单位为米,t的单位为秒),则质点在t=3秒时的速度为(　　)
A.-4×3-4米/秒
B.-3×3-4米/秒
C.-5×3-5米/秒
D.-4×3-5米/秒
解析由s(t)=得s'(t)='=(t-4)'=-4t-5,得s'(3)=-4×3-5,故选D.
答案D
6.已知f(x)=x2,g(x)=ln
x,若f'(x)-g'(x)=1,则x=　　　　　.?
解析因为f(x)=x2,g(x)=ln
x,
所以f'(x)=2x,g'(x)=,且x>0,
f'(x)-g'(x)=2x-=1,即2x2-x-1=0,
解得x=1或x=-(舍去负值).故x=1.
答案1
7.已知函数f(x)=(-3x+1)ex(其中e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为　　　　　.?
解析点(0,1)在曲线上,所以f'(x)=-3ex+(-3x+1)ex=ex(-3x-2),所以f'(0)=-2,故在点(0,1)处的切线方程为y-1=-2(x-0),即2x+y-1=0.
答案2x+y-1=0
8.已知函数f(x)=f'sin
x+cos
x,则f'=　　　　　.?
解析∵f'(x)=f'cos
x-sin
x,
∴f'=f'cos-sin=-1,
∴f'(x)=-cos
x-sin
x,
∴f'=-cos-sin=-.
答案-
9.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
解因为f(x)=x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=3x2+2ax+b.
令x=1,得f'(1)=3+2a+b,又f'(1)=2a,
所以3+2a+b=2a,解得b=-3.
令x=2,得f'(2)=12+4a+b,又f'(2)=-b,
所以12+4a+b=-b,解得a=-.
则f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.
又f'(1)=2×=-3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
10.已知函数f(x)=esin
x,曲线y=f(x)在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.
解∵f'(x)=esin
xcos
x,∴f'(0)=1.
∴曲线y=f(x)在(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.
又直线l与x-y+1=0平行,
故可设为x-y+m=0.
由,得m=-1或m=3.
∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0.
能力提升练
1.若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为(　　)
A.y=2x+1
B.y=2x+
C.y=x+1
D.y=x+
解析由y=得y'=,设直线l与曲线y=的切点为(x0,),则直线l的方程为y-(x-x0),即x-y+=0,
由直线l与圆x2+y2=相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=,即,解得x0=1(负值舍去),所以直线l的方程为y=x+.
答案D
2.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.1
解析依题意,得f'(x)=e-2x·(-2)=-2e-2x,f'(0)=-2e-2×0=-2.
曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.
在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图像,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),
结合图像可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×.
答案A
3.已知函数f(x)=.点P在曲线y=f(x)上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析因为f(x)=,
所以f'(x)=.
因为ex>0,所以ex+≥2,所以f'(x)∈[-1,0),所以tan
α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈.
答案D
4.已知f(x)=(x+a)是奇函数,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为(　　)
A.2x-y+3=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
D.x+y+2=0
解析由f(x)=(x+a)是奇函数,可得a=0,f(-1)=1.
当x<0时,f(x)=xln(-x)-,f'(x)=ln(-x)+1+,f'(-1)=2,
所以曲线f(x)在x=-1处的切线方程为y-1=2(x+1),即2x-y+3=0.
答案A
5.函数f(x)=ln
在x=0处的导数为　　　　　.?
解析f(x)=ln
=ln
ex-ln(1+ex)=x-ln(1+ex),则f'(x)=1-.
当x=0时,f'(0)=1-.
答案
6.已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln
x的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　　.?
解析函数f(x)=ax-ln
x,可得f'(x)=a-,切线的斜率为k=f'(1)=a-1,切点坐标为(1,a),切线方程l为y-a=(a-1)(x-1),
l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=1.
答案1
7.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　　　.?
解析设x>0,则-x<0,f(-x)=ln
x-3x,又f(x)为偶函数,f(x)=ln
x-3x,f'(x)=-3,f'(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.
答案y=-2x-1
8.已知函数f(x)=x2,P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=f(x)上的两点.
(1)求点P,Q处的曲线y=f(x)的切线方程;
(2)求与直线PQ平行的曲线y=f(x)的切线方程.
解(1)因为f'(x)=2x.
P(-1,1),Q(2,4)都是曲线y=f(x)上的点,
P点处的切线的斜率k1=f'(-1)=-2,
Q点处的切线的斜率k2=f'(2)=4,
P点处的切线方程为y-1=-2(x+1),
即2x+y+1=0.
Q点处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
(2)因为f'(x)=2x,直线PQ的斜率k==1,
设切点为M(x0,y0),则切线的斜率k=f'(x0)=2x0=1,所以x0=,所以切点M,
与PQ平行的切线方程为y-=x-,
即4x-4y-1=0.
素养培优练
　(1)已知f(x)=eπxsin
πx,求f'(x)及f';
(2)设函数f(x)=,在曲线y=f(x)上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.
解(1)∵f(x)=eπxsin
πx,
∴f'(x)=πeπxsin
πx+πeπxcos
πx
=πeπx(sin
πx+cos
πx).
∴f'=π=π.
(2)设切点的坐标为P(x0,y0),
由题意可知f'(x0)=0.
又f'(x)=,∴f'(x0)==0.
解得x0=0,此时y0=1.
即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.