6.2.2　导数与函数的极值、最值-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word版，含解析）

第六章导数及其应用
6.2　利用导数研究函数的性质
6.2.2　导数与函数的极值、最值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.函数f(x)=aex-sin
x在x=0处有极值,则a的值为(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.e
3.函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为(　　)
A.4e-1
B.1
C.e2
D.3e2
4.当x=1时,三次函数有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是(　　)
A.y=x3+6x2+9x
B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x
D.y=x3+6x2-9x
5.函数f(x)=x+2cos
x在区间[0,π]上的最大值为(　　)
A.2
B.
C.
D.π-2
6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b=　　　　　.?
7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为　　　　　.?
8.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为　　　　　.?
9.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值;
(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.
10.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
能力提升练
1.(多选)关于函数f(x)=ex-2,下列结论不正确的是(　　)
A.f(x)没有零点
B.f(x)没有极值点
C.f(x)有极大值点
D.f(x)有极小值点
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为(　　)
A.-
B.-2
C.-2或-
D.不存在
3.函数f(x)=4x-ln
x的最小值为(　　)
A.1+2ln
2
B.1-2ln
2
C.1+ln
2
D.1-ln
2
4.定义在0,的函数f(x)=8sin
x-tan
x的最大值为　　　　　.?
5.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为　　　　　.?
6.已知函数f(x)=+2ln
x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.?
7.设f(x)=aln
x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
8.已知函数f(x)=x3+kln
x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.
(1)当k=6时,
①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
②求函数g(x)=f(x)-f'(x)+的单调区间和极值;
(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有.
素养培优练
1.已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
2.已知函数g(x)=,f(x)=g(x)-ax.
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a(a>0)成立,求实数a的取值范围.
第六章导数及其应用
6.2　利用导数研究函数的性质
6.2.2　导数与函数的极值、最值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析依题意,记函数y=f'(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1,x2,x3,x4,当a0;当x1答案B
2.函数f(x)=aex-sin
x在x=0处有极值,则a的值为(　　)
A.-1
B.0
C.1
D.e
解析由题意,得f'(x)=aex-cos
x.∵f(x)在x=0处有极值,∴f'(0)=a-cos
0=a-1=0,解得a=1.经检验,满足题意,故选C.
答案C
3.函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为(　　)
A.4e-1
B.1
C.e2
D.3e2
解析∵f'(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,
∴令f'(x)=0,解得x=-2或x=0.
又当x∈[-2,1]时,ex+1>0,
∴当-2当00.
∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.
又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,∴f(x)的最大值为e2.
答案C
4.当x=1时,三次函数有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是(　　)
A.y=x3+6x2+9x
B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x
D.y=x3+6x2-9x
解析∵三次函数过原点,故可设为y=x3+bx2+cx,
∴y'=3x2+2bx+c.又x=1,3是y'=0的两个根,
∴解得∴y=x3-6x2+9x.
又y'=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),
∴当x=1时,f(x)极大值=4,
当x=3时,f(x)极小值=0,满足条件,故选B.
答案B
5.函数f(x)=x+2cos
x在区间[0,π]上的最大值为(　　)
A.2
B.
C.
D.π-2
解析f'(x)=1-2sin
x,x∈[0,π].
令f'(x)>0,解得x<或x>,
令f'(x)<0,解得∴函数f(x)在0,和,π上单调递增,在上单调递减,
∴f(x)的极大值为f=,f(x)的极小值为f=,又f(0)=2,f(π)=π-2,
故所求最大值为.
答案B
6.已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=是y=f(x)的极值点,则a+b=　　　　　.?
解析∵f'(x)=3x2+2ax+b,
∴
解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.
答案-2
7.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为　　　　　.?
解析∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.令y'=ex+a=0,则ex=-a,即x=ln(-a),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1.
答案(-∞,-1)
8.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为　　　　　.?
解析f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f'(x)=0,得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20,则f(x)max=k+5=10,得k=5,
∴f(x)min=k-76=-71.
答案-71
9.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值;
(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.
解f'(x)=3ax2+2bx+c,
(1)(方法一)∵x=±1是函数的极值点,
∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.
由根与系数的关系,得
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
(方法二)由f'(1)=f'(-1)=0,得3a+2b+c=0,①
3a-2b+c=0,②
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
(2)由(1),知f(x)=x3-x,
∴f'(x)=x2-(x-1)(x+1).
当x<-1或x>1时,f'(x)>0,
当-1∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,
在(-1,1)上是减函数.
∴当x=-1时,函数取得极大值,x=-1为极大值点;
当x=1时,函数取得极小值,x=1为极小值点.
10.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解易知f(x)的定义域为.
(1)f'(x)=+2x=.
当-0;
当-1当x>-时,f'(x)>0,
从而f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(2)由(1)知,f(x)在区间上的最小值为f=ln
2+.
又因为f-f=ln-ln=ln<0,所以f(x)在区间上的最大值为f+ln
.
能力提升练
1.(多选)关于函数f(x)=ex-2,下列结论不正确的是(　　)
A.f(x)没有零点
B.f(x)没有极值点
C.f(x)有极大值点
D.f(x)有极小值点
解析令f(x)=0,解得x=ln
2,所以f(x)有零点,所以A选项不正确.f'(x)=ex>0,所以f(x)在R上递增,没有极值点,所以B选项正确,CD选项不正确.故选ACD.
答案ACD
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为(　　)
A.-
B.-2
C.-2或-
D.不存在
解析∵f'(x)=3x2+2ax+b,且f(x)在x=1处取得极大值10,
∴f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b-a2-7a=10,
∴a2+8a+12=0,∴a=-2,b=1或a=-6,b=9.
当a=-2,b=1时,f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).
当1时,f'(x)>0,
∴f(x)在x=1处取得极小值,与题意不符.
当a=-6,b=9时,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3);
当x<1时,f'(x)>0,当1∴f(x)在x=1处取得极大值,符合题意;
∴=-=-.
答案A
3.函数f(x)=4x-ln
x的最小值为(　　)
A.1+2ln
2
B.1-2ln
2
C.1+ln
2
D.1-ln
2
解析f'(x)=4-,x>0.
令f'(x)>0,得x>;令f'(x)<0,得0所以当x=时,函数有最小值为f=4×-ln=1+ln
4=1+2ln
2.故选A.
答案A
4.定义在0,的函数f(x)=8sin
x-tan
x的最大值为　　　　　.?
解析函数f(x)=8sin
x-tan
x,
那么f'(x)=8cos
x-,
令f'(x)=0,得cos
x=.∵x∈0,,∴x=.
当x∈0,时,f'(x)>0,函数f(x)在区间0,上是增函数;
当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)在区间上是减函数.
∴当x=时,函数f(x)取得最大值为3.
答案3
5.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为　　　　　.?
解析∵f'(x)=3x2+2x-a,
函数f(x)在区间(-1,1)上恰有一个极值点,
即f'(x)=0在(-1,1)内恰有一个根.
又函数f'(x)=3x2+2x-a的对称轴为x=-,
∴应满足
∴1≤a<5.
答案[1,5)
6.已知函数f(x)=+2ln
x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.?
解析由f(x)=+2ln
x,得f'(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,
令f'(x)=0,得x=-(舍去)或x=.
当0时,f'(x)>0.
故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=ln
a+1.
要使f(x)≥2恒成立,需ln
a+1≥2恒成立,则a≥e.
答案[e,+∞)
7.设f(x)=aln
x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解(1)因为f(x)=aln
x+x+1,
故f'(x)=.
由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1.
(2)由(1),知f(x)=-ln
x+x+1(x>0),
f'(x)=-.令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-.
因为x2=-不在定义域内,舍去.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数.故f(x)在x=1处取得极小值,且f(1)=3.
8.已知函数f(x)=x3+kln
x(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.
(1)当k=6时,
①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
②求函数g(x)=f(x)-f'(x)+的单调区间和极值;
(2)当k≥-3时,求证:对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有.
(1)解①当k=6时,f(x)=x3+6ln
x,故f'(x)=3x2+.
可得f(1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.
②依题意,g(x)=x3-3x2+6ln
x+,x∈(0,+∞).从而可得g'(x)=3x2-6x+,整理可得g'(x)=.令g'(x)=0,解得x=1.
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
-
0
+
g(x)
↘
极小值
↗
所以,函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.
(2)证明由f(x)=x3+kln
x,得f'(x)=3x2+.
对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,
令=t(t>1),则(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]=(x1-x2)3+3-2+kln=-3x2+3x1+k-2kln(t3-3t2+3t-1)+kt--2ln
t.
①
令h(x)=x--2ln
x,x∈[1,+∞).
当x>1时,h'(x)=1+>0,
由此可得h(x)在[1,+∞)单调递增,
所以当t>1时,h(t)>h(1),即t--2ln
t>0.
因为x2≥1,t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0,k≥-3,
所以,(t3-3t2+3t-1)+kt--2ln
t≥(t3-3t2+3t-1)-3t--2ln
t=t3-3t2+6ln
t+-1.
②
由(1)②可知,当t>1时,g(t)>g(1),即t3-3t2+6ln
t+>1,故t3-3t2+6ln
t+-1>0.
③
由①②③可得(x1-x2)[f'(x1)+f'(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]>0.
所以,当k≥-3时,对任意的x1,x2∈[1,+∞),且x1>x2,有.
素养培优练
1.已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.
解(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.
故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)f(x)≥x3+1等价于e-x≤1.
设函数g(x)=e-x(x≥0),
则g'(x)=-
x3-ax2+x+1-x2+2ax-1e-x
=-x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x
=-x(x-2a-1)(x-2)e-x.
①若2a+1≤0,即a≤-,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,2)上单调递增,而g(0)=1,
故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
②若0<2a+1<2,即-0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增.由于g(0)=1,
所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a≥.
所以当≤a<时,g(x)≤1.
③若2a+1≥2,即a≥,则g(x)≤x3+x+1e-x.
由于0∈,
故由②可得x3+x+1e-x≤1.故当a≥时,g(x)≤1.
综上,a的取值范围是.
2.已知函数g(x)=,f(x)=g(x)-ax.
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a(a>0)成立,求实数a的取值范围.
解由已知函数g(x),f(x)的定义域均为(0,1)∪(1,+∞),且f(x)=-ax(a>0).
(1)函数g'(x)=,
因为f(x)在(1,+∞)上为减函数,故f'(x)=-a≤0在(1,+∞)上恒成立.
所以当x∈(1,+∞)时,f'(x)max≤0.
又f'(x)=-a=-2+-a=-2+-a,
故当,即x=e2时,f'(x)max=-a.
所以-a≤0,于是a≥,故a的最小值为.
(2)命题“若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a成立”等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤f'(x)max+a”.由(1),知当x∈[e,e2]时,f'(x)max=-a,
∴f'(x)max+a=.
问题等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤”.
①当a≥时,由(1),f(x)在[e,e2]上为减函数,
则f(x)min=f(e2)=-ae2≤,故a≥.
②当0故f'(x)的值域为[f'(e),f'(e2)],即.
由f'(x)的单调性和值域知,存在唯一x0∈(e,e2),使f'(x0)=0,且满足:
当x∈(e,x0)时,f'(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈(x0,e2)时,f'(x)>0,f(x)为增函数;
所以,f(x)min=f(x0)=-ax0≤,x0∈(e,e2).
所以,a≥,与0