21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2021-2022学年人教版九年级数学上册（Word版 含答案）

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
一．选择题
1．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（　　）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
2．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两根，则x1x2＝（　　）
A．﹣2
B．2
C．3
D．﹣3
3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜
B．m≤
C．m＞
D．m≥
4．一元二次方程x2﹣3x＝4的两根分别为x1和x2，则x1+x2为（　　）
A．3
B．﹣3
C．4
D．﹣4
5．设m，n分别为一元二次方程4x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m+n+mn的值为（　　）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
6．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣3x+2＝0
B．x2+3x﹣2＝0
C．x2+3x+2＝0
D．x2﹣3x﹣2＝0
7．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16
B．12
C．12或16
D．无法确定
8．已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两实数根，则+的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣
C．
D．1
9．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　）
A．﹣4
B．8
C．6
D．0
二．填空题
10．设x1，x2是一元二次方程3x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝　
　．
11．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　
　．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个实数根，且满足，则m的值是　
　．
13．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是　
　．
14．已知实数a，b满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，则的值为　
　．
三．解答题
15．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）x12x2+x1x22；
（2）（x1﹣x2）2．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（　　）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
2．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两根，则x1x2＝（　　）
A．﹣2
B．2
C．3
D．﹣3
【分析】利用根与系数的关系，可求出x1x2的值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+3＝0的两根，
∴x1x2＝3．
故选：C．
3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜
B．m≤
C．m＞
D．m≥
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜．
故选：A．
4．一元二次方程x2﹣3x＝4的两根分别为x1和x2，则x1+x2为（　　）
A．3
B．﹣3
C．4
D．﹣4
【分析】将原方程变形为一般式，再利用“两根之和等于﹣”即可得出x1+x2＝3．
【解答】解：原方程可变形为x2﹣3x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣4．
∵一元二次方程x2﹣3x＝4的两根分别为x1和x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故选：A．
5．设m，n分别为一元二次方程4x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m+n+mn的值为（　　）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【分析】利用根与系数的关系可得出m+n＝﹣，mn＝﹣，再将其代入m+n+mn中即可求出m+n+mn的值．
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程4x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣，
∴m+n+mn＝﹣﹣＝﹣．
故选：A．
6．若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣3x+2＝0
B．x2+3x﹣2＝0
C．x2+3x+2＝0
D．x2﹣3x﹣2＝0
【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．
【解答】解：∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
故选：A．
7．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16
B．12
C．12或16
D．无法确定
【分析】先求出方程x2﹣7x+12＝0的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边AB，即可求出菱形的周长，
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
当x1＝3时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；
当x2＝4时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边4，4能组成三角形，即存在菱形，∴菱形的周长为4×4＝16．
故选：A．
8．已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两实数根，则+的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣
C．
D．1
【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝1，mn＝﹣1，再利用通分把+变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得m+n＝1，mn＝﹣1，
所以+＝＝＝﹣1．
故选：A．
9．设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+15等于（　　）
A．﹣4
B．8
C．6
D．0
【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把x13﹣4x22+15转化为3（x1+x2）﹣（x1+x2）2+2x1x2+6，然后整体代入即可．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2
∵x13＝x1x12＝x1（3﹣x1）＝3x1﹣x12，
∴x13﹣4x22+15＝3x1﹣x12﹣4x22+15＝3x1﹣（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+15＝4（x1+x2）＝﹣4
∴x13﹣4x22+15＝﹣3﹣1﹣6+6＝﹣4，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
10．设x1，x2是一元二次方程3x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝　　．
【分析】根据方程的系数，结合“两根之和等于﹣”，即可求出x1+x2＝．
【解答】解：∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，x1，x2是一元二次方程3x2﹣2x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣＝．
故答案为：．
11．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　m　．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣3，c＝m
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜，
故答案为：m．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个实数根，且满足，则m的值是　3　．
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝2m+3，得出方程m2＝2m+3，求出m的值，再根据根的判别式判断即可．
【解答】解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝2m+3，
∵，
∴m2＝2m+3，
解得：m＝3或﹣1，
当m＝3时，方程为x2﹣9x+9＝0，此时方程有解；
当m＝﹣1时，方程为x2﹣x+1＝0，此时Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，此时方程无解；
故答案为：3．
13．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是　1　．
【分析】据根与系数的关系α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣1、αβ＝﹣2，
则α+β﹣αβ＝﹣1+2＝1，
故答案为：1．
14．已知实数a，b满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，则的值为　2或　．
【分析】分类讨论：当a＝b时，易得原式＝2；当a≠b时，可把a、b看作方程x2﹣3x+2＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝3，ab＝2，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：当a＝b时，原式＝1+1＝2；
当a≠b时，可把a、b看作方程x2﹣3x+2＝0的两根，则a+b＝3，ab＝2，
所以原式＝＝＝＝．
故答案为2或．
三．解答题
15．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，利用一元二次方程根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）x12x2+x1x22；
（2）（x1﹣x2）2．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝，x1x2＝，
（1）利用因式分解法把x12x2+x1x22变形为x1x2（x1+x2
），然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式得到（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝，
（1）x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝×＝；
（2）（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝﹣4×＝．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
【分析】由根的判别式Δ＝4＞0，可得出无论m为何值，关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0均有两个不相等的实数根，利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，结合x12+x22＝10，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4×1×（m2﹣2m）＝4＞0，
∴无论m为何值，关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0均有两个不相等的实数根．
∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m．
又∵x12+x22＝10，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（2m﹣2）2﹣2×（m2﹣2m）＝10，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m1＝﹣1，m2＝3．
∴m的值为﹣1或3．
17．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝（t﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n＝t﹣1＝0，解之即可得出结论．
【解答】（1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0中，Δ＝[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）＝t2﹣6t+9＝（t﹣3）2≥0，
∴对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）解：设方程的两根分别为m、n，
∵方程的两个根互为相反数，
∴m+n＝t﹣1＝0，
解得：t＝1．
∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．