13.3.1 等腰三角形的性质 同步练习卷 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 13.3.1 等腰三角形的性质 同步练习卷 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 235.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-26 11:17:14 | ||
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文档简介
13.3.1
等腰三角形的性质
一、选择题
1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ）
A．AB平分∠CAD
B．CD平分∠ACB
C．AB⊥CD
D．AB＝CD
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°
B．80°或20°
C．80°或50°
D．20°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（ ）
A．90°
B．100°
C．105°
D．110°
6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10
B．5
C．4
D．3
7．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．AD⊥BC
B．BD＝CD
C．∠B＝∠C
D．AB＝CB
8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（ ）
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．60°或120°
二、非选择题
11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝
度．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
13．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请加以证明．
（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．
（3）若点D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ）
A．AB平分∠CAD
B．CD平分∠ACB
C．AB⊥CD
D．AB＝CD
【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
【解答】解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB＝CD，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝70°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°
B．80°或20°
C．80°或50°
D．20°
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2＝20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（ ）
A．90°
B．100°
C．105°
D．110°
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，根据等边对等角的性质，可求得∠ABC的度数，又由BD平分∠ABC，即可求得∠DBE的度数，又由等边对等角的性质，可求得∠BED的度数，根据平角的定义就可求出∠DEC的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝20°，
∴∠BDE＝∠BED＝80°，
∴∠DEC＝100°．
故选：B．
6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10
B．5
C．4
D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
7．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．AD⊥BC
B．BD＝CD
C．∠B＝∠C
D．AB＝CB
【分析】由图中操作可知：AD所在直线是△ABC的对称轴，即可得出结论．
【解答】解：由图中操作可知：AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，AB＝AC，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（ ）
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，
∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得∠C＝40°，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠D＝50°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵DE⊥BC于点E，
∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，
故选：B．
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．60°或120°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．
【解答】解：分两种情况：
①当高在三角形内部时（如图1），
∵∠ABD＝30°，∴顶角∠A＝90°﹣30°＝60°；
②当高在三角形外部时（如图2），
∵∠ABD＝30°，∴顶角∠CAB＝90°+30°＝120°．
故选：D．
二、非选择题
11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝ 40 度．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
13．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；
（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，①，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BAE＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，
∴∠BAD＝（180°﹣∠B）＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请加以证明．
（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．
（3）若点D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
【分析】（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）连接AD，根据三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；
（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．
【解答】（1）解：当点D在BC的中点时，DE＝DF．
理由：如图1中，连接AD．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°．
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）解：DE+DF＝CG．证明如下：
如图2，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
即AB?CG＝AB?DE+AC?DF．
∵AB＝AC，
∴DE+DF＝CG．
（3）解：当点D在BC的延长线上时，（2）中的结论不成立，但有DE﹣DF＝CG．理由如下：
如图3，延长BC至点D，连接AD，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，
则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，
即AB?DE＝AB?CG+AC?DF．
∵AB＝AC，
∴DE＝CG+DF，即DE﹣DF＝CG．
15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．
【分析】由AD＝AC，BC＝BE，根据等边对等角得出∠ACD＝∠ADC，∠BEC＝∠ECB，再利用三角形内角和定理得出∠A＝180°﹣2∠ADC，∠B＝180°﹣2∠DEC，而∠A+∠B＝90°，那么求出∠ADC+∠DEC＝135°，则∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．
【解答】解：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD．
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠ECB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
在△ACD中，∠A＝180°﹣2∠ADC，
在△BCE中，∠B＝180°﹣2∠DEC，
∴∠A+∠B＝180°﹣2∠ADC+180°﹣2∠DEC＝90°．
∴360°﹣2（∠ADC+∠DEC）＝90°．
∴∠ADC+∠DEC＝135°．
∴∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．
等腰三角形的性质
一、选择题
1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ）
A．AB平分∠CAD
B．CD平分∠ACB
C．AB⊥CD
D．AB＝CD
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°
B．80°或20°
C．80°或50°
D．20°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（ ）
A．90°
B．100°
C．105°
D．110°
6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10
B．5
C．4
D．3
7．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．AD⊥BC
B．BD＝CD
C．∠B＝∠C
D．AB＝CB
8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（ ）
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．60°或120°
二、非选择题
11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝
度．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
13．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请加以证明．
（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．
（3）若点D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ）
A．AB平分∠CAD
B．CD平分∠ACB
C．AB⊥CD
D．AB＝CD
【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
【解答】解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB＝CD，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝70°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
4．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80°
B．80°或20°
C．80°或50°
D．20°
【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．
【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2＝20°，
综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（ ）
A．90°
B．100°
C．105°
D．110°
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，根据等边对等角的性质，可求得∠ABC的度数，又由BD平分∠ABC，即可求得∠DBE的度数，又由等边对等角的性质，可求得∠BED的度数，根据平角的定义就可求出∠DEC的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝20°，
∴∠BDE＝∠BED＝80°，
∴∠DEC＝100°．
故选：B．
6．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10
B．5
C．4
D．3
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
7．如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．AD⊥BC
B．BD＝CD
C．∠B＝∠C
D．AB＝CB
【分析】由图中操作可知：AD所在直线是△ABC的对称轴，即可得出结论．
【解答】解：由图中操作可知：AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，AB＝AC，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
8．如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（ ）
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，
∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得∠C＝40°，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠D＝50°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵DE⊥BC于点E，
∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，
故选：B．
10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，它的顶角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．60°或120°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．
【解答】解：分两种情况：
①当高在三角形内部时（如图1），
∵∠ABD＝30°，∴顶角∠A＝90°﹣30°＝60°；
②当高在三角形外部时（如图2），
∵∠ABD＝30°，∴顶角∠CAB＝90°+30°＝120°．
故选：D．
二、非选择题
11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝ 40 度．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
13．问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；
（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，①，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠BAE＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，
∴∠BAD＝（180°﹣∠B）＝[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．
（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？请加以证明．
（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？请加以证明．
（3）若点D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
【分析】（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）连接AD，根据三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；
（3）类似（2）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积＝三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．
【解答】（1）解：当点D在BC的中点时，DE＝DF．
理由：如图1中，连接AD．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°．
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）解：DE+DF＝CG．证明如下：
如图2，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
即AB?CG＝AB?DE+AC?DF．
∵AB＝AC，
∴DE+DF＝CG．
（3）解：当点D在BC的延长线上时，（2）中的结论不成立，但有DE﹣DF＝CG．理由如下：
如图3，延长BC至点D，连接AD，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，
则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，
即AB?DE＝AB?CG+AC?DF．
∵AB＝AC，
∴DE＝CG+DF，即DE﹣DF＝CG．
15．如图，∠ACB＝90°，D、E在AB上，AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．
【分析】由AD＝AC，BC＝BE，根据等边对等角得出∠ACD＝∠ADC，∠BEC＝∠ECB，再利用三角形内角和定理得出∠A＝180°﹣2∠ADC，∠B＝180°﹣2∠DEC，而∠A+∠B＝90°，那么求出∠ADC+∠DEC＝135°，则∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．
【解答】解：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD．
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠ECB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
在△ACD中，∠A＝180°﹣2∠ADC，
在△BCE中，∠B＝180°﹣2∠DEC，
∴∠A+∠B＝180°﹣2∠ADC+180°﹣2∠DEC＝90°．
∴360°﹣2（∠ADC+∠DEC）＝90°．
∴∠ADC+∠DEC＝135°．
∴∠DCE＝180°﹣（∠ADC+∠DEC）＝180°﹣135°＝45°．