2.4线段、角的轴对称性　培优达标测评（Word版 附答案）2021-2022学年苏科版八年级数学上册

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》培优达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，每小题4分，共计32分）
1．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　）
A．S1＞S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＜S2+S3
D．无法确定
2．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的面积比为（　　）
A．5：4
B．3：4
C．4：5
D．4：3
3．如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD．若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠AOP＝∠BOP
B．∠OPC＝∠OPD
C．PO垂直平分CD
D．PD＝CD
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4m，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）
A．1
B．
C．2
D．
5．如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（　　）
A．160°
B．140°
C．130°
D．125°
6．如图，已知△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　）
A．100°
B．105°
C．115°
D．120°
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A．1
B．
C．2
D．无法确定
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点D，则AD的长为（　　）
A．
B．2
C．
D．1
二．填空题（共8小题，每小题4分，共计32分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．若∠CAE＝42°，则∠B的度数是
　
　．
10．如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm，则△APB的面积为
　
　．
11．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝5，则PQ长的最小值为　
　．
12．如图，在△ABC中，AB＝5.5，BC＝6，AC的垂直平分线交AC于点D，交边BC于点E．则△ABE的周长是
　
　．
13．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．其中结论正确的为　
　．（填写结论的编号）
14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝50°，则∠AOC＝　
　．
15．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是　
　．
16．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②S△PAC：S△PCB＝AC：CB；③BP垂直平分CE；④CP＝FC，其中正确的判断有　
　．（填序号）
三．解答题（共7小题，每小题8分，共计56分）
17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
18．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．
19．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点
E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．
20．如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD交BF于点G，GE∥CA，求证：CE与FG互相垂直平分．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，
求证：FK∥AB．
22．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝25cm，DA＝15cm，CB＝10cm．动点
E从A点出发，以2cm/s的速度向B点移动，设移动的时间为x秒．
（1）当x为何值时，点E在线段CD的垂直平分线上？
（2）在（1）的条件下，判断DE与CE的位置关系，并说明理由．
23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．
（1）求证：BF平分∠DBC；
（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．
参考答案
一．选择题（共8小题，每小题4分，共计32分）
1．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵S1＝?AB?OD，S2+S3＝?BC?OE+?AC?OF＝OD?（BC+AC），
而AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
2．解：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：8＝5：4．
故选：A．
3．解：∵PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，
∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，故A选项正确；
∵∠PCO＝∠PDO＝90°，∠AOP＝∠BOP，
∴∠OPC＝∠OPD，故B选项正确；
∵∠OPC＝∠OPD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴OC＝OD，
∴点O在CD的垂直平分线上，
又∵PC＝PD，
∴点P在CD的垂直平分线上，
∴PO垂直平分CD，故C选项正确；
∵∠PDC的度数不一定是60°，
∴△CDP不一定是等边三角形，
∴PD＝CD不一定成立，故D选项错误；
故选：D．
4．解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝，AC＝4m，
∴m，
∴m，
故选：B．
5．解：连接CO，
∵∠AOB＝140°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，
∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCA+∠OCB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝55°，
∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，
故选：D．
6．解：∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC+∠ACB＝130°，
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM＝PM，PN＝CN，
∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，
∵∠APC＝180°﹣∠APM﹣∠CPN＝180°﹣∠PAC﹣∠ACP，
∴∠MAP+∠PCN＝∠PAC+∠ACP＝×130°＝65°，
∴∠APC＝115°，
故选：C．
7．解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：A．
8．解：过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴OD＝OF，OE＝OF，
即OE＝OF＝OD，
∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5，
∵S△OAB+S△OAC+S△OBC＝S△ABC，
∴×3×OD+×4×OE+×5×OF＝×4×3，
∴OD＝1，
∵∠DAE＝∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE为矩形，
∵OD＝OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴AD＝OD＝1．
故选：D．
二．填空题（共8小题，每小题4分，共计32分）
9．解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠C＝90°，∠CAE＝42°，
∴∠EAB+∠B+∠CAE＝90°，即2∠B+42°＝90°，
解得：∠B＝24°，
故答案为：24°．
10．解：如图所示，过P作PG⊥AB于点G，
∵∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，EF⊥AD，
∴PF＝PG，
又∵AD∥BC，
∴PF⊥BC，
∴PG＝PF，
∴PG＝PE＝PF＝EF＝2cm，
又∵AB＝5cm，
∴△APB的面积＝＝＝5（cm2）．
故答案为：5cm2．
11．解：如图所示，连接PQ，当点Q移至PQ⊥AO时，PQ的长最小．
∵OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，
∴PQ＝PH＝5，
∴PQ长的最小值为5，
故答案为：5．
12．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴△ABE的周长＝AB+BE+EA＝AB+BE+EC＝AB+BC＝5.5+6＝11.5，
故答案为：11.5．
13．解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故①正确；
②∵PB平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBF+∠BPC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，故②正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，故本小题正确；
∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④不正确．
综上所述，①②③正确．
故答案为：①②③．
14．解：如图，连接OB，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠A，
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO，
∵OE垂直平分BC，
∴OC＝OB，
∴∠CBO＝∠C，
∴∠COB＝180°﹣2∠CBO，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，
∴∠AOC＝360°﹣（180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠ABO）＝2（∠CBO+∠ABO）＝2∠ABC＝2×50°＝100°，
故答案为：100°．
15．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB?DE+BC?CD，
＝×12×8+×18×8，
＝120．
故答案为：120．
16．解：∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵PG∥AD，
∴∠CAP＝∠GPA，
∴∠GPA＝∠BAP，
∴GA＝GP，故①正确；
过P作PQ⊥AD于Q，PR⊥AE于R，PT⊥BC于T，
∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，
∴PQ＝PR，PT＝PR，
∴PQ＝PT，
∵S△PAC＝，S△PCB＝，
∴S△PAC：S△PCB＝AC：BC，故②正确；
∵BE＝BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE，故③正确；
根据已知条件不能推出∠CPF＝∠CFP，即不能推出CP＝FC，故④错误；
故答案为：①②③．
三．解答题（共7小题，每小题8分，共计56分）
17．解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
18．证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
19．（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
（2），
证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∴DE＝AD，
∵∠EAD＝30°，DE⊥AB，
∴∠DEO＝30°，
∴OD＝DE，
∴DO＝AD．
20．证明：延长EG，交BC于点K，连接EF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠GBK＝∠GBD，GK＝GD，
∵∠GKB＝∠GDB
∴△GBK≌△GBD（AAS），
∴DB＝BK，∠GKB＝∠BDC＝90°，
∵∠EBK是公共角，
∴∠EBK＝∠EBK，
∴△CGB≌△EGB（ASA），
∴CG＝EG，即GF垂直平分CE（三合一）．
∴CF＝EF，
∴∠FCE＝∠CEF．
∵∠FCE＝∠CEK＝∠ECD，
∴∠FCE＝∠GCE，∠FEC＝∠GEC，
∴△CFE≌△CGE（ASA），
∴FC＝CG＝GE，FC∥EG．
∴FCGE为平行四边形，
∵CG＝GE，
∴四边形FCGE为菱形，
∴CE与GF互相垂直平分．
21．证明：过点K作MK∥BC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BAE+∠DKA＝∠CAE+∠CEA＝90°，
∴∠DKA＝∠CEA，
又∵∠DKA＝∠CKE，
∴∠CEA＝∠CKE，∴CE＝CK，又CE＝BF，
∴CK＝BF
而MK∥BC，
∴∠B＝∠AMK，
∴∠BCD+∠B＝∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠AMK＝∠DCA，
在△AMK和△ACK中，
∴∠AMK＝∠ACK，AK＝AK，∠MAK＝∠CAK，
∴△AMK≌△ACK，
∴CK＝MK，
∴MK＝BF，MK∥BF，
四边形BFKM是平行四边形，
∴FK∥AB．
22．解：（1）设AE＝acm，则BE＝（25﹣a）cm，
∵点E在线段CD的垂直平分线上，
∴DE＝CE，
由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，BC2+BE2＝CE2，
∴AD2+AE2＝BC2+BE2，
即152+a2＝102+（25﹣a）2，
解得：a＝10，
即AE＝10（cm），
∴x＝＝5，
即当x＝5时，点E在线段CD的垂直平分线上；
（2）DE与CE的位置关系是DE⊥CE，
理由是：∵△ADE≌△BEC，
∴∠ADE＝∠CEB，
∵∠A＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠AED+∠CEB）＝90°，
∴DE⊥CE．
23．（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴BG＝BE，
∵BF⊥EG，
∴BF平分∠DBC．
（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，
∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，
∴5∠C＝90°，
∴∠C＝18°．