2021-2022学年八年级数学人教版上册14.3 因式分解 同步练习卷(word解析版)

14.3
因式分解
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
1．把代数式a2﹣2ab+b2分解因式，下列结果中正确的是（　　）
A．（a﹣b）2
B．（a+b）2
C．（a+b）（a﹣b）
D．a2﹣b2
2．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．
B．a3﹣2a2b+ab2＝a（a﹣b）2
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
D．ab（a﹣b）＝a2b﹣ab2
3．下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（　　）
A．9x2﹣6x+1＝（3x﹣1）2
B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．3m（m﹣n）＝3m2﹣3mn
D．x+3y＝（x+y）+2y
4．代数式a3b2﹣a2b3，a3b4+a4b3，a4b2﹣a2b4的公因式是（　　）
A．a3b2
B．a2b2
C．a2b3
D．a2b4
5．把ab+a﹣b﹣1分解因式的结果为（　　）
A．（a+b）（b+1）
B．（a﹣1）（b﹣1）
C．（a+1）（b﹣1）
D．（a﹣1）（b+1）
6．多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（　　）
A．4ab2c
B．ab2
C．4ab2
D．4a3b2c
7．多项式x3+ax2+bx+5被x﹣1除余7，被x+1除余9，则数对（a，b）＝（　　）
A．（﹣2，3）
B．（2，﹣3）
C．（﹣3，2）
D．（3，﹣2）
8．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2
B．﹣a+a2＝﹣a（1﹣a）
C．4x2﹣4x+1＝4x（x﹣1）+1
D．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
9．分解因式：ax2﹣4ay2＝　
　．
10．如果x﹣3是多项式2x2﹣5x+m的一个因式，则m＝　
　．
11．分解因式：（1﹣x2）（1﹣y2）﹣4xy＝　
　．
12．﹣3x2y3z+4x3y3z﹣6x4yz2各项的公因式是　
　．
13．若（x﹣3）和（x+5）是x2+px+q的因式，则p为＝　
　．
14．在实数范围内分解因式：x2+4x+1＝　
　．
15．分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝　
　．
16．若a、b为整数，且x2﹣x﹣1是ax17+bx16+1的因式，则a的值为　
　．
17．将多项式ax2﹣4ay2因式分解得　
　
三、解答题（本题共计8小题，共计69分，）
18．（8分）分解下列因式
（1）m2n﹣mn2+mn；
（2）4x2﹣（y2﹣2y+1）．
19．（8分）因式分解：x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3．
20．（8分）因式分解：
（1）4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）
（2）x4﹣16．
21．（8分）把下列多项式分解因式：
（1）2x2y﹣6xy；
（2）x2+4x+4；
（3）16a2﹣4b2．
22．（9分）已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解后有一个因式是3x﹣2．
（1）求m的值；
（2）将该多项式因式分解．
23．（9分）老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；
（乙）：常数项系数为1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．
24．（9分）我们借助对同一个长方形面积的不同表示，可以解释一些多项式的因式分解．例如选取图①中的A卡片1张、B卡片1张、C卡片2张，就能拼成图②所示的正方形，从而可以解释a2+2ab+b2＝（a+b）2．
请用A卡片1张、B卡片2张、C卡片3张拼成一个长方形，画图并完成多项式a2+3ab+2b2的因式分解．
25．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
1．把代数式a2﹣2ab+b2分解因式，下列结果中正确的是（　　）
A．（a﹣b）2
B．（a+b）2
C．（a+b）（a﹣b）
D．a2﹣b2
【分析】根据完全平方公式分解后直接选取答案即可．
【解答】解：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
故选：A．
2．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．
B．a3﹣2a2b+ab2＝a（a﹣b）2
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
D．ab（a﹣b）＝a2b﹣ab2
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（　　）
A．9x2﹣6x+1＝（3x﹣1）2
B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．3m（m﹣n）＝3m2﹣3mn
D．x+3y＝（x+y）+2y
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、等式从左到右变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．代数式a3b2﹣a2b3，a3b4+a4b3，a4b2﹣a2b4的公因式是（　　）
A．a3b2
B．a2b2
C．a2b3
D．a2b4
【分析】根据公因式是个项都有的因式，可得答案．
【解答】解：a3b2﹣a2b3＝a2b2（a﹣b），
a3b4+a4b3＝a3b3（b+a），
a4b2﹣a2b4＝a2b2（a2﹣b2），
a3b2﹣a2b3，a3b4+a4b3，a4b2﹣a2b4的公因式是a2b2，
故选：B．
5．把ab+a﹣b﹣1分解因式的结果为（　　）
A．（a+b）（b+1）
B．（a﹣1）（b﹣1）
C．（a+1）（b﹣1）
D．（a﹣1）（b+1）
【分析】分别将前两项、后两项分为一组，然后用提取公因式法进行分解．
【解答】解：ab+a﹣b﹣1＝（ab+a）﹣（b+1），
＝a（b+1）﹣（b+1），
＝（a﹣1）（b+1）．
故选：D．
6．多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（　　）
A．4ab2c
B．ab2
C．4ab2
D．4a3b2c
【分析】根据确定多项式中各项的公因式的方法，①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．确定公因式即可．
【解答】解：4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是：4ab2，
故选：C．
7．多项式x3+ax2+bx+5被x﹣1除余7，被x+1除余9，则数对（a，b）＝（　　）
A．（﹣2，3）
B．（2，﹣3）
C．（﹣3，2）
D．（3，﹣2）
【分析】由多项式x3+ax2+bx+5被x﹣1除余7，可得x3+ax2+bx﹣2＝（x﹣1）[x2+（a+1）x+（a+b+1）]，由多项式x3+ax2+bx+5被x+1除余9，可得x3+ax2+bx﹣4＝（x+1）[x2+（a﹣1）x+（b﹣a+1）]，于是可以得到a和b的二元一次方程组，解得a和b的值即可．
【解答】解：多项式x3+ax2+bx+5被x﹣1除余7，即
x3+ax2+bx﹣2＝（x﹣1）[x2+（a+1）x+（a+b+1）]，
即a+b+1＝2，a+b＝1
被x+1除余9，即
x3+ax2+bx﹣4＝（x+1）[x2+（a﹣1）x+（b﹣a+1）]，
即b﹣a+1＝﹣4，a﹣b＝5，
联立可得：，
解得a＝3，b＝﹣2．
故选：D．
8．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2
B．﹣a+a2＝﹣a（1﹣a）
C．4x2﹣4x+1＝4x（x﹣1）+1
D．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
【分析】各项分解因式得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），本选项错误；
B、﹣a+a2＝﹣a（﹣a+1）＝﹣a（1﹣a），本选项正确；
C、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，本选项错误；
D、a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），本选项错误，
故选：B．
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
9．分解因式：ax2﹣4ay2＝　a（x+2y）（x﹣2y）　．
【分析】观察原式ax2﹣4ay2，找到公因式a，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】解：ax2﹣4ay2
＝a（x2﹣4y2）
＝a（x+2y）（x﹣2y）．
10．如果x﹣3是多项式2x2﹣5x+m的一个因式，则m＝　﹣3　．
【分析】x﹣3是多项式2x2﹣5x+m的一个因式，即方程2x2﹣5x+m＝0的一个解是3，代入方程求出m的值．
【解答】解：把x＝3代入方程2x2﹣5x+m＝0中得18﹣15+m＝0，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．分解因式：（1﹣x2）（1﹣y2）﹣4xy＝　（xy﹣1+x+y）（xy﹣1﹣x﹣y）　．
【分析】首先求出（1﹣x2）（1﹣y2）结果为1﹣x2﹣y2+x2y2，然后变为1﹣2xy+x2y2﹣x2﹣y2﹣2xy，接着利用完全平方公式分解因式即可求解．
【解答】解：（1﹣x2）（1﹣y2）﹣4xy
＝1﹣x2﹣y2+x2y2﹣4xy
＝1﹣2xy+x2y2﹣x2﹣y2﹣2xy
＝（xy﹣1）2﹣（x+y）2
＝（xy﹣1+x+y）（xy﹣1﹣x﹣y）．
故答案为：（xy﹣1+x+y）（xy﹣1﹣x﹣y）．
12．﹣3x2y3z+4x3y3z﹣6x4yz2各项的公因式是　﹣x2yz　．
【分析】根据确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂找出公因式即可．
【解答】解：多项式﹣3x2y3z+4x3y3z﹣6x4yz2的公因式是：﹣x2yz．
故答案为：﹣x2yz．
13．若（x﹣3）和（x+5）是x2+px+q的因式，则p为＝　2　．
【分析】由于（x﹣3）和（x+5）是x2+px+q的因式，所以（x﹣3）（x+5）＝x2+px+q．根据一次项的系数相等，可得到p的值．
【解答】解：因为（x﹣3）和（x+5）是x2+px+q的因式，
所以（x﹣3）（x+5）＝x2+px+q．
即x2+2x﹣15＝x2+px+q
所以p＝2
故答案为：2
14．在实数范围内分解因式：x2+4x+1＝　（x+2+）（x+2﹣）　．
【分析】根据完全平方公式配方，然后再把3写成（）2利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：x2+4x+1，
＝x2+4x+4﹣3，
＝（x+2）2﹣（）2，
＝（x+2+）（x+2﹣）．
故答案为：（x+2+）（x+2﹣）．
15．分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p＝　（p+2）（p﹣2）　．
【分析】根据题目中的式子先化简，再利用平方差公式可以进行因式分解．
【解答】解：（p+1）（p﹣4）+3p
＝p2﹣3p﹣4+3p
＝p2﹣4
＝（p+2）（p﹣2）．
16．若a、b为整数，且x2﹣x﹣1是ax17+bx16+1的因式，则a的值为　987　．
【分析】由x2﹣x﹣1是ax17+bx16+1的因式，可得当x2﹣x﹣1＝0时，ax17+bx16+1＝0，所以可设x1，x2是x2﹣x﹣1＝0的两根，即可得方程组：，然后可消去b，根据根与系数的关系，即可得a（x1﹣x2）＝x116﹣x216，再利用因式分解的知识，即可求得a的值．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1是ax17+bx16+1的因式，
∴当x2﹣x﹣1＝0时，ax17+bx16+1＝0，
设x1，x2是x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1?x2＝﹣1，
∴，
①×x216﹣②×x116得：ax117x216+x216﹣（ax217x116+x116）＝0，
∴a（x1﹣x2）＝x116﹣x216，
∴a＝（x18+x28）（x14+x24）（x12+x22）（x1+x2），
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，
同理可得：x14+x24＝9﹣2＝7，x18+x28＝49﹣2＝47，
∴a＝47×7×3×1＝987．
故答案为：987．
17．将多项式ax2﹣4ay2因式分解得　a（x+2y）（x﹣2y）　
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x2﹣4y2）＝a（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：a（x+2y）（x﹣2y）
三、解答题（本题共计8小题，共计69分，）
18．（8分）分解下列因式
（1）m2n﹣mn2+mn；
（2）4x2﹣（y2﹣2y+1）．
【分析】（1）直接提取公因式mn，进而分解因式得出答案；
（2）直接将原式利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝mn（m﹣n+1）；
（2）原式＝（2x）2﹣（y﹣1）2
＝（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．
19．（8分）因式分解：x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3．
【分析】首先观察式子，发现当x＝y时，原式值为0，于是可知式子含有因子x﹣y，进而可知原式还含因子y﹣z，z﹣x，设原式＝（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）[A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）]，令x＝﹣1，y＝0，z＝1得2A﹣B＝﹣1，令x＝0，y＝1，z＝2得5A+2B＝2，解A和B的二元一次方程组，求出A和B的值，原式即可因式分解．
【解答】解：当x＝y时，原式等于0，故原式含有因子x﹣y，
又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子y﹣z，z﹣x，
又因为原式为x，y，z的五次式，故可设x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3
＝（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）[A（x2+y2+z2）+B（xy+yz+zx）]
令x＝﹣1，y＝0，z＝1得2A﹣B＝﹣1，
令x＝0，y＝1，z＝2得5A+2B＝2，
解得A＝0，B＝1，
所以x2（y﹣z）3+y2（z﹣x）3+z2（x﹣y）3＝（x﹣y）（y﹣z）（z﹣x）（xy+yz+zx）．
20．（8分）因式分解：
（1）4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）
（2）x4﹣16．
【分析】（1）直接提取公因式2（x﹣y），进而分解因式即可；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：（1）4a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）
＝4a（x﹣y）+2b（x﹣y）
＝2（x﹣y）（2a+b）；
（2）x4﹣16
＝（x2+4）（x2﹣4）
＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．
21．（8分）把下列多项式分解因式：
（1）2x2y﹣6xy；
（2）x2+4x+4；
（3）16a2﹣4b2．
【分析】（1）直接提公因式2xy即可；
（2）直接利用完全平方公式即可；
（3）先提公因式4，再利用平方差公式即可进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝2xy（x﹣3）；
（2）原式＝（x+2）2；
（3）原式＝4（4a2﹣b2）＝4（2a+b）（2a﹣b）．
22．（9分）已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解后有一个因式是3x﹣2．
（1）求m的值；
（2）将该多项式因式分解．
【分析】（1）由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，所以当x＝时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值；
（2）把m的值代入3x2+x+m，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，
当x＝时多项式的值为0，
即3×++m＝0，
∴2+m＝0，
∴m＝﹣2；
（2）3x2+x+m＝3x2+x﹣2＝（x+1）（3x﹣2）；
故答案为：m＝﹣2，（x+1）（3x﹣2）．
23．（9分）老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；
（乙）：常数项系数为1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．
【分析】根据分组法、提公因式法分解因式分解，可得答案．
【解答】解：x3﹣x2﹣x+1＝x2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝（x﹣1）2（x+1）
4x3﹣4x2﹣x+1＝4x2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝（x﹣1）（2x+1）（2x﹣1）
24．（9分）我们借助对同一个长方形面积的不同表示，可以解释一些多项式的因式分解．例如选取图①中的A卡片1张、B卡片1张、C卡片2张，就能拼成图②所示的正方形，从而可以解释a2+2ab+b2＝（a+b）2．
请用A卡片1张、B卡片2张、C卡片3张拼成一个长方形，画图并完成多项式a2+3ab+2b2的因式分解．
【分析】先用A卡片1张、B卡片2张、C卡片3张拼成如图③长方形，然后利用面积相等可完成多项式a2+3ab+2b2的因式分解．
【解答】解：如图③，
所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．
25．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）
∴（6分）
解得：a＝4，k＝20（8分）
故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）