2021-2022学年人教版数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数 同步练习卷(word解析版)

22.3
实际问题与二次函数
一、选择题
1．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（　　）
A．y＝x2
B．y＝（12﹣x）2
C．y＝2（12﹣x）
D．y＝（12﹣x）x
2．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（　　）
A．2m
B．2m
C．m
D．m
3．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（　　）
A．2.76米
B．6.76米
C．6米
D．7米
4．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m
）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是（　　）
A．6
s
B．4
s
C．3
s
D．2
s
5．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
6．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
二、填空题
7．用一根长为20cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为　
　．
8．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式
　
　．
9．如图，一边靠墙，其它三边用12米的篱笆围成一个矩形（ABCD）花圃，则这个花圃的面积S（平方米）与AB的长x（米）之间的函数关系式为　
　．
10．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需　
　秒．
11．校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y＝﹣+2.5，那么小明这次投掷的成绩是　
　米．
12．某纸箱厂第1年的利润为50万元，如果每一年比上一年的利润增长率相同，都是x，则第3年的利润为
　
　万元．
三、解答题
13．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
14．小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P．已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝﹣x2+x+c．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC＝2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB．
15．某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
16．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4，抛物线顶点处到边MN的距离是4，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上．
（1）如图建立适当的坐标系，求抛物线解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为L，点C的坐标为（m，0），求L与m的关系式（不要求写自变量取值范围）．
（3）问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于9.5，若不等于9.5，请说明理由，若等于9.5，求出m的值．
17．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE＝x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？
参考答案与试题解析
一、选择题
1．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（　　）
A．y＝x2
B．y＝（12﹣x）2
C．y＝2（12﹣x）
D．y＝（12﹣x）x
【分析】首先利用x表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解．
【解答】解：长方形的一边是xcm，则另一边长是（12﹣x）cm．
则y＝（12﹣x）x．
故选：D．
2．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（　　）
A．2m
B．2m
C．m
D．m
【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为y＝ax2，把点（2，﹣2）代入求出解析式，继而求得y＝﹣3时x的值即可得解．
【解答】解：建立如图所示直角坐标系：
可设这条抛物线为y＝ax2，
把点（2，﹣2）代入，得
﹣2＝a×22，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣3时，﹣x2＝﹣3．
解得：x＝±
∴水面下降1m，水面宽度为2m．
故选：A．
3．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（　　）
A．2.76米
B．6.76米
C．6米
D．7米
【分析】根据已知，假设解析式为y＝ax2，把（10，﹣4）代入求出解析式．假设在水面宽度18米时，能顺利通过，即可把x＝9代入解析式，求出此时水面距拱顶的高度，然后和正常水位相比较即可解答．
【解答】解：设该抛物线的解析式为y＝ax2，在正常水位下x＝10，代入解析式可得﹣4＝a×102?a＝﹣
故此抛物线的解析式为y＝﹣x2．
因为桥下水面宽度不得小于18米
所以令x＝9时
可得y＝＝﹣3.24米
此时水深6+4﹣3.24＝6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．
故选：B．
4．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m
）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系式为h＝30t﹣5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是（　　）
A．6
s
B．4
s
C．3
s
D．2
s
【分析】根据题意得出h＝0时，解方程求出t的值即可．
【解答】解：由题意可得：h＝0时，0＝30t﹣5t2，
解得：t1＝6，t2＝0，
∴小球从抛出至回落到地面所需的时间是6秒，
故选：A．
5．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
【分析】直接利用每千克利润×销量＝总利润，进而得出关系式．
【解答】解：设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，
则y与x的函数关系式为：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]．
故选：C．
6．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【解答】解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选：C．
二、填空题
7．用一根长为20cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为　y＝﹣x2+10x（0＜x＜10）　．
【分析】根据长方形的面积＝长×宽，即可解答．
【解答】解：由题意知：y＝x?（）＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x．
故答案为：y＝﹣x2+10x（0＜x＜10）．
8．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式
　y＝﹣x2+11　．
【分析】首先建立平面直角坐标系，进而利用顶点式求出函数解析式，即可得出答案．
【解答】解：如图所示．
由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），
设抛物线的表达式为y＝ax2+11，
将点B的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得：a＝﹣，
所以抛物线的表达式为：y＝﹣x2+11，
故答案为：y＝﹣x2+11．
9．如图，一边靠墙，其它三边用12米的篱笆围成一个矩形（ABCD）花圃，则这个花圃的面积S（平方米）与AB的长x（米）之间的函数关系式为　S＝﹣2x2+12x　．
【分析】设AB＝CD＝x，则BC＝12﹣2x，根据矩形面积＝长×宽，即可得出S与x的函数关系式．
【解答】解：∵AB＝CD＝x，AB+BC+CD＝12，
∴BC＝12﹣2x，
则S＝（12﹣2x）×x＝﹣2x2+12x．
故答案为：S＝﹣2x2+12x．
10．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需　36　秒．
【分析】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间．
【解答】解：
法一：设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称．则从A到B需要16秒，则从A到D需要8秒．
∴从O到D需要10+8＝18秒．
∴从O到C需要2×18＝36秒．
法二：如图，设从O到A花10秒，从O到B花26秒，
则由对称性可知OA＝BC，
故从B到C也花10秒，
故从O到C一共花26+10＝36（秒），
故答案是：36．
11．校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y＝﹣+2.5，那么小明这次投掷的成绩是　8　米．
【分析】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：令y＝0，则为﹣+2.5＝0，解得x1＝8，x2＝﹣2（舍去），
∴小明这次投掷的成绩是8米
故答案为：8
12．某纸箱厂第1年的利润为50万元，如果每一年比上一年的利润增长率相同，都是x，则第3年的利润为
　50（1+x）2　万元．
【分析】根据每一年比上一年的利润增长率相同，由增长率公式可得出答案．
【解答】解：∵每一年比上一年的利润增长率相同，都是x，且第1年的利润为50万元，
∴第3年的利润为50（1+x）2．
故答案为50（1+x）2．
三、解答题
13．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
【分析】本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可．如果设C点是原点，那么A的坐标就是（﹣2，﹣4.4），B的坐标是（2，﹣4.4），可设这个函数为y＝kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y＝﹣1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，因此将x＝1.2代入函数式中可得y≈﹣1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4﹣1.6＝2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门．
【解答】解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数为y＝kx2．
将A的坐标代入，得y＝﹣1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴将x＝1.2代入函数式，得
y≈﹣1.6，
∴GH＝CH﹣CG＝4.4﹣1.6＝2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门．
14．小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P．已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝﹣x2+x+c．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC＝2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB．
【分析】（1）直接利用P点坐标得出c的值即可；
（2）求出二次函数的顶点坐标进而得出答案；
（3）令y＝2.5，进而得出答案x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵OP＝1，
∴当x＝0时，y＝1，代入y＝x2+x+c，
解得：c＝1，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣x2+x+1；
（2）y＝﹣x2+x+1，
＝x2﹣8x）+1，
＝（x﹣4）2+3，
当x＝4时，y有最大值3，
故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m；
（3）令y＝2.5，则有﹣（x﹣4）2+3＝2.5，
解得x1＝2，x2＝6，
根据题意可知x1＝2不合题意，应舍去故小亮离小明的最短距离为6m．
15．某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
【分析】本题属于市场营销问题，月利润＝（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清楚．再用二次函数的性质解决最大利润问题．
【解答】解：（1）由题意得：
45+×7.5＝60（吨）．
（2）由题意：
y＝（x﹣100）（45+×7.5），
化简得：y＝﹣x2+315x﹣24000．
（3）y＝﹣x2+315x﹣24000＝﹣（x﹣210）2+9075．
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额W＝x（45+×7.5）＝﹣（x﹣160）2+19200来说，
当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；
而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
（说明：如果举出其它反例，说理正确，也可以）
16．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4，抛物线顶点处到边MN的距离是4，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上．
（1）如图建立适当的坐标系，求抛物线解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为L，点C的坐标为（m，0），求L与m的关系式（不要求写自变量取值范围）．
（3）问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于9.5，若不等于9.5，请说明理由，若等于9.5，求出m的值．
【分析】（1）根据MN＝4，抛物线顶点到MN的距离是4dm，得到N（4，0），P（2，4），即可求得函数的解析式；
（2）把BC，DC用m表示出来，代入L＝2（BC+DC）即可；
（3）把L＝9.5代入L＝﹣2m2+4m+8，解方程即可．
【解答】解：（1）∵MN＝4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm，
∴N（4，0），顶点P（2，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+4，
把N（4，0）代入得：0＝a（4﹣2）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，
即：抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）点C的坐标为（m，0），
∴BC＝4﹣2m，DC═﹣m2+4m，
∴L＝2（BC+DC）＝﹣2m2+4m+8；
（3）能等于9.5，
当L＝﹣2m2+4m+8＝9.5，即2m2﹣4m+1.5＝0，解得：m1＝，m2＝．
17．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE＝x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）解题的关键是作辅助线ME、MN，证明出来△EBA≌△MNF，把需要解决的问题转化成解直角三角形的问题，利用勾股定理解答．
（2）根据（1）的答案，利用二次函数的最值问题即可求出．
【解答】解：（1）连接ME，设MN交BE于P，根据题意，得
MB＝ME，MN⊥BE．（2分）
过N作AB的垂线交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN＝90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN＝90°，
∴∠MBP＝∠MNF．
在Rt△EBA与Rt△MNF中，
∵AB＝FN，
∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF＝AE＝x．
在Rt△AME中，AE＝x，ME＝MB＝AB﹣AM＝2﹣AM，
∴（2﹣AM）2＝x2+AM2．
4﹣4AM+AM2＝x2+AM2，即4﹣4AM＝x2，
解得AM＝1﹣x2．（5分）
所以梯形ADNM的面积S＝×AD＝×2
＝AM+AF＝AM+AM+MF＝2AM+AE
＝2（1﹣x2）+x
＝﹣x2+x+2
即所求关系式为s＝﹣x2+x+2．（8分）
（2）s＝﹣x2+x+2＝﹣（x2﹣2x+1）+＝﹣（x﹣1）2+
故当AE＝x＝1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是．