2021-2022学年九年级数学北师大版上册1.2 矩形的性质与判定同步练习卷(word解析版)

1.2
矩形的性质与判定
一．选择题
1．菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．邻角互补
B．内角和为360°
C．对角线相等
D．对角线相互垂直
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　）
A．4
B．4
C．3
D．5
3．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为C，D，E，则下列说法正确的是（　　）
A．BC是△BCD的高
B．DE＝BC
C．∠CEB＝∠ABC
D．DE是△ACD的高
4．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角相等
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
6．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　
　．
7．直角三角形中，若斜边上的中线长是5，则斜边长是　
　．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大
小为　
　．
9．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，若AB＝7，那么DC的长为　
　．
10．如图，若直角三角形的两直角边分别为4cm和3cm，则斜边上的中线CD长为　
　．
三．解答题
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
12．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
13．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
14．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t＝2时，PQ的长为　
　；
（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；
（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．邻角互补
B．内角和为360°
C．对角线相等
D．对角线相互垂直
【分析】菱形和矩形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：四边相等，对角线垂直；矩形具有独特的性质：对角线相等，邻边互相垂直．
【解答】解：A、邻角互补，是菱形和矩形都具有的性质，故A不合题意；
B、菱形和矩形都是四边形，所以内角和都是360°，故B不合题意；
C、对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，故C不合题意；
D、对角线互相垂直，是菱形的性质，不是矩形具有的性质，故D符合题意；
故选：D．
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　）
A．4
B．4
C．3
D．5
【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解．
【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
3．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为C，D，E，则下列说法正确的是（　　）
A．BC是△BCD的高
B．DE＝BC
C．∠CEB＝∠ABC
D．DE是△ACD的高
【分析】根据三角形高的概念进行判断即可．
【解答】解：A．△BCD中BC是斜边，故A错误，不符合题意；
B．DE∥BC，但DE≠，故B错误，不符合题意；
C．∵∠CEB＝∠A+∠ABE，∠ABC＝∠CBE+∠ABE，
而∠A＝∠BCD，∠BCD≠∠CBE，
∴∠CEB≠∠ABC，故C错误，不符合题意；
D．DE是△ACD的高，故D正确，符合题意．
故选：D．
4．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角相等
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得出即可．
【解答】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：C．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】利用三角形的内角和定理可得∠B＝60°，由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE＝BE＝2,利用等边三角形的性质可得结果．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°,
∵E是AB的中点,AB＝4，
∴CE＝BE＝,
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB,
∴DE＝BD＝,
故选：A．
二．填空题
6．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　12　．
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．
【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案为12．
7．直角三角形中，若斜边上的中线长是5，则斜边长是　10　．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直角三角形中，若斜边上的中线长是5，
∴斜边长是10，
故答案为：10．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大
小为　35°　．
【分析】先利用矩形的性质得出OA＝OB，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，求出∠BAO＝55°，再根据∠ABC＝90°﹣∠BAO即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OB，∠ABC＝90°，
又∵∠AOB＝70°，
∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣55°＝35°．
方法二：矩形ABCD中，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ACB＝∠AOB＝×70°＝35°．
故答案为：35°．
9．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，若AB＝7，那么DC的长为　3.5　．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求得CD．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
则AB＝2CD＝7，
∴CD＝3.5．
故答案为：3.5．
10．如图，若直角三角形的两直角边分别为4cm和3cm，则斜边上的中线CD长为　cm　．
【分析】先利用勾股定理求出斜边AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得．
【解答】解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴AB＝＝5，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AB＝（cm），
故答案为：cm．
三．解答题
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC＝OB＝OD，再根据AE⊥BD，DF⊥AC得出∠AEO＝∠DFO，从而证明出△AOE≌△DOF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
12．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BC＝DA，结合AD∥BC，从而可得，∠ACB＝∠DAC，根据AAS证出△ABE≌△CDF，从而得出BE＝DF．
（2）证得BE∥DF且BE＝DF即可证得四边形BEDF是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
（2）四边形BEDF是平行四边形．
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
13．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求DC的长度．
【分析】（1）由题意可证四边形DFBE是平行四边形，且DE⊥AB，可得结论
（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度，则可得BF的长度，即可求CD的长度．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB，DC＝AB
∵CF＝AE
∴DF＝BE且DC∥AB
∴四边形DFBE是平行四边形
又∵DE⊥AB
∴四边形DFBE是矩形；
（2）∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB
∴AE＝，DE＝AE＝
∵四边形DFBE是矩形
∴BF＝DE＝
∵AF平分∠DAB
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB
∴AB＝BF＝
∴CD＝
14．如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝1：2，OE＝2，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）由CE∥BD、EB∥AC可得出四边形OBEC为平行四边形，由菱形的性质可得出∠BOC＝90°，进而可得出四边形OBEC为矩形，根据矩形的性质即可证出OE＝CB；
（2）设OC＝x，则OB＝2x，利用勾股定理可得出BC＝x，结合BC＝OE＝2，可求出x的值，进而可得出OC、OB的值，再利用菱形的面积公式即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC为矩形，
∴OE＝CB．
（2）解：设OC＝x，则OB＝2x，
∴BC＝＝x．
∵BC＝OE＝2，
∴x＝2，
∴OC＝2，OB＝4，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝2OC?OB＝16．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t＝2时，PQ的长为　2　；
（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；
（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．
【分析】（1）作PH⊥AB于H，求出QH、PH，根据勾股定理求出PQ；
（2）当PQ＝PB时，根据QH＝BH，列关于t的一元一次方程求解即可；
（3）若BQ＝PQ时，关于t的一元二次方程求解即可．
【解答】解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，
由题意得，DP＝4，AQ＝2，
则QH＝2，又PH＝AD＝6，
由勾股定理的，PQ＝＝＝2，
故答案为：2；
（2）当PQ＝PB时，
如图，QH＝BH，
则t+2t＝8，
解得，t＝；
（3）当PQ＝BQ时，
（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，
解得，t＝．