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12.3.2.1
两数和（差）的平方
数学华师版
八年级上
新知导入
回顾
&
思考
应用平方差公式的注意事项:
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a?-b?
时，关键在于
找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的
项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。
想一想：下列各式能用平方差公式计算吗？
（1）(2x+y)(y-2x)
（2）(2x+y)(2x+y)
运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式：
1、(a+b)2
=(a+b)(a+b)
2、(2+x)2
=(2+x)(2+x)
=
22+2x+2x+x2
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
3、(2x+y)2
=(2x)2+2×2x?y+y2
观察上述1、2两题的计算结果，你发现有什么规律？你能用你的发现来猜测第3题的结果吗？
新知导入
a2
(a+b)(a+b)
+b2
+ba
新知讲解
=
+ab
用多项式乘法法则计算:
(a+b)2
=
(a+b)2=
做一做
a2+2ab+b2
新知讲解
两数和的平方公式：
（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍．
顺口溜：首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
新知讲解
试一试
观察图12.3.2，用等式表示下图中图形面积的运算
图12.3.2
b
b
a
a
b
b
a
a
=
+
+
______________
=
__________
+
________
+
_____
a2
b2
(a+b)2
2ab
新知讲解
例4
计算:
(1)
(2x+3y)2;
(2)
新知讲解
解
(1)
(2x+3y)2
=
(2x)2+2·2x·3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2
把2x看作a,
3y看作b，直接代人公式.
新知讲解
(2)
=
=
新知讲解
变式
计算:
(1)
(m+5n)2;
(2)
(a+2b+c)2
新知讲解
解：
(1)
(m+5n)2
=m2+2·m·5n+25n2
=m2+10mn+25n2
(2)
(a+2b+c)2
=[(a+2b)+c]2
=(a+2b)2+2·(a+2b)·c+c2
=a2+4ab+4b2+2ac+4bc+c2
注意：
(1)公式左边是两数和的平方;
(2)公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方和加上左边两数积的两倍。
即:
首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
新知讲解
1、如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的长方形卡片4张，边长为b的正方形4张，用9张卡片刚好能拼成无缝隙不重叠的正方形，则这个正方形的边长为(
)
A.
a+b
B.
2a+b
C.
2a-b
D.
a+2b
课堂练习
解：设正方形的边长为x(x>0)
x2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2
∴x=a+2b
故选D．
2、如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．
(1)请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；
①__________________
②____________________
(2)由①，②可得到关于a，b的等式是:__________________________
(3)利用(2)中的等式计算：4.3232+2×4.323×0.677+0.6772．
(a+b)2
a2+2ab+b2
(a+b)
2=a2+2ab+b2
解：
(3)原式=4.3232+2×4.323×0.677+0.6772
=(4.323+0.677)
2
=52
=25
3、对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如利用图①可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，那么利用图②所得的数学等式是(
)
(a+b+c)2=a2+b2+c2
B.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
C.
(a+b+c)
2=2ab+2bc+2ca
D.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+bc+ca
解：∵正方形的面积=(a+b+c)2；
正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
∴
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故选B．
顺口溜：首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
课堂总结
两数和的平方公式：
（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍．中小学教育资源及组卷应用平台
12.3.2.1
两数和（差）的平方
教案
课题
12.3.2.1
两数和（差）的平方
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1、通过合作学习探索得到两数和的平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力.2、通过观察发现两数和的平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义.3、初步学会运用两数和的平方公式进行计算.
重点难点
重点:理解两数和的平方公式，运用公式进行计算.难点:从广泛意义上理解公式中的字母，判断要计算的代数式是哪两个数的和的平方。
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
复习导入
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a?-b?
时，关键在于找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。想一想：下列各式能用平方差公式计算吗？（1）(2x+y)(y-2x)（2）(2x+y)(2x+y)（1）可以
（2）不可以运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式：1、(a+b)2
(2+x)2(2x+y)2观察上述1、2两题的计算结果，你发现有什么规律？你能用你的发现来猜测第3题的结果吗？用多项式乘法法则计算:
(a+b)2两数和的平方公式：（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍．顺口溜：首平方，尾平方，二倍乘积放中央。观察图12.3.2，用等式表示下图中图形面积的运算例4计算:(1)
(2x+3y)2;(2)
解
(1)
(2x+3y)2=
(2x)2+2·2x·3y+(3y)2=4x2+12xy+9y2把2x看作a,
3y看作b，直接代人公式.(2)==
变式计算:(1)
(m+5n)2;(2)
(a+2b+c)2解：(1)
(m+5n)2=m2+2·m·5n+25n2=m2+10mn+25n2(2)
(a+2b+c)2=[(a+2b)+c]2=(a+2b)2+2·(a+2b)·c+c2=a2+4ab+4b2+2ac+4bc+c2注意：(1)公式左边是两数和的平方;(2)公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方和加上左边两数积的两倍。即:首平方，尾平方，二倍乘积放中央。课堂练习：1、如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的长方形卡片4张，边长为b的正方形4张，用9张卡片刚好能拼成无缝隙不重叠的正方形，则这个正方形的边长为(
)
A.
a+b
B.
2a+b
C.
2a-b
D.
a+2b2、如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；________________________
_
?________________________________________________由，可得到关于a，b的等式是：
__________________________________________________________利用中的等式计算：．
3、对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如利用图①可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，那么利用图②所得的数学等式是(
)
A.(a+b+c)2=a2+b2+c2B.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caC.
(a+b+c)
2=2ab+2bc+2caD.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+bc+ca答案：1、解：设正方形的边长为x(x>0)∵x2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2∴x=a+2b故选D．
2、解：，
；等式为：；
原式
3、解：∵正方形的面积=(a+b+c)2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．∴
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．故选B．
课堂小结
两数和的平方公式：（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍．
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12.3.2.1两数和（差）的平方
学案
课题
12.3.2.1
两数和（差）的平方
单元
第12章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、通过合作学习探索得到两数和的平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力.
2、通过观察发现两数和的平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义.
3、初步学会运用两数和的平方公式进行计算.
重点
难点
重点:理解两数和的平方公式，运用公式进行计算.
难点:从广泛意义上理解公式中的字母，判断要计算的代数式是哪两个数的和的平方。
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
复习导入
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a?-b?
时，关键在于
找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的
项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。
想一想：下列各式能用平方差公式计算吗？
（1）(2x+y)(y-2x)
（2）(2x+y)(2x+y)
（1）可以
（2）不可以
运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式：
1、(a+b)2
(2+x)2
(2x+y)2
观察上述1、2两题的计算结果，你发现有什么规律？你能用你的发现来猜测第3题的结果吗？
合
作
探
究
探究一：
用多项式乘法法则计算:
(a+b)2
两数和的平方公式：
（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍．
探究二：
观察图12.3.2，用等式表示下图中图形面积的运算
探究三：
例4
计算:
(1)
(2x+3y)2;
(2)
注意：
(1)公式左边是两数和的平方;
(2)公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方和加上左边两数积的两倍。
即:
首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
当
堂
检
测
1、如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的长方形卡片4张，边长为b的正方形4张，用9张卡片刚好能拼成无缝隙不重叠的正方形，则这个正方形的边长为(
)
A.
a+b
B.
2a+b
C.
2a-b
D.
a+2b
2、如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．
请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；
________________________
_
?________________________________________________
由，可得到关于a，b的等式是：
__________________________________________________________
利用中的等式计算：．
3、对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如利用图①可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，那么利用图②所得的数学等式是(
)
A.(a+b+c)2=a2+b2+c2
B.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
C.
(a+b+c)
2=2ab+2bc+2ca
D.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+bc+ca
答案：
1、解：设正方形的边长为x(x>0)
∵x2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2
∴x=a+2b
故选D．
2、解：，
；
等式为：；
原式
3、解：∵正方形的面积=(a+b+c)2；
正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
∴
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故选B．
课
堂
小
结
两数和的平方公式怎样表示？
参考答案
合作探究：
探究一：
（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
探究二：
（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
探究三：
解
(1)
(2x+3y)2
=
(2x)2+2·2x·3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2
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精品试卷·第
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