小学数学苏教版数学五年级上册五 小数乘法和除法 ● 钉子板上的多边形 (2)（教案）

钉子板上的多边形
教学内容：
五年级上册第108～109页
教学目标：
1.使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。
2.使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数之间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
3.使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：
探索钉子板上多边形的面积与多边形边上的钉子数、内部钉子数之间的关系。
教学难点：
综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。
教具准备：
课件、研究单，钉子板，橡皮筋。
教学过程：
设疑激趣，揭示课题。
1．同学们，老师在钉子板上围出了一些多边形，看，（出示：围好的图形）这是—（生：正方形）
如果每两根钉子之间的距离是1厘米，它的面积是---
接下来，老师出示一些多边形，请说出它的面积是多少，看谁反应快！
生回答梯形面积后问：你是怎么想的？
（出示不规则图形）它的面积是--（生答），你是怎么想的？
2．我们来看，钉子板上围出的这4个多边形，它们的面积一个比一个（生：大）猜一猜，钉子板上多边形面积的大小可能与什么有关？
（生：多边形边上的钉子数
指名到前面数一数
生：多边形内部的钉子数
指名数）
3．刚才同学们用数一数、算一算的方法很快得出了这4个多边形的面积，（出示：不规则图形）这个多边形的面积是多少呢？好像有点复杂。没关系，通过这节课的学习，老师相信每个同学都能很快地算出它的面积。今天我们就一起来研究--（揭题）（贴：钉子板上的多边形）
二．发现规律，引发猜想。
(一)研究内部钉子数是1时
1.（出示：格点图和表1）接下来，老师用格点图代替钉子板，看看
下面这些多边形的面积(板贴:多边形的面积)各是多少？每个多边形边上的钉子数(板贴:多边形边上的钉子数)各是多少？请同学们先数一数，算一算，并完成书上第108页的表格。
生填表
2.谁来汇报?先汇报各个图形的面积。
观察表格：你有什么发现？
（生：这些多边形，边上的钉子数越多，面积就越大。
生：这些多边形面积的平方厘米数是它们边上的钉子数的一半）
说明：数学追求简洁美，怎样能简洁地表示出我们刚才的发现呢？
如果用S表示多边形的面积，用n表示多边形边上的钉子数，那刚才发现的规律怎样表示？
板书:S=n÷2
（上面要空一行）
3.我们来找个图形验证一下。（出示：梯形）指名来数边上的钉子数
怎么不对呢？难道我们发现的规律有问题？
再来看看这些图形还有什么共同特征？（板贴：多边形内部钉子数
1
）
也就是只有当多边形内部只有1枚钉子时，这个规律才成立。是这样吗?你自己动手围一个图形看看。
4.现在谁来完整地说说这个规律?
5.小结：看来，多边形的面积不仅和多边形边上的钉子数有关，还与多边形内部的钉子数有关。
（二）研究内部钉子数是2时
1．再看刚才验证的这个梯形,它内部有几枚钉子？---(生:2枚)
当多边形内部的钉子数是2时,它的面积与边上的钉子数又有什么关系呢?
这个问题老师想请你们自己来研究,你准备怎么研究这个问题？
引导学生明确研究方法：先围几个内部有2个钉子的多边形，数数它们的面积和边上的钉子数，再看看面积和边上的钉子数有什么关系。
（生回答的同时，师板贴：围
数（当然你围出的图形也可以算出它的面积）
想
（出示:活动要求）
这就是我们的活动要求，指名读要求。
提醒：每个同学围的图形不能拆掉，待会儿要带着你们的图形来汇报。
2.小组合作,完成研究单。
展台展示:哪一组来汇报一下你们的研究?（学生汇报时研究单放前面，钉子板摆后面，要数边上的钉子数，算面积汇报）（至少请两小组汇报）
边汇报边板书：S
＝n÷2＋1
（三）研究内部钉子数是3、4、0时
1．引发学生猜想。
（1）提问：猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子，它的面积与边上的钉子数又有怎样的关系呢？
可以同桌讨论一下
交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：3，S
＝n÷2＋2??）
（2）如果内部有4枚钉子呢?继续猜想
根据学生回答板书：4，S
＝n÷2＋3?，?
……
如果内部钉子数是0呢？板：0,
S
＝n÷2－1
2．动手操作，验证猜想。
（1）引导：以上只是我们根据已经发现的规律进行的猜想，（在板书后补上问号）对不对呢？我们还要进一步验证。
（2）接下来我们还是根据刚才的活动要求，进行小组合作研究。拿出你们的验证单,第一大组的同学验证内部钉子数是0的,第二大组的同学验证内部钉子数是3的,第三大组的同学验证内部钉子数是4的.
提醒：同样，围好的图形不要拆掉，汇报时要用。
学生分组活动。
（3）交流汇报，在汇报中肯定刚才的猜想。
首先请第一组的同学来汇报，汇报要求同上。（汇报好后擦掉问号）
（四）揭示规律。
引导学生观察关系式：
?S
＝n÷2－1
S
＝n÷2
?????????
S
＝n÷2＋1
S
＝n÷2＋2
如果内部钉子数是a时,这里的S与n又有怎样的关系呢?
引导学生归纳，得出规律：S
＝n÷2＋a-1。
三、实际应用,交流体会.
1．（出示一开始的图形）现在你能用发现的规律算出它的面积吗？
2．
谁来列式算出它的面积？我们再用分割图形的方法来验证一下。
看来，有了规律的帮忙，我们就可以将如此复杂的问题变简单。
3．今天这节课,我们用围一围、数一数、想一想的方法来验证了我们的猜想,从而得出了结论,回顾刚才研究的过程,你有什么体会?
4.
同学们,你知道吗?今天我们研究的规律,就是数学上著名的皮克定理.
指名读.有兴趣的同学课后可以到网上搜索，继续了解。
板书：
围
钉子板上的多边形
数
多边形内的钉子数
多边形的面积
多边形边上的钉子数
0
S
=
n
÷
2
-
1
1
S
=
n
÷
2
2
S
=
n
÷
2
+
1
3
S
=
n
÷
2
+
2
4
S
=
n
÷
2
+
3
……
a
S
=
n
÷
2
+
a
-
1
研究单
图形
编号
多边形内的
钉子数/枚
多边形边上的
钉子数/枚（n）
多边形的
面积/平方厘米（S）
①
2
②
2
③
2
我们发现:
当多边形内有2枚钉子时，S=________________
验证单
图形
编号
多边形内的
钉子数/枚
多边形边上的
钉子数/枚（n）
多边形的
面积/平方厘米（S）
①
②
③
我们发现：当多边形内有
枚钉子时，
S=____________这个猜想是
的。
1