11.3探索三角形全等的条件⑷
班级 姓名 学号
学习目标
⒈让学生进一步了解全等三角形在生活和生产中的应用，增强应用数学的意识；
⒉会用直尺和圆规作角平分线，并能有条理地说理和表达；
⒊引导学生通过添加辅助线，将问题转化为全等三角形来解决．
此外，通过例题教学，让学生知道数学解题中“分析”的作用与“分析”的方法．
学习难点
会用直尺和圆规作角平分线，并能有条理地说理和表达
教学过程
教材提供了工人师傅用角尺平分一个任意角的情境，其目的就是让学生知道数学是有用的，数学就在我们身边，我们身边的许多事物都可以用数学知识来解释；另一方面，通过对情境中道理的剖析，为用尺规作角的平分线打下了基础．在说理时，关键要注意引导学生，如何通过对边角关系的分析，把问题与全等三角形联系起来．
根据教学实际，我们还可以设计身边的其它情境．
情境1：本工师傅在做门框时，总是先做四根木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，这样做成的门框必然是平行四边形，再将各个角做成直角，就做成了一个长方形门框．你能说明它的道理吗？
这个情境主要让学生了解两点：⑴四边形不具有稳定性；⑵如何说明它是平行四边形（内错角相等，于是想到全等三角形）
情境2：小时候，我们都折过纸飞机，它的翼面如右图形状，你能说出它的特征吗？这样做有什么好处？
这是每个同学都很熟悉的情境，在使用时要注意：
⑴它的特征一定要让学生通过对纸飞机制作过程的回忆得到
（A B=AC、BD=CD）；
⑵学生不难得到△ABD≌△ACD；
⑶均匀材料制成的纸飞机的平衡性取决于它的形状．
情境3：对于情境教学，可以让学生利用课前准备好的、自制的角尺进行操作．
在操作时有几点须提醒学生注意：
⑴必须要保证OA=OB；⑵点A、点B在角尺上的示数必须一致，即必须保证MA=MB；⑶射线必须要过点M（这是后继说理的前提）．
问题1：你是怎么想到用全等三角形来说明这个问题的？ （不同的学生可能有不同表达方式，但应尽可能地培养学生说理的正确性和条理性）
问题2：可否按图2的方法操作？
问题3：你认为，可否用其它工具代替角尺？
（此问题引发学生思考，①使用量角器；②刻度尺；③直尺和圆规，从而使学生抓住射线OM为角平分线的本质条件）
情境4：用尺规平分一个任意角
这里，只要学生能用自己的语言说出作图的主要过程即可，不需要学生表述严密的作图语言，也不需要写作法（能看懂教材中的作法）．
问题1：直尺、圆规分别能画什么图形？（在平面内，直尺能经过两点作一条直线，圆规能截取长度等于定长的线段）
问题2：在作法2中，为什么要以“大于DE的长为半径画弧”？
这里，可以让学生经历一次，再谈谈自己的体会．
问题3：你能说明射线OC是∠AOB的平分线的道理吗？（SSS）
有了情境的铺垫，这里学生理解是不困难的，可以让学生互相交流说理过程，也可以让学生口述．特别要提醒学生，用规范地格式书写全等三角形的三个条件，这是教学的重点．
情境5：电线杆总是垂直于地面架设的(如图11.3-4-3)．现有5m的卷尺一只，无弹性的绳索若干，你能用所给的器具想出一种架设电线杆的方法吗？试画图说明你的方法和理由．
这也是一个源于生活、能够激发学生学习兴趣的问题．
我们可以先让学生自主探索，并结合右图引发学生思考这样下面的问题：
问题1：电线杆AB垂直于地面的条件是什么？
问题2：就仅有的工具，如何使∠ABD=90°？
问题3：怎样作平角∠CBD的平分线？
例题设计
⒈教材P.117例3．
关于例题教学的建议：
⑴对于例题中隐含条件“AC=FD”的得到，在前面的学习中学生已较好地掌握，但要提醒学生注意，这里的“AD=FC”不是两个三角形全等的直接条件；
⑵有条件的学校可以利用多媒体演示，让学生分析当线段DF在直线AC上滑动时（△FED的形状不变），∠B和∠E相等的关系有变化吗？
⑶当点C与点D重合时，△FED相当于由△ABC通过怎样的变化得来的？由此进一步思考，在教材的图中，△FED相当于由△ABC通过怎样的全等变换得来的？
⑷在说理的教学中，本例第一次以文字的形式出现了“分析”，目的是促使教师重视学生会思考的教学，要让学生初步感受逆推的方法在说理中的作用，并根据自己的“分析”，能有条理地、清晰地阐述自己的理由．
⒉如图11.3-4-4，AD=BE，OD=OE，∠1=130 ，∠2=25 .根据上面的条件，你能得到哪些结论呢 说出你的理由.
说明：⑴解决这类问题，读懂题意，收集和整合信息非常重要！要抓住直接条件和派生条件，逐步得到各类结论．
本题可以得到两对全等三角形，从而有更多的等边和等角．
⑵在教学中，也可以对问题进行变化．例如，在题中，如果删去“∠1=130 ，∠2=25 ”的条件，要使△DOA≌EOB，你认为还可以添加一个什么条件？
不同的学生有不同深度的思考．部分学生只会添加OA=OB，而有的学生可以添加∠D=∠E，∠EAB=∠DBA，还有学生添加∠EBA=∠DAB等等．（不论对于哪种情况，必须要求能有条理地说出理由）
⒊小明在学习上非常爱动脑筋，一次，他想出了另一种用尺规平分一个任意角的方法．如图11.3-4-5，以∠AOB的顶点O为圆心，分别以1cm和3cm长为半径画弧，两弧分别与角的两边OA、OB交于点D1、E1和D2、E2，连结D1E2和D2E1，交点为C，作射线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线．你能说出他这样作的理由吗？
可以引导学生“分析”：
⑴要说明∠AOC=∠BOC，只要能断定_______________或能断定_______________；
⑵要使△D2OC≌△E2OC，除了有条件OD2=OE2，OC=OC以外，还应该有条件_______________；
⑶要说明CD2=CE2，只要能断定_______________；
⑷要使△D2CD1≌E2CE1，除了有条件∠E2=∠D2，∠D2CD1=∠E2CE1，以外，还应该有条件_______________；
⑸而由_____________________________就能得到D1D2=E1E2．
【课后作业】
班级 姓名 学号
1. 如图，已知直线相交于点，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2. 的角平分线AD交BC于 点D，，则点D到AB的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点
Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线的交点
5. 如图，OP平分，，，
垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．平分
C． D．垂直平分
二、填空题
6. 如图， 点 P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则 ∠AOB=_____度．
7. 如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .
8. 已知中，，，的平分线交于点，则的度数为 ．
9.架设电线杆时，小明想，如果我们先剪4根无弹性的绳索，将长度不等的两根绳索的一端分别重合打结，然后将长度相等的两根绳索的另一端也分别重合打结(如图11.3-4-6)，将结点C、D放在架设点两侧的地面上，并使它们距架设点的距离相等（三点在同一直线上），最后将结点A、B分别系在电线杆上，调节电线杆的倾斜度和结点A、B的位置，使绳索充分拉紧．这样，从现在这个方向看电线杆便垂直于地面．你认为他说的有道理吗？
10.小亮只用一把直尺就作出了一个任意角的平分线，你信吗？如图11.3-4-7，他先后将直尺的一边与这个角的两边重叠，过对边先后作两条直线，它们的交点M必在角平分线上，于是作射线OM，OM就是∠AOB的角平分线．你能说出其中的奥妙吗？
说明：这两道例题是对教材中所提供的角平分线作法的引申，可以拓展学生视野，培养思维的发散性.
图11.3-4-1
O
A
B
M
图11.3-4-2
O
C
D
B
A
图11.3-4-3
图11.3-4-4
O
A
B
C
D1
E1
D2
E2
图11.3-4-5
A
E
D
O
C
B
图1
O
B
A
P
A
C
D
O
A
B
M
图9
图1011．3探索全等三角形的条件⑴
学习目标
⒈ 使学生掌握“SAS”的意义， 会运用“SAS”来识别两个三角形全等；
⒉ 通过识别全等三角形的识别的学习，使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系，学习分析事物本质的方法；
⒊经历探索全等三角形的条件的过程，让学生体会如何探讨、实践、总结，并培养学生的交流意识与合作能力.
学习难点
正确运用“边角边”条件判定三角形全等，解决实际问题。
教学过程
情景1：⑴从三角形的6个元素（3条边、3个角）中任意选出其中的三个元素，共有多少种不同的选法？（体现分类的思想）
在其中的任一种选法选出的3个元素对应相等，这两个三角形是否能全等？（体现研究的目标）共有四中情况：⒈两边一角（两边和它的夹角、两边和它一边的对角）；⒉两角一边（两角和夹边、两角和一角的对边）；⒊边边边；⒋角角角．可以让学生讨论在寻找简便方法时如何分类：也可以按边或角来分类，渗透分类思想时，要强调明确分类标准，并且做到不重不漏．
情景2： 课本111页“做一做”
这个活动可以分三步来开展：⑴任意剪一个直角三角形，同学们剪得的三角形全等吗？⑵重新剪一个直角三角形，使全班同学剪下的都全等，说说你的方法⑶，剪下直角三角形，验证并得出结论．通过活动使学生进一步明确只有一个条件（直角相等）的两个直角三角形不会全等，有两直角边相等的两个直角三角形全等．
说明：用长方形纸剪全等的三角形的方法较多，应让学生充分讨论，发表意见，得出一种较简便的方法后再统一动手剪三角形，课本图中所示的方法是利用长方形的一个直角，再定好两条边长，则全班同学剪下的直角三角形一定全等．
情景3：课本111页观察11-7的三角形，先猜一猜，在量一量，哪两个三角形是全等三角形？
问题⒈这个活动是第一个活动的延伸和拓展，体现由特“殊到一般”的研究方法通过学生先凭直觉猜想图11-7中哪两个三角形全等，再用工具测量验证猜想是否正确．
问题⒉培养学生观察、动手操作和做出正确判断的能力．同时可让学生说明ΔABC为什么会和Δ PMN全等？ΔABC为什么不会个ΔEDF全等？引导学生关注图中相等的两边所夹角的大小．
情景4：按条件画三角形．
问题⒈画图的工具不限，可以用量角器、三角尺、圆规等，要求学生认真、仔细的画图，力求把图画准确，养成良好的画图习惯．
问题⒉估计学生的画图不会有困难，应要求学生把所画的三角形剪下，并与同学进行比较，观察是否重合，再有学生归纳出结论．
问题⒊在活动3的基础上要求学生用自己的语言
情景5：这个活动可以根据学校或学生的实际情况选用．如下图，小王和小李各画一个三角形ΔABC和ΔDEF．
问题⒈请同学们检查图中三角形上所标的尺寸和角度是否正确？
问题⒉你能写出这两个三角形对应相等的条件吗？
问题⒊ΔABC和ΔDEF全等吗 这说明什么？
同过学生的讨论，明确有两个边和它一边的对应角相等两个三角形不一定全等．
例题设计
⒈教材P.112例1.关于例题教学的建议：
⑴例1是本章中的第一个例题，教学时要由学生自己说理，并引导学生关注以下两点；①说理的表达形式：采用分行用中文写“因为…根据…可以得到（所以）…”的形式，学生作业时也用这种形式表达；②卡通小人给出了说理的另一种形式，目的是让学生了解说理方法的多样性，学生作业中不必用这种形式来说理，这种说理方式较直观地显示了解决问题的思路；
⑵使用时记号“SAS”和条件都按边、角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应的位置上；
⑶正确的书写证明过程，培养学生严密的逻辑思维习惯；
⑷说明两个三角形全等，当遇到边、角直接条件不够时，可以从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等．
2．如图11.3-1-2，在ΔABC中，AD为边BC上的中线，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．ΔABC的面积与ΔABE的面积相等吗？请说明理由．
说明：⑴通过本例题的教学，培养学生思考和分析问题的能力；⑵用转化的思想解决问题，这里面积相等的实质是三角形的全等，全等的方法是边角边．
【课后作业】
班级 姓名 学号
1.要使ΔABC≌ΔA′B′C′，需要满足的条件是（ ）
A. AB= A′B′ ∠B=∠B′ AC= A′C′ B.AB= A′B′ ∠A=∠A′ BC= B′C‘
C. AC= A′C′ ∠C=∠C′ BC= B′C′ D.AC= A′C′ ∠B=∠B′ BC= B′C‘
2.如图，ΔABC≌ΔADE，AB=AD， AC=AE，∠B=28 ，∠E=95 ，∠EAB=20 ，则∠BAD为（ ）
A.75 B. 57 C. 55 D. 77
3.如图，ΔABC≌ΔBAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=6cm，BD=5cm，AD=4cm，那么BC等于（ ）
A．6cm B.5cm C.4cm D.5cm或4cm
第3题 第4题
4．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等，则∠A′= °，∠A= °，
B′C′= ，AD= 。
5.已知ΔABC≌ΔDEF, ∠A=∠D, ∠C=∠F, ∠B=45°,EF=6 cm, 则∠E=
BC= 。
6.如图，△AOC旋转后能与△BOD重合，则△AOC与 全等。
7.如图，△ABC≌△ADE，若∠BAC=120°，∠DAE= .
第6题 第7题
8.如图，AC=DF，∠A=∠D，AE=DB，那么BC与EF的大小关系如何？为什么？
第8题
9.如图，AB=AC，AD=AE，∠EAB=∠DAC，问：△ABD与△ACE是否全等？∠D与∠E有什么关系？为什么？
第9题
10.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，（1）写出图中全等的三角形；（2）AD与BC有什么关系？为什么？
第10题
图11.3-1-1
A
B
C
D
E
F11.3探索三角形全等的条件⑸
班级 姓名 学号
学习目标
⒈理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等；
⒉了解特殊与一般的关系，培养辩证的思维方法；
⒊要求学生学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．
此外，通过多种说理形式的训练，让学生选择自己喜欢的表达方式进行说理．
学习难点
理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等
教学过程
㈠设置情景，探索问题
教材中提供了情境，让学生思考，直角三角形全等的条件有哪些？一方面可以复习前面所学过的各种判定方法，另一方面也提出了一个新的问题：“AAA”显然不能作为直角三角形全等的条件，那么满足“SSA”条件的两个直角三角形是否全等呢？自然引发学生进行操作和讨论．
根据教学实际，我们还可以设计其它情境．
情境1：试用尺规作出满足下列条件的三角形．
⑴∠B=30°，AB=5cm，AC=3cm；（追问：所作的三角形为什么不一定全等？）
⑵∠B=30°，AB=5cm，AC=2.5cm；（追问：所作的三角形全等吗？）
对于这个情境，我们可以与学生一道进行如下探索：
⑴如图11.3-5-1，对于非直角三角形，满足条件的三角形有两个△ABC1和△ABC2，它们不全等是显然的，因为△ABC2比△ABC1多出了部分，这部分就是等腰△AC1 C2；其实我们还可以由∠AC2B是锐角而∠AC1B是钝角作出判断．
⑵对上述图形，如果逐渐减小AC的长度，我们会发现C1 C2的长度也随之减小，△AC1 C2随之变得越来越“窄”（高不变），如图11.3-5-2，我们可以想像，当AC的长度减小到某一个值时，C1 C2褪化为一点，这时AC1 和AC2都与高AD重合， 即△ABC2和△ABC1都是直角三角形，且△ABC2≌△ABC1．其实我们仍然可以从∠AC2B和∠AC1B都是直角作出判断．
情境2：先准备一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC），将它沿底边上的高AD对折．让学生猜测：高两侧的部分能否完全重合？(如图11.3-5-3)为什么？
这里，让学生经历操作过程，感知其中的现象，并形成定向的数学思考．
情境3：两个直角三角形全等的条件有哪些？与你的同伴交流交流．
这个活动既是方法回顾的过程，又是质疑和辨别的过程，同时，也为“HL”的引入提供了自然的情境．
问题1：“SSA”和“AAA”不能作为三角形全等的判定，你能举出反例吗？
让学生进入理性思考阶段．
问题2：既然直角三角形是特殊的三角形，那么它是否也有特殊的全等条件呢？
情境4：动手操作．
在操作时可以提醒学生注意：
⑴所作图形须符合“SSA”的条件；
⑵工具选择要合理；
⑶尽量减少作图中的人为误差．
问题：你发现了什么？
对两个直角三角形，除直角外，如果斜边和一条直角对应相等，那么这两个直角三角形全等．
这个结论是一个特殊的直角三角形全等的条件，简写为“斜边、直角边”或“HL”．
说明:⑴通过折纸，激发学生进行数学思考，进一步加深对“HL”的理解；
⑵如何正确进行文字语言、符号语言和图形语言的相互转化．
例题设计
⒈教材P.119例4．关于例题教学的建议：
⑴用“HL”的首要条件是在两个直角三角形中；
⑵让学生辨清所用全等的条件究竟是“HL”还是“SAS”；
⑶如果设AD、BC的交点为E，那么在图中，你还能得到哪对全等三角形？试说明理由；
⑷如果对图形作适当的变式(如图11.3-5-4)，结论是否仍然成立？
⒉如图11.3-5-5，AC=AD，∠C=∠D=90°.
⑴试说明：AB是∠DBC的平分线.
⑵如果连结DC，你有什么新的发现？
说明：本题主要引导学生如何形成用“HL”的意识；连结DC后，我们可以得到更多的全等三角形，可以让学生在不同的情景下合理选择全等三角形的条件．
⒊如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D.AC与BD相交于点E.试问：当图中哪两条线段相等时，△ABC≌△BAD？
说明：
⑴本题的用意在于，让学生理解两个直角三角形全等的条件不一定都是“HL”，要根据已有的条件确定选用哪种方法最合适；
⑵这一个条件可以是下列中的任意一个：
①AD=BC；②AC=BD；③DE=CE；④EA=EB；
⑶本题还可以进一步追问：如果所问的条件不限“两条线段相等”，那么你又能确定哪些条件呢？
【课后作业】
班级 姓名 学号
1．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．
（第1题图） （第2题图）
2．如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= °．
3．把两根钢条AA 、BB 的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图， 若测得AB=5厘米，则槽宽为 米．
（第3题图） （第4题图） （第6题图）
4．如图，∠A=∠D，AB=CD，则△ ≌△ ，根据是 ．
5．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 或 ； 若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 ，或
6．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______。依据是______,BD＝______,∠BAD=______.
7.如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，ΔABE与ΔACD全等吗？说明你的理由。（6分）
8．如图，已知∠ACB＝∠BD＝90°，若要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。
9.已知：如图，AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，且AC=BD.
⑴试说明：OD=OC．
(本题目的在于让学生在较为复杂的图形中发现“HL”的条件，并能用“HL”解决简单的问题)
⑵在图中，你还能得到哪些结论？
10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
⑴要得到DE=DF，点D应该满足什么条件？请说明理由．
⑵在⑴的条件下，试探究直线AD上任意一点P所具有的特征，并说明理由．
说明：其实，本题是在课堂练习⑶的基础上，对角平分线的条件是性质进行进一步探究．⑴中的条件可以是下列中的任意一个：
AE=AF（“HL”）、BD=CD（“AAS”）、BE=CF（“ASA”）、∠DAE=∠DAF（“AAS”）、∠ADE=∠ADF（“ASA”）等．⑵中直线AD上任意一点P所具有的特征是“点P到AB、AC边的距离相等”．（也可以说“点P到点B、点C的距离相等”）
A
B
C1
C2
D
A
B
（C1）D（C2）
图11.3-5-1
图11.3-5-2
A
B
C
D
图11.3-5-3
A
B
C
D
B
D
A
C
B
B′
A
C
D
A′
图11.3-5-4
图11.3-5-5
A
B
C
D
E
图12.3-5-6
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
图11.3-5-7
图11.3-5-811．3探索全等三角形的条件⑵
班级 姓名 学号
学习目标
⒈通过动手操作，探索三角形全等的“角边角”的条件或“角角边“角边角”的条件或“角角边”来判别两个三角形是否全等，并能解决一些简单的实际问题．
⒉通过动手操作，实验，合作交流等过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，能结合具体问题和情景进行有条理的思考，会用分别写“因为……所以……”或“因为……根据……所以……”的表达方式进行简单的说理．
⒊通过三角形的稳定性的实例，以感受数学的价值，增强应用数学的意识，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物．
学习难点
探索三角形全等的“角边角”的条件或“角角边“角边角”的条件或“角角边”来判别两个三角形是否全等，并能解决一些简单的实际问题．
教学过程
教材中提供了“议一议”情景，目的是以情激趣，以情激智，引导学生主动的观察、思考和讨论，从而触发学生探索三角形全等另一个条件的好奇心和积极性．
为了充分利用好这一情景，教师可以在课前准备4---5个仅有一个角相等的各种三角形，把它们都放在右手握的档板后，待学生讨论结束后再撤去档板，一一展示，而教师的左手只有唯一的一个三角形，学生将对此情景留下深刻的印象．
同时教师根据教学的实际情况还可以设计如下的情景：
情景1：用硬纸板任意剪一个三角形，如图11.3-2-1把三角形纸板撕成两部分．试利用其中的一部分能否再剪一个与原三角形全等的三角形？
问题：⑴从上面的实践中容易发现利用第Ⅱ部分可以剪出与原来三角形全等的三角形．观察、比较第Ⅰ、Ⅱ两部分有什么不同？
⑵第二次剪出来的三角形与原三角形的第Ⅱ部分，有哪些边和角是重合的？
⑶从利用第Ⅱ部分可以剪出与原三角形全等的三角形的事实中，你得到什么启发？ (前后4位学生为学习小组共同合作，讨论)
情景2：如图11.3-2-2现有一张老师用的教具硬纸板不小心被撕坏了，老师想制做一张与原教具同样大小的新教具，能恢复原貌吗？
问题1：在这个问题中，应让学生思考，确定原三角形具备什么已知条件？这三个条件有什么联系？（原三角形中已知∠A，AB边∠B是两个角和它们的夹角）
问题2：做一做：请同学们自己动手，在自己的纸上画出ΔABC，使得∠A=300，AB=10cm∠A=450，并让学生练习写出画法．
教师写出过程：
画法：
⒈画线段AB=10cm；
⒉在A、B 的同旁分别以A、B为顶点，画∠MAB=30°，∠NBA=45°，AM有BN交于点C，得ΔABC。
请同学们将画得的三角形剪下来，并重叠在一起，验证是不是重合，并与老师手中的纸片叠合验证，学生讨论得出“角边角”公理．
说明：“猜想、测量、验证” 教师在活动中不仅要关心学生参与了没有，还要在活动中引导学生：
⑴必须认真观察和才能作出猜想，要每目测三角形的形状和大小，使自以的猜想建立在观察的基础上，以提高 目测的能力，发展空间观念．
⑵为了验证你的猜想，你认为需要测出各个三角形中的那些数据？并说明理由。
情景3： 课本中的“做一做”
1．画线段AB=2.6cm，再画角∠BAP=450，∠ABQ=600，AP与BQ相交于点C．
2．剪下你画的三角形，与同学画的三角形进行比较，你能得出什么结论？
在引导学生探索得出“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”这一条件后，教师可引导学生在观察课本中的图11—12，思考并回答下列的问题：
问题1：有那些条件决定了△ABC≌△FED？
问题2：△ABC和△PQR有哪些相等的条件？为什么它们不全等？通过讨论使学生了解“对应”两个字的含意，分清夹边和对边．
情景4：想一想，如图11.3-2-3，△ABC与
△MNP中，∠A=∠M，∠B=∠N，BC=NP，△ABC与 △MNP全等吗？为什么？
这一活动的目的是让学生独立思考并推出三角形全等的“角角边”条件，教学时教师要给学生思考、说理留有足够的时间和空间，要使班级内大部分同学都能有条理的思考和表达，对不同的班级和学生，教师可设计如下问题让学生解答，以减少说理上的困难：
问题1：根据“边角边”的方法，要判断△ABC与 △MNP全等，现已具备了什么条件？还缺少什么条件？
问题2：你能说出∠C=∠P的理由吗？（三角形的内角和是180°）
在本节的说理过程中，建议教师可以引导学生写出有关问题的说理过程，培养学生严密的逻辑思维能力，教师可以在黑板上板书．
例题设计
⒈教材P.114例2.关于例题教学的几点建议：
本例题既是运用三角形全等的条件“AAS”进行说理的一次应用，又是探索三角形角平分线性质的一个活动，学生对两个三角形做出全等的判断和说理估计不会困难，而探索发现角平分线的性质是一个难点，教学是我们应注意：
⑴引导学生回忆和复习“点到直线的距离”这一概念；
⑵改变点C的位置，在OP上再取一点D，作DE⊥M，DF⊥ON，探究△DOE和△DOF的关系，我们知道结果与点C的情况完全一样，可以得到△DOE和△DOF的全等；
⑶结论开放“你有什么发现”允许学生答案的开放性，在此基础上得出角的平分线的性质；
⑷让学生在解答和探索中获得成功，建立自信心，多关注学生在探索中的表现，引导学生感受研究问题的方法而不是关注结果．
【课后作业】
班级 姓名 学号
1.如图1所示,OA平分∠BAC,∠B=∠C,则图形全等三角形共有_____对,它们分别是________________________________________________________.
2.如图2所示,点C、F在BE上,∠1=∠2,BC=EF,请补充条件:___________(写出一个即可),使△ABC≌△DEF.
3.如图3所示,小明不慎将一块三角形玻璃打碎成两块, 要想换一块同样的三角形玻璃,小明将带第______块去玻璃店.
4.如图12.3-2-3，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 （ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
5．填空
如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件______________=_______________，就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“AAS”，说明△AOB≌△DOC。（若把“AO=DO”去掉，答案又会有怎样的变化呢？）
6．分别找出各题中的全等三角形，并说明理由。
7.如图，一艘轮船沿AC方向航行，已知轮船在A点测得航线两侧的灯塔与航线的夹角相等，当轮船到达B点时测得这两个灯塔与航线的夹角仍然相等，这时轮船与两个灯塔的距离是否相等，为什么？
8.如图，等边△AEB和等边△BDC在线段AC的同测（AB≠BC），连结AD、EC试说明△ABD≌△EBC．
图11.3-2-1
图11.3-2-2
图11.3-2-3
图3
图2
图1
E
D
A
C
B
图4
图5
图6
图7
N
D
E
A
B
C
图8课 题 第11章 图形的全等 课时分配 本课（章节）需5 课时本 节 课 为 第 3 课时为 本 学期总第 课时
11．3探索三角形全等的条件（3）
教学目标 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性。3．在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
重 点 掌握三角形全等的“边边边”条件。
难 点 正确运用“边边边”条件判定三角形全等，解决实际问题。
教学方法 讲练结合、探索交流 课型 新授课 教具 投影仪
教 师 活 动 学 生 活 动
做一做：书142页“做一做”新课讲解：三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。从上面的结论可以知道，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了。（展示三根木条钉成的三角形教具）三角形的这个性质叫做三角形的稳定性（再展示四个木条钉成的四边形教具）它不具有稳定性。在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子。（请学生看书143页的两幅图，并稍做解释）练习：第144页第1、2、3题练习：第146页第1题例1 如图，点A、C、D、F在同一条直线上，AB=FE，BC=ED，AD=FC。∠B与∠E相等吗？为什么？练习：第146页第2、3题小结：到本节课为止，我们一共学习了四种判定两个三角形全等的方法，“边边边”，“角边角”，“角角边”，“边角边”。同学们既要知道每一个方法的内容，又要学会用这些方法去判定两个三角形全等，解决实际问题。教学素材：A组题：1．如图，B点是线段EF的中点，BA=BC，AE=CF。△ABE和△CBF全等吗？说说你的理由。如图5-5-4，AB=DF，AC=DE，BE=CF。你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由。B组题：你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图的过程，并进行了如下的思考： OC=OC,OD=OD,CD=CD △OCD≌△OCD ∠DOC=∠DOC 你能说明每一步的理由吗？ 由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充．学生自主探索完成书145页“角的平分线的画法。（教师引导。）学生板演
作业 第151页第8、9、10题
板 书 设 计
复习 例1 板演…… …… ………… …… ………… 例2 ………… …… ………… …… ……
教 学 后 记
