3.5确定二次函数的表达式 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.5确定二次函数的表达式 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-26 15:00:41 | ||
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文档简介
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第三章
二次函数
5
确定二次函数的表达式
知识能力全练
知识点一
设一般式确定二次函数的表达式
1.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不煳”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t（单位:分钟）近似满足的函数关系为p＝at2＋bt＋c（a≠0，a，b，c是常数），如下图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（
）
A.3.50分钟
B.4.05分钟
C.3.75分钟
D.4.25分钟
2.2022年冬季奥运会将在北京举行，为迎接比赛，某滑雪运动员从山坡滑下，测得滑行距离s（单位:m）与滑行时间t（单位:s）之间的关系可以近似地用二次函数来表示，现测得一组数据，如下表所示，则二次函数的表达式为_________________.
滑行时间t/s
0
1
2
3
…
滑行距离s/m
0
5
14
27
…
3.已知一条抛物线过（-2，6），（2，-4），（3，1）三点，求这条抛物线的表达式.
4.已知某抛物线与抛物线y＝-3x2＋2x-5的形状和开口方向均相同，且过点A（1，2），B（4，5）.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标.
5.如图所示，已知抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＜0）与x轴的交点为A（-3，0）和B，与y轴的交点为C，若∠ACO＝∠CBO，试求抛物线的表达式.
知识点二
设顶点式确定二次函数的表达式
6.已知图象的顶点坐标为（-2，1），且经过原点的二次函数的表达式是（
）
A.y＝（x-2）2＋1
B.y＝-（x＋2）2＋1
C.y＝（x＋2）2＋1
D.y＝（x-2）2＋1
7.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝-1，则这个二次函数的表达式为（
）
A.y＝-x2＋2x＋3
B.y＝x2＋2x＋3
C.y＝-x2＋2x-3
D.y＝-x2-2x＋3
8.如图所示，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为12
m，宽为5
m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8
m，过AA1的中点O建立如图所示的直角坐标系，则该抛物线的函数表达式为_____________.
9.如图所示，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为___________米.
10.在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部
分（如图所示，建立直角坐标系），抛物线顶点为点B.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D,CD＝2.6m，求OD的长.
知识点三
设交点式确定二次函数的表达式
11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴，y轴分别相交于A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，则该抛物线的解析式是__________________.
12.已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点，求抛物线的表达式.
13.如图所示，在平面直角坐标系中抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（3，0），点B（-1，0），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，3）作直线MN∥x轴，点P在直线MN上且S△PAC＝S△DBC，求点P的坐标.
巩固提高全练
14.如图①，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图②所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m，则抛物线的解析式为________________.
15.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx-2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标.
16.如图所示，直线y＝x＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋5（a≠0）相交于A（1.2）和B（4，m）两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
17.已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点（1，-2），（-2，13）.
（1）求a，b的值；
（2）若（5，y1）.（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12-y1，求m的值.
18.如图所示，开口向下的抛物线与x轴交于点A（-1.0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点.
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值.
19.如图①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线的绳子.
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图②），使左边抛物线F1的最低点距MN
1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为.设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面的距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围.
20.如图所示，抛物线y＝ax2-3ax-4a经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx＋1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F.
（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.C
2.
3.解析
设抛物线的表达式为y＝ax2＋b＋c（a≠0），将（-2，6），（2，-4），（3，1）分别代入，得，解得，
所以这条抛物线的表达式为.
4.解析
（1）∵某抛物线与抛物线y＝-3x2＋2x-5的形状和开口方向均相同，
∴设此抛物线的表达式为y＝-3x2＋bx＋c，∵该抛物线过点A（1，2），B（4，5），
∴，解得，∴此抛物线的表达式y＝-3x2+16x-11.
（2）.
∴此抛物线的顶点坐标为.
5.解析
∵抛物线y＝ax2＋2ax＋c的对称轴为直线x＝＝-1，抛物线与x轴的交点为A（-3，0）和B，∴点B的坐标为（1，0）.
∵∠ACO＝∠CBO，∴tan∠ACO＝tan∠CBO，即，即，OC＝.
将A（-3，0），C（0，3）代入y＝ax2＋2ax＋c，得，解得.
∴抛物线的表达式为.
6.B
7.D
8.
9.
0.2
10.解析
（1）设y＝a（x-0.4）2＋3.32（a≠0），
把x＝0，y＝3代入，得3＝a（0-0.4）2＋3.32.解得a＝-2.
∴抛物线的函数表达式为y＝-2（x-0.4）2＋3.32.
（2）把y＝2.6代入y＝-2（x-0.4）2＋3.32，得2.6＝-2（x-0.4）2＋3.32.
解得x1＝-0.2（舍去），x2＝1.∴0D的长为1
m.
y＝-x2＋2x＋3
12.解析
因为抛物线经过点A（5，0）和原，所以设抛物线的表达式为y＝ax（x-5）（a≠0）将B（6，6）代人，得-6＝6a（6-5），解得a＝-1.
所以抛物线的表达式为y＝-x2＋5x.
13.解析
（1）解法一:抛物线y＝x2＋bx＋c点A（3，0），点B（-1，0），
∴y＝（x-3）（x＋1）＝x2-2x-3.
解法二:将点A（3，0），点B（-1，0）代入y＝x2＋bx＋c，
得，解得.∴y＝x2-2x-3.
（2）易知点C的坐标为（0，-3），∴S△DBC＝×6×1＝3，∴S△PAC＝3.
设P（x，3），直线CP与x轴的交点为Q，则S△PAC＝×6×AQ，∴AQ＝1，
∴点Q的坐标为（2，0）或（4，0），∴直线CQ的表达式为y＝x-3或y＝x-3，
当y＝3时，x＝4或x＝8，∴点P的坐标为（4，3）或（8，3）.
14.
15.解析
（1）把x＝0代入y＝ax2＋bx-2，得y＝-2，∴点C的坐标为（0，-2）.
∵OA＝20C＝80B，∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为.
设抛物线的表达式为y＝a（x＋4）（x-），
将点C（O，-2）代入，得-2＝-2a.解得a＝1.
故抛物线的表达式为y＝（x＋4）（x-）＝x2＋x-2.
（2）抛物线的对称轴为直线x＝-.
当PC∥AB时，点P，C的纵坐标相同，点P的横坐标为-×2＝-.
∴点P的坐标为（-，-2）.
16.解析
（1）把A（1，2）代入y＝x＋n，得1＋n＝2.解得n＝1.
∴一次函数的解析式为y＝x＋1.把B（4，m）代入y＝x＋1，得m＝4＋1＝5.
∴B的坐标为（4，5）.把A（1，2），B（4，5）代入y＝ax2＋bx＋5，
得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2-4x＋5.
（2）存在设P的坐标为（t，t＋1）（1＜t＜4）.
∵PD⊥x轴，∴C的坐标为（t，t2-4t＋5）.
∴PC＝t＋1-（t2-4t＋5）＝-t2+5t-4＝.
∴当t＝时，PC的长有最大值，最大值为.
17.解析
（1）把点（1，-2），（-2，13）入y＝ax2＋bx＋1，
得，解得.
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2-4x＋1，把（5，y1）代入y＝x2-4x＋1,得y1＝6.
∴y2＝12-y1＝6.∵y1＝y2，抛物线的对称轴为直线x＝＝2.∴m＝2×2-5＝-1.
18.解析
（1）∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x-2），
将C（0，4）代入，得4＝-2a.解得a＝-2.
∴该抛物线的解析式为y＝-2（x＋1）（x-2）＝-2x2＋2x＋4.
（2）如图，连接OP，设点P的坐标为（m，-2m2＋2m＋4）（0＜m＜2），
∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），∴OA＝1，OC＝4，0B＝2.
∴S四边形CABP＝S△OAC＋S△OCP＋S△OPB
＝×1×4＋×4m＋×2×（-2m2＋2m＋4）＝-2m2＋4m＋6＝-2（m-1）2＋8.
∴当m＝1时，S的最大值为8.
19.解析
（1）∵a＝＞0，∴抛物线的顶点为最低点，
∴，∴绳子最低点离地面的距离为米.
（2）由（1）可知，BD＝8，令x＝0，得y＝3，∴A（0，3），C（8，3）.
由题意得，抛物线F1的顶点坐标为（2，1.8），设F1的解析式为y＝a1（x-2）2＋1.8（a1≠0），将（0，3）代入，得4a1＋1.8＝3解得a1＝0.3，
∴抛物线F1的解析式为y＝0.3（x-2）2＋1.8.
当x＝3时，y＝0.3×1＋1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米.
（3）∵MN＝CD＝3，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在线段ND的垂直平分线上，∴抛物线F2的顶点坐标为（m＋4，k）.∴抛物线F2的解析式为.
把C（8，3）代入，得，∴，∴.
∴k是关于m的二次函数.又∵m＜8，∴k随m的增大而增大.
当k＝2时，（m-8）2＋3＝2，解得m1＝4，m2＝12（不符合题意，舍去）.
当k＝2.5时，（m-8）2＋3＝2.5，解得m3＝8-2，m4＝8＋2（不符合题意，舍去）.∴m的取值范围是4≤m≤8-2.
20.解析
（1）把C（0，2）代入y＝ax2-3ax-4a，得-4a＝2解得a＝-.
则抛物线的解析式为.
由于＝-（x＋1）（x-4）.
故A的坐标为（-1，0），B的坐标为（4，0）.
（2）存在理由如下:
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，如图.
∴CD∥EG.∴△CDF∽△GEF，∴.
∵直线y＝kx＋1（k＞0）与y轴交于点D，∴D（0，1），
∴CD＝2-1＝1.∴.
设BC所在直线的解析式为y＝mx＋n（m≠0）.
将B（4，0），C（0，2）代入，得，解得.
∴直线BC的解析式是y＝-x＋2.
设E（t，），则G（t，-t＋2），其中0＜t＜4.
∴EG＝（）-（-t＋2）＝-（t-2）2＋2.
∴.
∵，∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）.
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精品试卷·第
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第三章
二次函数
5
确定二次函数的表达式
知识能力全练
知识点一
设一般式确定二次函数的表达式
1.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不煳”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t（单位:分钟）近似满足的函数关系为p＝at2＋bt＋c（a≠0，a，b，c是常数），如下图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（
）
A.3.50分钟
B.4.05分钟
C.3.75分钟
D.4.25分钟
2.2022年冬季奥运会将在北京举行，为迎接比赛，某滑雪运动员从山坡滑下，测得滑行距离s（单位:m）与滑行时间t（单位:s）之间的关系可以近似地用二次函数来表示，现测得一组数据，如下表所示，则二次函数的表达式为_________________.
滑行时间t/s
0
1
2
3
…
滑行距离s/m
0
5
14
27
…
3.已知一条抛物线过（-2，6），（2，-4），（3，1）三点，求这条抛物线的表达式.
4.已知某抛物线与抛物线y＝-3x2＋2x-5的形状和开口方向均相同，且过点A（1，2），B（4，5）.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标.
5.如图所示，已知抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＜0）与x轴的交点为A（-3，0）和B，与y轴的交点为C，若∠ACO＝∠CBO，试求抛物线的表达式.
知识点二
设顶点式确定二次函数的表达式
6.已知图象的顶点坐标为（-2，1），且经过原点的二次函数的表达式是（
）
A.y＝（x-2）2＋1
B.y＝-（x＋2）2＋1
C.y＝（x＋2）2＋1
D.y＝（x-2）2＋1
7.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝-1，则这个二次函数的表达式为（
）
A.y＝-x2＋2x＋3
B.y＝x2＋2x＋3
C.y＝-x2＋2x-3
D.y＝-x2-2x＋3
8.如图所示，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长为12
m，宽为5
m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8
m，过AA1的中点O建立如图所示的直角坐标系，则该抛物线的函数表达式为_____________.
9.如图所示，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为___________米.
10.在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部
分（如图所示，建立直角坐标系），抛物线顶点为点B.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D,CD＝2.6m，求OD的长.
知识点三
设交点式确定二次函数的表达式
11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴，y轴分别相交于A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，则该抛物线的解析式是__________________.
12.已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点，求抛物线的表达式.
13.如图所示，在平面直角坐标系中抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（3，0），点B（-1，0），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，3）作直线MN∥x轴，点P在直线MN上且S△PAC＝S△DBC，求点P的坐标.
巩固提高全练
14.如图①，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图②所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m，则抛物线的解析式为________________.
15.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx-2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标.
16.如图所示，直线y＝x＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋5（a≠0）相交于A（1.2）和B（4，m）两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
17.已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点（1，-2），（-2，13）.
（1）求a，b的值；
（2）若（5，y1）.（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12-y1，求m的值.
18.如图所示，开口向下的抛物线与x轴交于点A（-1.0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点.
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值.
19.如图①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线的绳子.
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图②），使左边抛物线F1的最低点距MN
1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为.设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面的距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围.
20.如图所示，抛物线y＝ax2-3ax-4a经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx＋1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F.
（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.C
2.
3.解析
设抛物线的表达式为y＝ax2＋b＋c（a≠0），将（-2，6），（2，-4），（3，1）分别代入，得，解得，
所以这条抛物线的表达式为.
4.解析
（1）∵某抛物线与抛物线y＝-3x2＋2x-5的形状和开口方向均相同，
∴设此抛物线的表达式为y＝-3x2＋bx＋c，∵该抛物线过点A（1，2），B（4，5），
∴，解得，∴此抛物线的表达式y＝-3x2+16x-11.
（2）.
∴此抛物线的顶点坐标为.
5.解析
∵抛物线y＝ax2＋2ax＋c的对称轴为直线x＝＝-1，抛物线与x轴的交点为A（-3，0）和B，∴点B的坐标为（1，0）.
∵∠ACO＝∠CBO，∴tan∠ACO＝tan∠CBO，即，即，OC＝.
将A（-3，0），C（0，3）代入y＝ax2＋2ax＋c，得，解得.
∴抛物线的表达式为.
6.B
7.D
8.
9.
0.2
10.解析
（1）设y＝a（x-0.4）2＋3.32（a≠0），
把x＝0，y＝3代入，得3＝a（0-0.4）2＋3.32.解得a＝-2.
∴抛物线的函数表达式为y＝-2（x-0.4）2＋3.32.
（2）把y＝2.6代入y＝-2（x-0.4）2＋3.32，得2.6＝-2（x-0.4）2＋3.32.
解得x1＝-0.2（舍去），x2＝1.∴0D的长为1
m.
y＝-x2＋2x＋3
12.解析
因为抛物线经过点A（5，0）和原，所以设抛物线的表达式为y＝ax（x-5）（a≠0）将B（6，6）代人，得-6＝6a（6-5），解得a＝-1.
所以抛物线的表达式为y＝-x2＋5x.
13.解析
（1）解法一:抛物线y＝x2＋bx＋c点A（3，0），点B（-1，0），
∴y＝（x-3）（x＋1）＝x2-2x-3.
解法二:将点A（3，0），点B（-1，0）代入y＝x2＋bx＋c，
得，解得.∴y＝x2-2x-3.
（2）易知点C的坐标为（0，-3），∴S△DBC＝×6×1＝3，∴S△PAC＝3.
设P（x，3），直线CP与x轴的交点为Q，则S△PAC＝×6×AQ，∴AQ＝1，
∴点Q的坐标为（2，0）或（4，0），∴直线CQ的表达式为y＝x-3或y＝x-3，
当y＝3时，x＝4或x＝8，∴点P的坐标为（4，3）或（8，3）.
14.
15.解析
（1）把x＝0代入y＝ax2＋bx-2，得y＝-2，∴点C的坐标为（0，-2）.
∵OA＝20C＝80B，∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为.
设抛物线的表达式为y＝a（x＋4）（x-），
将点C（O，-2）代入，得-2＝-2a.解得a＝1.
故抛物线的表达式为y＝（x＋4）（x-）＝x2＋x-2.
（2）抛物线的对称轴为直线x＝-.
当PC∥AB时，点P，C的纵坐标相同，点P的横坐标为-×2＝-.
∴点P的坐标为（-，-2）.
16.解析
（1）把A（1，2）代入y＝x＋n，得1＋n＝2.解得n＝1.
∴一次函数的解析式为y＝x＋1.把B（4，m）代入y＝x＋1，得m＝4＋1＝5.
∴B的坐标为（4，5）.把A（1，2），B（4，5）代入y＝ax2＋bx＋5，
得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2-4x＋5.
（2）存在设P的坐标为（t，t＋1）（1＜t＜4）.
∵PD⊥x轴，∴C的坐标为（t，t2-4t＋5）.
∴PC＝t＋1-（t2-4t＋5）＝-t2+5t-4＝.
∴当t＝时，PC的长有最大值，最大值为.
17.解析
（1）把点（1，-2），（-2，13）入y＝ax2＋bx＋1，
得，解得.
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2-4x＋1，把（5，y1）代入y＝x2-4x＋1,得y1＝6.
∴y2＝12-y1＝6.∵y1＝y2，抛物线的对称轴为直线x＝＝2.∴m＝2×2-5＝-1.
18.解析
（1）∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x-2），
将C（0，4）代入，得4＝-2a.解得a＝-2.
∴该抛物线的解析式为y＝-2（x＋1）（x-2）＝-2x2＋2x＋4.
（2）如图，连接OP，设点P的坐标为（m，-2m2＋2m＋4）（0＜m＜2），
∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），∴OA＝1，OC＝4，0B＝2.
∴S四边形CABP＝S△OAC＋S△OCP＋S△OPB
＝×1×4＋×4m＋×2×（-2m2＋2m＋4）＝-2m2＋4m＋6＝-2（m-1）2＋8.
∴当m＝1时，S的最大值为8.
19.解析
（1）∵a＝＞0，∴抛物线的顶点为最低点，
∴，∴绳子最低点离地面的距离为米.
（2）由（1）可知，BD＝8，令x＝0，得y＝3，∴A（0，3），C（8，3）.
由题意得，抛物线F1的顶点坐标为（2，1.8），设F1的解析式为y＝a1（x-2）2＋1.8（a1≠0），将（0，3）代入，得4a1＋1.8＝3解得a1＝0.3，
∴抛物线F1的解析式为y＝0.3（x-2）2＋1.8.
当x＝3时，y＝0.3×1＋1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米.
（3）∵MN＝CD＝3，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在线段ND的垂直平分线上，∴抛物线F2的顶点坐标为（m＋4，k）.∴抛物线F2的解析式为.
把C（8，3）代入，得，∴，∴.
∴k是关于m的二次函数.又∵m＜8，∴k随m的增大而增大.
当k＝2时，（m-8）2＋3＝2，解得m1＝4，m2＝12（不符合题意，舍去）.
当k＝2.5时，（m-8）2＋3＝2.5，解得m3＝8-2，m4＝8＋2（不符合题意，舍去）.∴m的取值范围是4≤m≤8-2.
20.解析
（1）把C（0，2）代入y＝ax2-3ax-4a，得-4a＝2解得a＝-.
则抛物线的解析式为.
由于＝-（x＋1）（x-4）.
故A的坐标为（-1，0），B的坐标为（4，0）.
（2）存在理由如下:
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，如图.
∴CD∥EG.∴△CDF∽△GEF，∴.
∵直线y＝kx＋1（k＞0）与y轴交于点D，∴D（0，1），
∴CD＝2-1＝1.∴.
设BC所在直线的解析式为y＝mx＋n（m≠0）.
将B（4，0），C（0，2）代入，得，解得.
∴直线BC的解析式是y＝-x＋2.
设E（t，），则G（t，-t＋2），其中0＜t＜4.
∴EG＝（）-（-t＋2）＝-（t-2）2＋2.
∴.
∵，∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）.
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精品试卷·第
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