3.2.2双曲线的简单几何性质（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章
圆锥曲线的方程
3.2
双曲线
3.2.2
双曲线的简单几何性质
教学设计
一、教学目标
1.
掌握双曲线的简单几何性质.
2.
能够运用双曲线的几何性质解决双曲线的综合问题.
二、教学重难点
1.
教学重点
双曲线的简单几何性质.
2.
教学难点
双曲线的渐近线.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：
1.
双曲线的定义：一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.
双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程是，焦点分别是，，且.
（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程是，焦点分别是，，且.
思考：类比椭圆的几何性质，来研究双曲线的几何性质.
（二）探索新知
1.
范围
由方程可得，
于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即.
所以，或；.
这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域.
所以双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是.
2.
对称性
双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3.
顶点
在方程中，令，得，因此双曲线和x轴有两个交点.因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但也把两点画在y轴上（如图）.
线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
4.
渐近线
一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
在双曲线方程中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.
这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
5.
离心率
双曲线的焦距和实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为，所以双曲线的离心率.
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
例1
求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把双曲线的方程化为标准方程.
由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是；离心率；渐近线方程为.
例2
动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，由此得.
将上式两边平方，并化简，得，即.
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.
例3
如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求.
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为.
因为直线AB的倾斜角是，且经过右焦点，所以直线AB的方程为.①
由消去y，得.
解方程，得.
将的值分别代入①，得.
于是，A，B两点的坐标分别为.
所以.
（三）课堂练习
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于(
)
A.
B.
C.4
D.
答案：A
解析：双曲线方程化为标准形式：，则有，.由题设知，解得.
2.等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：等轴双曲线的一个焦点为，，即双曲线的标准方程为.
3.已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：设，根据对称性，知，
所以.因为在双曲线上，所以，两式相减，得，所以，所以.
4.已知双曲线的渐近线方程为，且焦距是，则双曲线的方程为______________.
答案：或
解析：由题意，设双曲线方程为.
若，则.由题设知，所以，故所求双曲线的方程为.
若，则.由，得，故所求双曲线的方程为.
综上，所求双曲线的方程为或.
5.分别求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和一个顶点；
（2）焦点在轴上，渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为1；
（3）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线.
答案：（1）对圆的方程，令，得，
解得，即圆与轴的两个交点分别为.
令，得，此方程无解，即圆与轴没有交点.
因此点为双曲线的右顶点，点为双曲线的右焦点.
设双曲线的标准方程为，
则，所以，
从而双曲线的标准方程为.
（2）由焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，所以.
由顶点到渐近线的距离为1，得，
所以.
从而双曲线的标准方程为.
（3）设所求双曲线的标准方程为.
由双曲线的一个焦点为，可知，且，得，
则双曲线的标准方程为.
（四）小结作业
小结：双曲线的简单几何性质.
作业：
四、板书设计
3.2.2
双曲线的简单几何性质
双曲线的简单几何性质：
1.
范围：双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是.
2.
对称性：关于x轴、y轴和原点都是对称的.坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3.
顶点：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
4.
渐近线：.
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
5.
离心率：.