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24.1.2
垂直于弦的直径
教学设计
课题
24.1.2
垂直于弦的直径
单元
第24章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
重点
1．理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
难点
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.圆的定义(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．2.弦的定义连接圆上任意两点的线段叫做弦.弧的定义圆上任意两点间的部分叫做弧.
学生思考并回答
回顾圆的相关概念
讲授新课
环节一：探究圆的轴对称性剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？猜想：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.求证：圆是轴对称图形.
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.证明：如图，CD是⊙O的任意一条直径，AA
′是弦，使AA′⊥CD，垂足为M连接OA，OA′,则OA=OA′.∵AA′⊥CD，∴CD是AA′的垂直平分线.∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，即⊙O关于直线CD对称.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.
环节二：探究垂径定理及推论如图，
把圆沿着直径CD折叠时，除了点A与点A'重合之外，还有哪些相等的线段和弧？AM=A'M，AD=A'D，AC=A'C直径CD平分弦AA'，并且平分AA'
，A'CA垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的几个基本图形：如图，
⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为M.
仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？已知：CD是直径，CD⊥AB
结论：AM=A'M，AD=A'D，AC=A'C垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.已知：AB不是直径，CD过圆心
，AM=BM结论：CD⊥AB，AD=BD，AC=BC思考：为什么平分的弦不是直径？如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？不会根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（非直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任意两个条件，都可以推出其他三个结论.(知二推三)环节三：合作探究例2
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.
求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).解：过点O作OC⊥AB，连接OA.
如图，设赵州桥主桥拱的半径为R
m.由题意，可知AB=37m，CD=7.23m，则AD=18.5m，OD=R-7.23在Rt△OAD中，由勾股定理得R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3
m.垂径定理中辅助线的添加方法：在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.弓形中的数量关系：弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：d+h=r
环节四：课堂练习如图，已知⊙O的半径OB=5，OP⊥AB，垂足为P，且OP=3，则AB=
8
.
2.如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是(
A
)A.2
B.3
C.4
D.53.
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定正确的是( D )
A.CM=DM
B.BC=BD
C.∠ACD=∠ADC
D.OM=MB4.已知圆O的半径为10
cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16
cm，CD=12
cm，则弦AB和CD之间的距离是多少？分析：弦AB、CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧.
分类讨论
解：分两种情况进行讨论：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OC，OA.∵
AB//CD，∴OE⊥AB.∵AB=16cm，CD=12cm,∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，由勾股定理，得EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2
cm.②当弦AB和CD在圆心异侧时，过点O作OE⊥CD，交CD于点E，延长EO交AB于点F，连接OC、OA，如图2所示∵
AB//CD，∴
OF⊥AB∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm.∵OA=OC=10cm，由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm，
∴EF=OF+OE=14cm.综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm.
学生动手操作，体会圆是轴对称图形
.通过观察分析发现结论及推论，并学会运用知识解决问题.运用垂径定理及其推论解决实际问题，总结辅助线的添加方法.学生练习，师生互评订正.
动手操作——猜想——验证.初步理解问题
(?http:?/??/?zk.?/?"
\o
"欢迎登陆全品中考网?)并能用所学的知识解决问题
(?http:?/??/?zk.?/?"
\o
"欢迎登陆全品中考网?).培养学生运用数学知识解决生活中实际问题的能力.通过各种变式练习，让学生理解和掌握垂径定理.
课堂小结
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
24.1.2
垂直于弦的直径圆是轴对称图形：
垂径定理及推论：例2
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
A
B
C
D
O
h
r
d
A
B
C
d
O
r
A
B
C
D
O
h
r
d
A
B
C
D
O
h
r
d
P
O
A
B
C
D
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
内容
①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
推论
连半径，作弦心距
辅助线
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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人教版
九年级上册
24.1.2
垂直于弦的直径
新知导入
学习目标：
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
1.圆的定义
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
2.弦的定义
3.弧的定义
圆上任意两点间的部分叫做弧.
新知导入
剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
O
猜想：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
新知讲解
求证：圆是轴对称图形.
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.
新知讲解
证明：如图，CD是⊙O的任意一条直径，AA
′是弦，使AA′⊥CD，垂足为M
M
·
O
A
A'
C
D
连接OA，OA′,则OA=OA′.
∵AA′⊥CD，
∴CD是AA′的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，即⊙O关于直线CD对称.
新知讲解
圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
注意：不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.
新知讲解
如图，
把圆沿着直径CD折叠时，除了点A与点A'
重合之外，还有哪些相等的线段和弧？
·
O
A
A'
C
D
M
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧.
AM=A'M
(
(
AD=A'D
(
(
AC=A'C
直径CD平分弦AA'，并且平分
.
(
(
AA'
，A'CA
新知讲解
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
M
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
新知讲解
如图，
⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为M.
仔细观察，图形中有哪些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
M
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
已知
结论
CD是直径
CD⊥AB
AM=BM
(
(
AD=BD
(
(
AC=BC
新知讲解
已知
结论
CD过圆心
AB不是直径
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
·
O
A
B
C
D
CD⊥AB
(
(
AD=BD
(
(
AC=BC
AM=BM
M
为什么平分的弦不是直径？
新知讲解
如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？
·
O
A
B
C
D
·
O
A
B
C
D
不会
新知讲解
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
过圆心
1
垂直于弦
2
平分弦（非直径）
3
平分弦所对的优弧
4
平分弦所对的劣弧
5
上述五个条件中的任意两个条件，都可以推出其他三个结论.
(知二推三)
新知讲解
例2
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m.
求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
合作探究
R2=18.52+（R-7.23）2.
由题意，可知AB=37m，CD=7.23m，
解：过点O作OC⊥AB，连接OA.
如图，设赵州桥主桥拱的半径为R
m.
则AD=18.5m，OD=R-7.23
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3
m.
A
C
B
D
O
37
18.5
R
R-7.23
7.23
合作探究
在Rt△OAD中，由勾股定理得
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
垂径定理中辅助线的添加方法
A
B
C
D
O
h
r
d
弓形中的数量关系：
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
?
O
A
B
C
·
d
r
合作探究
1.如图，已知⊙O的半径OB=5，OP⊥AB，垂足为P，且OP=3，
则AB=____
.
8
P
O
A
B
C
D
课堂练习
2.如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，
AB=8，则CD的长是(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
A
·
O
A
B
C
D
课堂练习
3.
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定
正确的是( )
A.CM=DM
B.BC=BD
C.∠ACD=∠ADC
D.OM=MB
D
M
·
O
A
B
C
D
(
(
课堂练习
4.已知圆O的半径为10
cm，AB，CD是圆O的两条弦，
AB//CD，AB=16
cm，CD=12
cm，则弦AB和CD之间
的距离是多少？
课堂练习
分析：弦AB、CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧.
分类讨论
解：分两种情况进行讨论：
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，
连接OC，OA.
∵
AB//CD，∴OE⊥AB.
B
C
D
E
F
O
A
图1
课堂练习
∵OA=OC=10cm，
由勾股定理，得EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2
cm.
B
C
D
E
F
O
A
图1
课堂练习
∵AB=16cm，CD=12cm,
∴AE=8cm，CF=6cm，
②当弦AB和CD在圆心异侧时，过点O作OE⊥CD，交CD于点E，
延长EO交AB于点F，连接OC、OA，如图2所示
O
A
B
C
D
图2
E
F
∵
AB//CD，∴
OF⊥AB.
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm.
∵OA=OC=10cm，
课堂练习
O
A
B
C
D
图2
E
F
由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm，
∴EF=OF+OE=14cm.
综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm.
课堂练习
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
课堂总结
板书设计
24.1.2
垂直于弦的直径
圆是轴对称图形：
垂径定理及推论：
例2
练习
作业布置
1.必做题：教材P83
练习第
1、2
题
2.选做题：教材P90
第
9
题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
