吉林省延边州重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题 (Word版含答案)

延边州重点高中2020—2021学年度第二学期
期末考试高二年级数学试卷（理）
选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）
1.若为离散型随机变量，且，则其方差(
)．
A．
B．
C．1
D．
2.
下面几种推理过程是演绎推理的是（
）
A．某中学高二有10个班，一班有51人，二班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人
B．根据等差数列的性质，可以推测等比数列的性质
C．由，，，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数的和
D．平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
3.
若函数的图象经过点，则曲线在点处的切线的斜率（
）
A．e
B．
C．
D．
4.
在一次数学测验后，甲?乙?丙三人对成绩进行预测
甲：我的成绩比丙高.
乙：我的成绩比丙高.
丙：甲的成绩比我和乙的都高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（
）
A．甲?乙?丙
B．乙?丙?甲
C．丙?乙?甲
D．甲?丙?乙
5.
六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（
）
A．48
B．24
C．8
D．120
6.某射手射击所得环数的分布列下表：已知的数学期望，则y的值为（
）
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
A．0.2
B．0.5
C．0.4
D．0.3
7.2019年1月28日至2月3日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X（单位：万）近似服从正态分布，则估计在此7天中，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
8.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程，
x（次数/分钟）
20
30
40
50
60
y（℃）
25
27.5
29
32.5
36
则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为（
）
A．33℃
B．34℃
C．35℃
D．35.5℃
9.若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（
）
A．9
B．18
C．19
D．20
10.
设，则a，b，c的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
11.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．若曲线与在处的曲率分别为，
（
）
A．
B．
C．4
D．2
12.设函数是奇函数（）的导函数，当时，，且，则使得成立的的取值范围
（
）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）
13．已知复数为虚数单位），表示的共轭复数，则________.
14.
已知，则___________.
15.
从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的序号是_______
①．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
②．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
③．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
④．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
16.
已知函数，若存在使得成立，则实数的值为_______
三、解答题（共6小题，17、18题10分，
19、20、21题各12分，22题附加题20分，请写出必要的解答过程）
17.
已知二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3
（1）求n的值；
（2）求展开式中项的系数
18.
已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数、的值；
（2）令，函数的极大值与极小值之差等于，求实数的值.
19.
年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的名学生(男生与女生的人数之比为)对线上课程进行评价打分，若评分不低于分视为满意.其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于分的频率为.
求的值，并估计名学生对线上课程评分的中位数;
（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”（计算结果保留三位小数）.
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
附：随机变量
20.阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：
规格
中蟹
大蟹
特大蟹
重量（单位：克）
数量（单位：只）
3
2
15
20
7
3
（1）试用组中值来估计该批大闸蟹的有多少只？（所得结果四舍五入保留整数）
（2）某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间上的大闸蟹数量为，求的分布列和数学期望．
21.
已知函数，.
（1）设，求的极值；
（2）若函数有两个极值点，，求的最小值.
22（附加题）.
已知函数，.
（1）当时，求的值域；
（2）令，当时，恒成立，求的取值范围.
答案BDDBA
CABCC
BA
4
30
②③
17.【答案】（1）；（2）180；（3）1.
试题解析：（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3，可得，
化简可得，求得．
(2)由于二项展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为．
18（1）因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，即，解得，，.
（2）因为，所以，
，
当时，，函数无极值，不满足题意，；
当时，函数在、上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，极小值为，
因为函数的极大值与极小值之差等于，所以，解得；
当时，函数在、上单调递增，在上单调递减，
则函数的极大值为，极小值为，
因为函数的极大值与极小值之差等于，所以，解得，
综上所述，实数的值为.
19.
(1）由已知得，解得，
又，解得，评分的中位数为81.25
(2）由题意可得，列联表如下表:
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
因此能有的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”
20.（1）50只大闸蟹的平均重量为：
，
所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为．
（2）的可能取值为0，1，2，3，概率分别为：
；；
；
0
1
2
3
所以．
21.（1），，
令，解得或，在上増，在减，在増
所以在处取到极大值,在处取到极小值
（2）函数，，，
因为，是函数的极值点，所以是方程的两不等正根，
则有，，，所以，，
即，，且有，，
令，则，，
，当上单调递减，
当上单调递增.所以.所以的最小值为
22.
（1）；（2）.
（1）∵，由得，∴在区间上单调递减、在区间上单调递增.∴函数的最小值为：∴；∴函数的值域是；
4分
（2）当时，，（）
令，则令，则，
∵，，在上单调递增.∴..
于是在上单调递增，且，（）又由（1）知当，时.
的值域是，即：，所以：恒成立.
∴.所以；.即：，所以：