3.1.2 函数的表示法 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
人教A版（2019）
必修第一册
3.1.2　函数的表示法
学习本节内容后能从多角度理解函数的意义,能运用不同的方法应用函数知识.学
习时还应掌握以下几点:
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择适当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数,理解函数图象的作用.
2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
3.掌握求函数解析式的常见方法.
表示法
定义
解析法
用①　数学表达式????表示两个变量之间的对应
关系
列表法
列出②　表格????来表示两个变量之间的对应关
系
图象法
用③　图象????表示两个变量之间的对应关系
函数的表示法
　　已知函数y=f(x),x∈A,如果自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的④????
对应关系????,那么我们称这样的函数为分段函数.
如y=f(x)=?是分段函数.
注意:分段函数表示的是一个函数.
分段函数
1.好奇心(y)与年龄(x)的关系如图所示,其表示法为图象法.?(　√　)
?
2.大气中氰化物浓度y与到污染源的距离x的关系如下表,当x=100时,y=0.398.?(????
√　)
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
到污染源的距
离x
50
100
200
300
500
氰化物浓度y
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
3.京沪高速铁路由北京南站至上海虹桥站,全长1
318千米,设计的最高速度为380千
米/时,假设京沪高速铁路的运营速度为350千米/时,火车保持匀速行驶x?
小时后,路程为y千米,则y是x的函数,可以用y=350x?来表示,其中y=350x
?叫做该函数的解析式.?(　√　)
4.任何一个函数都可以用图象法表示.?(?????　)
提示:有些函数是不能画出图象的,如f(x)=?
5.分段函数是一个函数,且其定义域是每一段自变量取值范围的交集.?(?????　)
提示:分段函数是一个函数,定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一
段函数值取值范围的并集.
如何求函数的解析式
?
1.函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”法来求其解析式.解题步骤:
(1)设出含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0);反比例函
数解析式设为f(x)=?(k≠0);二次函数解析式可根据条件设为①一般式:f(x)=ax2+bx
+c(a≠0),②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),③交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方程组.
(3)解方程或方程组,得到待定系数的值.
(4)将所求待定系数的值代回原式并化简整理.
2.函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式.
(1)换元法:
已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t)
代入f(g(x))中,求得f(t)的解析式,再用x替换t,便可得到f(x)的解析式.
(2)配凑法:
此法是把所给函数的解析式通过配方、凑项等方法,使之变形为关于“自变量”
的函数解析式,然后以x代替“自变量”,即得所求函数解析式,这里的“自变量”
可以是多项式、分式、根式等.
(3)消元法(方程组法):
已知f(x)与f?或f(-x)的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,组成方程
组,通过解方程组求出
f(x).
(4)赋值法:
依题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的一
般规律求出函数解析式.
??
(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x)的解析式;
(2)已知f?=?+?,求f(x)的解析式;
(3)已知y=f(x)是一次函数,且[f(x)]2-3f(x)=4x2-10x+4,求f(x)的解析式.
思路点拨
(1)用换元法求解;(2)用换元法或配凑法求解;(3)用待定系数法求解.
解析????(1)设x+1=t,则x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.
(2)解法一(换元法):令t=?=?+1,则x=?(t≠1),
把x=?代入f?=?+?,得
f(t)=?+?=(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
解法二(配凑法):∵f?=?+?
=?-?
=?-?+1,
∴f(x)=x2-x+1.
又∵?=?+1≠1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
(3)设f(x)=kx+b(k≠0),
则[f(x)]2-3f(x)=(kx+b)2-3(kx+b)
=k2x2+(2kb-3k)x+b2-3b=4x2-10x+4,
所以?
解得?或?
故f(x)=-2x+4或f(x)=2x-1.
??
　　(1)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x)的解析式;
(2)设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f
(x)的解析式.
思路点拨
(1)用消元法求解;(2)用赋值法求解.
解析????(1)在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代换x,可得f(-x)-2f(x)=1-2x,
则?
消去f(-x),可得f(x)=?x-1.
(2)解法一:令x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
又f(0)=1,
∴f(x)-x(2x-x+1)=1,
即f(x)=x2+x+1.
解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),
即f(-y)=1-y(-y+1).
令-y=x,
则f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),
∴f(x)=x2+x+1.
　　根据分段函数的概念对函数f(x)=?进行探究.
问题
1.求f(f(f(-3)))的值.
提示:注意自变量的取值范围.
2.画出函数f(x)的图象.
提示:分段画出其图象.
3.求函数f(x)的值域.
提示:根据图象得值域或根据解析式直接求解.
如何理解与解决分段函数问题
4.当f(a)=4时,如何求a的值?
提示:分类讨论求出a的值.
5.当
f(x)=a有四个不同的实数根时,如何求实数a的取值范围?
提示:利用函数f(x)的图象求出a的取值范围.
?正确理解分段函数
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.
(2)处理分段函数的求值问题时,一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间,以免
因误用对应关系造成错误结果.
(3)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.
(4)分段函数的图象应分段来作,特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况.
?分段函数的求值策略
(1)已知自变量的值求函数值:先看自变量的值的范围,再代入相应解析式求值.
(2)已知函数值求自变量的值:注意分类讨论思想的运用,注意自变量的取值范围.
??
　　已知a≠0,且函数f(x)=?若f(1-a)=f(1+a),求a的值.
思路点拨
分a>0和a<0两种情况建立方程求解.
解析????当a>0时,1-a<1,1+a>1,
则f(1-a)=2(1-a)+a,
f(1+a)=-(1+a)-2a,
∴2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=-?(不合题意,舍去);
当a<0时,1-a>1,1+a<1,
则f(1-a)=-(1-a)-2a,
f(1+a)=2(1+a)+a,
∴-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-?.
综上,a=-?.
??
??
　　已知f(x)=?若f(x)≥?,求x的取值范围.
思路点拨
自变量未知时,对自变量进行分类讨论,选择相应的解析式进而解方程或不等式.
解析????当-1≤x≤1时,
f(x)=x≥?,
即?≤x≤1;
当x<-1或x>1时,
f(x)=1-x≥?,
即x<-1.
故x的取值范围是(-∞,-1)∪?.
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