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第4章
数列
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知数列中，是这个数列的（
）
A．第10项
B．第11项
C．第12项
D．第13项
2．已知等比数列的前和为，，，则（
）
A．48
B．50
C．60
D．62
3．已知为等差数列，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则（
）
A．29
B．31
C．33
D．35
5．已知数列中，，用数学归纳法证明能被4整除，假设能被4整除，然后应该证明（
）
A．能被4整除
B．能被4整除
C．能被4整除
D．能被4整除
6．九章算术中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则该女子前六日共织（
）尺布.
A．18
B．21
C．23
D．25
7．已知数列是等差数列，公差，前项和为，则的值（
）
A．等于4
B．等于2
C．等于
D．不确定，与有关
8．若数列满足，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．设等比数列的前项和为，公比为，已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知数列的通项公式为则（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（
）
A．在数列中，最大
B．在数列中，或最大
C．
D．当时，
12．下面是按照一定规律画出的一列“树形图”．
其中，第2个图比第I个图多2个“树枝”，第3个图比第2个图多4个“树枝”，第4个图比第3个图多8个“树枝"．假设第个图的树枝数为，数列的前项和，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数列1，，，，…的通项公式________．
14．在等差数列{an}中，a3，a8是方程x2-3x-5=0的两个根，则a1+a10=________.
15．已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和＝________.
16．已知数列的前项和是，满足，，则___________，___________
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列中，，
（1）求的值；
（2）猜想的通项公式，并给予证明.
18．（12分）已知数列，若_________________．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．
①；
②，，；
③，点，在斜率是2的直线上．
19．（12分）数列满足：，．
（1）记，求证：数列为等比数列；
（2）记为数列的前项和，求．
20．（12分）已知数列的前项和为，，且.
（1）求及；
（2）已知是，的等比中项，数列的前项和，求证：.
21．（12分）已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
22．（12分）已知数列中，是数列的前项的和，.
（1）写出；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）数列中，，数列的前项的和
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第4章
数列
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知数列中，是这个数列的（
）
A．第10项
B．第11项
C．第12项
D．第13项
【答案】A
【解析】由题意，数列通项公式为，
令，解得，即是这个数列的第10项.故选A.
2．已知等比数列的前和为，，，则（
）
A．48
B．50
C．60
D．62
【答案】B
【解析】因为为等比数列，前项和为，
所以，，成等比数列，即，
又，，则，解得．故选B．
3．已知为等差数列，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为为等差数列，所以，可得，
所以，故选B.
4．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则（
）
A．29
B．31
C．33
D．35
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q，依题意有：，于是得，解得，，
所以.故选B
5．已知数列中，，用数学归纳法证明能被4整除，假设能被4整除，然后应该证明（
）
A．能被4整除
B．能被4整除
C．能被4整除
D．能被4整除
【答案】C
【解析】由假设能被4整除，可知这是当时的情况，
则当时，应该证明能被4整除.故选C.
6．九章算术中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则该女子前六日共织（
）尺布.
A．18
B．21
C．23
D．25
【答案】B
【解析】根据题意，该女子每日织布的量构成一个首项为公差为d的等差数列{an}，
由得
，解得
，
所以．故选B．
7．已知数列是等差数列，公差，前项和为，则的值（
）
A．等于4
B．等于2
C．等于
D．不确定，与有关
【答案】B
【解析】由数列是等差数列，得；，
所以．故选B．
8．若数列满足，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，
则，
又在
上递减，在上递增，且，
时，；
时，，
故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．设等比数列的前项和为，公比为，已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】若，则，矛盾，故，
根据题意得：，解得，.
故选BC.
10．已知数列的通项公式为则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，，，，，，，所以A错误，B正确，
，故C正确；
因为，所以，所以，故D错误；
故选BC
11．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（
）
A．在数列中，最大
B．在数列中，或最大
C．
D．当时，
【答案】AD
【解析】由，，得，
所以等差数列的公差
所以等差数列是递减的等差数列，则最大项为，故A正确，B错误，D正确；
，所以，故C错误；
故选AD．
12．下面是按照一定规律画出的一列“树形图”．
其中，第2个图比第I个图多2个“树枝”，第3个图比第2个图多4个“树枝”，第4个图比第3个图多8个“树枝"．假设第个图的树枝数为，数列的前项和，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由题意，由图（3）可得，对于A中，所以A不正确；
由图（2）比图（1）多出2个树枝，图（3）比图（2）多出4个树枝，图（4）比图（3）多出8个树枝，，由此可得，即，所以B正确；
由，可得，
则，所以，所以C正确；
由，可得，
又由，所以D不正确.
故选BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数列1，，，，…的通项公式______．
【答案】
【解析】由已知得，数列可写成，，，，故通项公式可以为.
故答案为：.
14．在等差数列{an}中，a3，a8是方程x2-3x-5=0的两个根，则a1+a10=____.
【答案】3
【解析】a3，a8是方程x2-3x-5=0的两个根，
{an}是等差数列，，
故答案为：3.
15．已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前n项和＝________.
【答案】
【解析】因函数，
条件①，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列；
条件③，，则有，而不是常数，即数列不是等比数列；
条件②，，则有，是常数，即数列是等比数列，其首项为2，公比2，
所以.
故答案为：
16．已知数列的前项和是，满足，，则______________________
【答案】
1012
【解析】由递推关系知，，，，，，，
则数列的项以3为周期变化，，
故，故答案为：；1012
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列中，，
（1）求的值；
（2）猜想的通项公式，并给予证明；
【解析】（1）因为，所以，，.
（2）由（1）可猜想，
证明：当时，，显然成立；
假设时成立，即，则，即当时，也成立，故
18．（12分）已知数列，若_________________．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．
①；
②，，；
③，点，在斜率是2的直线上．
【解析】（1）若选①，由，
所以当，，
两式相减可得：，
而在中，令可得：，符合上式，
故．
若选②，由（，）可得：数列为等差数列，
又因为，，所以，即，
所以．
若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，
即，
所以数列为等差数列且．
（2）由（1）知：，
所以
．
19．（12分）数列满足：，．
（1）记，求证：数列为等比数列；
（2）记为数列的前项和，求．
【解析】（1）∵，∴，
∴，∴数列是以，公比为的等比数列．
（2）由（1）知，∴，
．
20．（12分）已知数列的前项和为，，且.
（1）求及；
（2）已知是，的等比中项，数列的前项和，求证：
【解析】（1）由，得数列是以为公差的等差数列，
又，，
则；
.
验证适合上式，
;
（2）由是，的等比中项，得.
则，所以
.
.
所以.
21．（12分）已知正项等差数列的前项和为，满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则
由，得
相减得即，
又，所以，
由，得，
解得，(舍去)
由，得；
（2）
.
22．（12分）已知数列中，是数列的前项的和，.
（1）写出；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）数列中，，数列的前项的和
【解析】（1）,
取n=1,,所以，
取n=2,，
取n=3,，,
（2）猜想，
①n=1时，符合题意；
②假设时猜想为真，于是，为等差数列，∴为真，
在中取,得，∴，
即猜想对于n=k+1也成立.
根据①②可知，猜想成立；
（3），
所以数列的前项的和：
.
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