【人教九上数学学霸听课笔记】21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共29张PPT）

(共27张PPT)
21.2　解一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
预学浅梳理
探究与应用
随堂小检测
第二十一章　一元二次方程
1.若一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个实数根x1,x2,则x1＋x2
＝________,x1x2＝________.
2.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则
x1＋x2＝________,x1x2＝________.
－p
q
目标一　了解一元二次方程根与系数的关系
思考1
设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1,x2,你能找出x1,x2与p,q之间的关系吗?
(1)完成下列表格(设x1方程
x1
x2
x1＋x2
x1x2
x2－3x＋2＝0
x2＋x－6＝0
1
2
3
2
－3
2
－1
－6
问题：观察两根和、两根积、方程中一次项的系数及常数项,你发现什么规律?
规律：两根之和为一次项系数的相反数,两根之积等于常数项.
(2)从因式分解法可知,方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1,x2为已知数)的两根为x1,x2,将方程化为x2＋px＋q＝0的形式,观察并写出x1,x2与p,q之间的关系.
解：把方程(x－x1)(x－x2)＝0的左边展开,化成一般形式,得方程x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0,这个方程的二次项系数为1,一次项系数p＝－(x1＋x2),常数项q＝x1x2.于是,x1,x2与p,q之间有如下关系：x1＋x2＝－p,x1x2＝q.
思考2
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中,二次项系数a未必是1,它的两个根x1,x2的和、积与系数又有怎样的关系?
完成下列表格(设x1方程
x1
x2
x1＋x2
x1x2
3x2＋x－2＝0
3x2－4x＋1＝0
－1
1
问题：观察两根和、两根积及方程中的各项系数,你发现什么规律?
①用语言叙述你发现的规律：______________.
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比
②设ax2＋bx＋c＝0的两根为x1,x2,用式子表示你发现的规律：__________________.
③利用求根公式推导方程ax2＋bx＋c＝0的两根与系数的关系.
例1
[教材P16例4]根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积：
(1)x2－6x－15＝0；
解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6,x1x2＝－15.
(2)3x2＋7x－9＝0；
(3)5x－1＝4x2.
写一元二次方程两个根的和、积与系数的关系时的注意点
需先将方程化为一般形式,找对a,b,c的值.
易错警示
目标二　利用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题
变式
已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－8＝0的一个根是4,则方程的另一个根是________,k的值是________.
[解析]
先利用两根的积求出另一根,再利用两根的和求出k的值.
－2
1
拓展
已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.
(1)求证：无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1＋x2＋3x1x2＝1,求m的值.
解：(1)证明：依题意可得Δ＝b2－4ac＝(2m＋1)2－4(m－2)＝4m2＋9＞0,
故无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
由x1＋x2＋3x1x2＝1,得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1,解得m＝8.
利用根与系数的关系解题时的前提条件
运用根与系数的关系的前提必须是原一元二次方程有实数
易错警示
例3
已知x1,x2是方程2x2－3x－5＝0的两个根,不解方程,求下列代数式的值：
(2)x12＋x22.
A
C
D
4.已知m,n是方程2x2－4x－3＝0的两个实数根,则m2n＋mn2＝________.
－3
5.已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根是x1＝2,求方程的另一个根x2以及m的值.
解：由根与系数的关系可知2·x2＝－6,①
2＋x2＝－m.②
由①,得x2＝－3.
将x2＝－3代入②,得m＝－[2＋(－3)]＝1.
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