【人教九上数学学霸提升作业】21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(含答案)

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21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
命题点
1　根与系数关系的直接应用
1.[2019·黄冈]
若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1·x2的值为
(　　)
A.-5
B.5
C.-4
D.4
2.下列一元二次方程中,两根之和为2的是
(　　)
A.x2-x+2=0
B.x2-2x+2=0
C.x2+2x-2=0
D.2x2-4x+1=0
3.[2019·襄阳期末]
设一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x1x2+x2等于
(　　)
A.1
B.-1
C.0
D.3
4.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2,x2=4,则m+n的值是(　　)
A.-10
B.10
C.-6
D.2
5.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程可以是
(　　)
A.x2-7x+12=0
B.x2+7x+12=0
C.x2+7x-12=0
D.x2-7x-12=0
6.若x1,x2是方程x2-3x-2=0的两个根,则x1+x2-4x1x2的值是
(　　)
A.-5
B.-11
C.5
D.11
命题点
2　利用根与系数的关系求与两根有关的代数式的值
7.已知m,n是方程x2-x-1=0的两个实数根,则+的值为
(　　)
A.-1
B.
C.-
D.1
8.[2020·眉山东坡区模拟]
已知α,β是方程2x2-2x-3=0的两个实数根,则(α+1)(β+1)的值为
(　　)
A.-
B.
C.
D.
9.[2020·南昌二模]
已知矩形的长和宽分别是方程x2-7x+8=0的两个实数根,则矩形的对角线的长为
(　　)
A.6
B.7
C.
D.
10.已知关于x的一元二次方程x2=2(1-m)x-m2的两个实数根分别为x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)若m=-1,求代数式的值.
命题点
3　利用根与系数的关系求方程中字母系数的值或取值范围
11.若关于x的一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=-1,则m的值为
(　　)
A.3
B.-3
C.2
D.-2
12.若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数,则k的值为
(　　)
A.1
B.-1
C.±1
D.-2
13.已知关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的两实数根之积为负数,则实数m的取值范围是　　　　.?
14.已知关于x的一元二次方程(x-k)2-x+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)当实数k为满足题意的最大整数时,求代数式+-x1x2+1的值.
15.已知关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)是否存在实数m,使方程的两个实数根互为相反数?若存在,求出m的值及两个实数根;若不存在,请说明理由.
16.阅读材料:
已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1,
求的值.
解:由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,q≠0,
∴1-q-q2=0可变形为2--1=0.
∵pq≠1,∴p≠,
∴p与是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根,
∴p+=1,即=1.
根据阅读材料所提供的方法,解答下面的问题:
已知2m2-5m-1=0,+-2=0,且m≠n,求+的值.
典题讲评与答案详析
1.A
2.D　[解析]
A项,∵Δ=1-8=-7<0,∴该方程无实数根,故本选项不符合题意.B项,∵Δ=4-8=-4<0,∴该方程无实数根,故本选项不符合题意.C项,∵Δ=4+8=12>0,x1+x2=-2,故本选项不符合题意.D项,∵Δ=16-8=8>0,x1+x2=2,故本选项符合题意.
3.B　4.A　5.A
6.D　[解析]
根据题意,得x1+x2=3,x1x2=-2,
所以x1+x2-4x1x2=3-4×(-2)=11.
故选D.
7.A　[解析]
因为m,n是方程x2-x-1=0的两个实数根,所以m+n=1,mn=-1,所以+===-1.故选A.
8.B　[解析]
由题意得α+β=1,αβ=-,
∴(α+1)(β+1)=αβ+α+β+1=-+1+1=.
9.D　[解析]
设矩形的长和宽分别为m,n,
根据题意,得m+n=7,mn=8,
则矩形对角线的长为
=
=
=.
故选D.
10.解:(1)将一元二次方程x2=2(1-m)x-m2整理,得x2-2(1-m)x+m2=0.由题意得Δ=b2-4ac≥0,∴[-2(1-m)]2-4m2=4-8m≥0,∴m≤.
(2)∵x1+x2=2-2m,x1x2=m2,m=-1,
∴x1+x2=4,x1x2=1,
∴原式=====.
11.A　[解析]
由(x1-1)(x2-1)=-1可得x1x2-(x1+x2)+1=-1.
又∵x1+x2=1,x1x2=2-m,
∴(2-m)-1+1=-1,∴m=3.
12.B　[解析]
设x1,x2为方程x2+(k-2)x+k2=0的两个根.由题意得x1x2=k2=1,∴k=±1.
当k=1时,Δ=(k-2)2-4k2=-3<0,不符合题意;当k=-1时,Δ=(k-2)2-4k2=5>0,符合题意.∴k=-1.
13.m>　[解析]
设x1,x2为方程x2+2x-2m+1=0的两个实数根,
由题意得即
解得m>.故答案为m>.
14.解:(1)一元二次方程(x-k)2-x+2k=0可化为x2-(2k+1)x+k2+2k=0,
由题意,得Δ≥0,即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+2k)=-4k+1≥0,
解得k≤.
(2)由题意可得x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k,
∴+-x1x2+1=(x1+x2)2-3x1x2+1
=(2k+1)2-3(k2+2k)+1
=k2-2k+2.
∵k为满足题意的最大整数,且k≤,∴k=0.
把k=0代入k2-2k+2,得k2-2k+2=2,
∴当k为满足题意的最大整数时,代数式+-x1x2+1的值为2.
15.解:(1)证明:因为Δ=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
(2)存在.设方程的两个实数根分别为x1,x2.
因为方程的两个实数根互为相反数,
所以x1+x2=0.
根据根与系数的关系,得x1+x2=-(m+2)=0,
解得m=-2,所以原方程可化为x2-5=0,
解得x1=,x2=-.
16.解:由+-2=0,得2n2-5n-1=0,
根据2m2-5m-1=0与2n2-5n-1=0的特征,且m≠n,
可知m与n是方程2x2-5x-1=0的两个不相等的实数根,∴m+n=,mn=-,
∴+==-5.
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精品试卷·第
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