A级 基础巩固
1.当x>0时,f(x)=的最大值为
( )
A.
B.1
C.2
D.4
答案:B
2.若x>0,则函数y=-x-
( )
A.有最大值-2
B.有最小值-2
C.有最大值2
D.有最小值2
答案:A
3.用篱笆围一个面积为100
m2的矩形菜园,这个矩形菜园的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆长度是
( )
A.30
m
B.36
m
C.40
m
D.50
m
答案:C
4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为2.
5.(1)已知x>0,y>0,x+2y=8,求xy的最大值;
(2)设x>-1,求函数y=x++6的最小值.
解:(1)因为x>0,y>0,所以x+2y≥2,
即8≥2,
两边平方整理,得xy≤8,
当且仅当x=4,y=2时,xy取得最大值8.
(2)因为x>-1,所以x+1>0.
所以y=x++6=x+1++5≥
2+5=9,
当且仅当x+1=,即x=1时取等号,
所以当x=1时,原函数有最小值9.
B级 能力提升
6.若正实数x,y满足+=1,且x+>a-3恒成立,则实数a的取值范围为a<7.
解析:由题意,知x+=(x+)(+)=2+
+.
因为x>0,y>0,所以>0,>0,
所以+≥2=2,当且仅当=,即
4x=y时取等号,
所以x+≥4,所以a-3<4,解得a<7.
7.设a,b为正实数,且+=2.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.
解:(1)由2=+≥2,得ab≥,
当且仅当a=b=时取等号.
故a2+b2≥2ab≥1,当且仅当a=b=时取等号.
所以a2+b2的最小值是1,当且仅当a=b=取得最小值.
(2)由(a-b)2≥4(ab)3,得≥4ab,
即-≥4ab,从而ab+≤2.
又因为ab+≥2,当且仅当ab=1时取等号,
所以ab+=2,所以ab=1.
8.某市准备建一个综合性休闲广场,其示意图如图所示.已知矩形广场的总面积为2
000
m2,其中阴影部分为通道,通道的宽均为1
m,中间的两个小矩形完全相同.
(1)用矩形的宽x(单位:m)表示中间的三个矩形的总面积S(单位:m2)的函数解析式,并给出定义域;
(2)当矩形的宽x为何值时,S取得最大值,并求出最大值.
解:(1)因为矩形广场的总面积为2
000
m2,
所以xy=2
000,即y=.
因为2a+2=y,所以2a=y-2=-2,
所以S=a(x-3)+a(x-2)=(2x-5)(-1)=
2
005-(+2x),3
000.
(2)S=2
005-(+2x)≤2
005-2=1
805.
当且仅当2x=,即x=50时,等号成立,此时S取得最大值1
805
m2.
C级 挑战创新
9.多选题一个矩形的周长为l,面积为S,其中可作为(l,S)的取值的实数对是
( )
A.(4,1)
B.(8,6)
C.(10,8)
D.3,
解析:依题意设矩形的长、宽分别为a,b,
则有即l=2(a+b)≥4=4,
所以≥4.对于选项A,=4;对于选项B,<=4;对于选项C,=<=4;对于选项D,=
3>4.
因此,其中可作为(l,S)的取值的实数对是选项A和D.
答案:AD
10.多空题已知a>0,b>0,如果ab=1,那么a+b的最小值为2;如果a+b=1,那么ab的最大值为.
解析:因为a>0,b>0,所以≥,
所以a+b≥2=2.
故当ab=1时,a+b取得最小值2,此时a=b=1.
因为当a+b=1时,≤=,所以ab≤,此时a=b=.(共24张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
只含有一个
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
提示:因为a=0时,未知数的最高次数最大为1,不满足一元二次不等式的定义.
提示:可以.
答案:×
答案:×
答案:√
答案:×
x
{x|xx2}
R
{x|x1?
?
提示:令y=ax2+bx+c,由题意,知y>0恒成立,所以二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,与x轴无交点,所以应满足
提示:令y=ax2+bx+c,由题意,知y≥0恒成立,所以二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,与x轴相切或无交点,所以应满足
答案:×
答案:√
答案:×
答案:×
探索点一 一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式:
(1)
2x2-3x-2>0;
(2)-3x2-6x-2>0.
解析:因为M={x|0答案:B
解析:由-x2-x+2≥0,得x2+x-2≤0,
即(x+2)(x-1)≤0,所以-2≤x≤1,
所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤1}.
答案:C
解析:因为ax2+bx+2>0的解集为{x|-1所以解得所以a+b=0.
0
解:当a=0时,不等式化为-x+1<0,
则不等式的解集为{x|x>1}.
当a≠0时,不等式可变为a
(x-1)<0.
当a<0时,不等式可化为
(x-1)>0,则不等式的解集
为;
②当a=1时,不等式可化为(x-1)2<0,则不等式的解集为?;
③当a>1时,不等式可化为
(x-1)<0,则不等式的解集为;
④当0(x-1)<0,则不等式的解集为.
解析:因为ax2+bx+2>0的解集为{x|-1所以bx2-ax-2>0即x2+x-2>0,
解得x>1或x<-2.
所以不等式bx2-ax-2>0的解集为{x|x>1,或x<-2}.
{x|x>1,或x<-2}
解析:因为关于x的不等式ax2+3x-2>0的解集为{x|1答案:C
答案:B
解:(1)由题设条件知a>0,且1,2是方程ax2-bx+2=0的两个实根.
由根与系数的关系,知解得
(2)由(1)知2x2-bx+a>0可化为2x2-3x+1>0,
即(2x-1)(x-1)>0,其解集为.
答案:D(共19张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2
S2
提示:由基本不等式,得x+y≥2=2,当x=y时,x+y取最小值2,所以x+y≥2.
提示:由基本不等式S=x+y≥2,得xy≤S2,当x=y时,xy取得最大值S2.又因为x>0,y>0,所以0提示:①一正:各项必须为正.
②二定:各项之和或各项之积为定值.
③三相等:必须验证取等号时条件是否具备.
?
答案:×
答案:×
答案:√
答案:√
解析:因为正数a,b满足3a+4b=ab,
所以a+b=(a+b)(+)=3+4++≥7+4,当且仅当即时取等号.
答案:C
解析:由+=,知a>0,b>0,
所以=+≥2,即ab≥2,
当且仅当即a=,b=2时取等号,所以ab的最小值为2.
2
解析:因为00,1-4x>0,
所以x(1-4x)=×4x(1-4x)
≤=.
当且仅当4x=1-4x,即x=时,等号成立.
答案:C
解析:因为任意的正数a,b满足a+3b-1=0,
所以a+3b=1,
所以+=(+)(a+3b)=++6.
因为+≥2=6,
所以++6≥12,
即+的最小值为12,当且仅当=,
即a=,b=时,等号成立.
答案:C
解:由x+≤a恒成立,得
x+的最大值小于或等于a.因为x<1,
所以x+=-[(1-x)+]+1≤-2+1=-1.
当且仅当，即时等号成立.
所以a≥-1.
解析:x+2y=(x+2y)(+)=2+++2≥4+2=8,
当且仅当=,即4y2=x2时,等号成立.
由x+2y>2m-1恒成立,知2m-1<8,即m<.
m<
解:由a>b>c,知a-b>0,b-c>0,a-c>0.
所以原不等式等价于+≥m.
要使原不等式恒成立,只需+的最小值不小于m即可.
因为+=+=2++≥
2+2=4
当且仅当=,即2b=a+c时,等号成立,
所以m≤4.
.
解析:设直角三角形的两直角边长分别为x,y,则xy=1,即xy=2.周长l=x+y+≥2+=(+1)×2≈4.83(m),当且仅当x=y时取等号.故选C.
答案:CA级 基础巩固
1.不等式2x+3-x2>0的解集是
( )
A.{x|-1B.{x|-3C.{x|x<-1,或x>3}
D.{x|x<3}
答案:A
2.若f(x)=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是
( )
A.m<-2或m>2
B.-2C.m≠±2
D.1答案:A
3.若对于任意实数x,关于x的不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围为
( )
A.a<2
B.a≤2
C.-2D.-2答案:D
4.若关于x的不等式x2-kx+1>0对任意实数x都成立,则实数k的取值范围是-25.关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-40的解集.
解:由关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-4得不等式对应方程的实数根为-4和1,且a<0.
由根与系数的关系,知所以
所以关于x的不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0可化为3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,
即3(x2+1)-(x+3)-4<0,解得-1所以该不等式的解集为.
B级 能力提升
6.若二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表所示:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.
解析:从表中取三组数据(-1,-4),(0,-6),(1,-6),分别代入二次函数的解析式,得
解得
所以二次函数的解析式为y=x2-x-6.
由x2-x-6>0,得(x-3)(x+2)>0,
所以x<-2或x>3.
7.已知函数y=x2-2x-8.
(1)解不等式y≥0;
(2)若对一切x>0,关于x的不等式y≥mx-9恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)由y=x2-2x-8=(x+2)(x-4)≥0,
得x≤-2或x≥4,
所以所求不等式的解集为{x|x≤-2,或x≥4}.
(2)当x>0时,y≥mx-9可化为m≤=x+-2.
又因为x+≥2=2（当且仅当x=,即x=1时取等号）,
所以x+-2≥2-2=0,所以m≤0,
即m的取值范围为m≤0.
8.某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润1005x+1-元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元,求x的取值范围.
解:由已知可得2×100×（5x+1-）≥3
000,
整理得5x2-14x-3≥0,解得x≤-或x≥3.
又因为1≤x≤10,所以可得3≤x≤10,即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元,x的取值范围是3≤x≤10.
C级 挑战创新
9.多空题函数y=x2-4x+5(x∈R).若y<2,则不等式的解集为{x|1m-3对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围为m<4.
解析:由y<2,得x2-4x+3<0,即1m-3对任意x∈R恒成立,得m-3小于y的最小值.由y=x2-4x+5=(x-2)2+1,得y的最小值为1,所以m-3<1恒成立,所以m<4,所以实数m的取值范围为m<4.
10.多空题已知函数y=mx2-mx-12.当m=1时,不等式y>0的解集为{x|x<-3,或x>4};若不等式y<0的解集为R,则实数m的取值范围为-48解析:当m=1时,不等式y>0为x2-x-12>0,
即(x+3)(x-4)>0,
所以解集为{x|x<-3,或x>4}.
若不等式y<0的解集为R,则
①当m=0时,-12<0恒成立,符合题意;
②当m≠0时,应满足即
解得-48第二章 一元二次函数、方程和不等式
代数式
不等关系
2ab
>
≤
<
≥
≥
≥
≤
≤
答案:√
答案:√
答案:√
答案:×
a>b
a=b
a解析:“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,
所以
答案:D
b≤c
解析:由c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,得b≤c.
a>b(答案不唯一)
解析:因为点A在原点右侧,点B在原点左侧,所以a>0,b<0,所以a,b间的关系可表示为a>b或a-b>0等.
4.5t<28
000
解析:由题意,得太阳表面温度的4.5倍低于雷电的温度,即4.5t<28
000.
解:设该校有初中班x个,高中班y个,
则
解:因为a-b=(x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)
=-1<0,所以a解:p-q=a2-a+1-==.
因为(a+)2+≥>0,a2+1>0,a2≥0,
所以p-q≥0,即p≥q,当且仅当a=0时,等号成立.
解:因为y-z=x2-4x+4=(x-2)2≥0,
所以y≥z.
因为y+z=3x2-4x+6,y-z=x2-4x+4,
所以z-x=-x=1+x2-x=
(x-)2+>0,所以z>x.
综上可得,y≥z>x.(共11张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
0-1-3m≥6
150
重点探究认知发展
读
题中给出了刹车距离的概念和刹车距离与汽车速度的关系
式,并根据两次刹车试验数据在坐标系中描点
想「()利用代入法求出函数解标式中的字母参数
(2)列出不等式,并求解不等式
40n1600
(1)由题意,得
14<70n+49017,
算
解得
因为n∈N,所以n=6
(2)由于刹车距离不超过12.6m,即≤12.6,所以Tm+
405126因此+245040≤0解得84≤≤60
因为≥0所以0≤0≤60,即行驶的最大速度为60kmh!
用不等式知识解决应用题的四个步骤
(1)审:审清题意,把握问题中的关键量,找准不等关系
思(2)设:设变量,用不等式表示不等关系
(3)求:求解不等式
(4)答:回答实际问题A级 基础巩固
1.不等式x(2-x)<0的解集是
( )
A.{x|x>2}
B.{x|x<2}
C.{x|0D.{x|x<0,或x>2}
答案:D
2.若关于x的不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是
( )
A.-4≤a≤4
B.-4C.a≤-4或a≥4
D.a<-4或a>4
答案:A
3.若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是04.若集合A={x|3x-2-x2<0},B={x|x-a<0},且B?A,则a的取值范围为a≤1.
5.解不等式:-3x2+15x>12.
解:原不等式可化为x2-5x+4<0.因为方程x2-5x+4=0的两根为x1=1,x2=4,结合二次函数的图象,得原不等式的解集为{x|1B级 能力提升
6.若关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1在R上的解集是空集,则实数a的取值范围是-1解析:原不等式可化为x2-2x-a2+2a+4≤0,因为该不等式在R上的解集为空集.
所以Δ=4-4(-a2+2a+4)<0,
即a2-2a-3<0.解得-17.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是xx<-2,或x>-,求ax2-bx+c>0的解集.
解:由题意,得关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是,
则,解得b=a,c=a,
所以不等式ax2-bx+c>0,即
ax2-ax+a=a（x2-x+1）>0,
所以x2-x+1<0,即(x-2)（x-）<0,
解得即不等式ax2-bx+c>0的解集为.
8.已知二次函数y=x2+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2,且x2-x1=5.
(1)求函数y=x2+mx-6(m>0)的解析式;
(2)解关于x的不等式y<4-2x.
解:(1)由题意,得x2+mx-6=0(m>0)的两个根为x1和x2,
由根与系数的关系,得
故=-4x1x2=m2+24=25,
故m2=1.因为m>0,所以m=1,
故y=x2+x-6.
(2)由y<4-2x,得x2+x-6<4-2x,
所以x2+3x-10<0,即(x+5)(x-2)<0,
解得-5故不等式的解集是{x|-5C级 挑战创新
9.多空题若关于x的二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,则ab的值为6,不等式x2+ax-b<0的解集为{x|1解析:因为二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,
所以a<0,且ax2+bx+1=0的两个根为-1和,
所以解得a=-3,b=-2.
所以ab=6.
所以不等式x2+ax-b<0可化为x2-3x+2<0,对于方程x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,所以不等式x2-3x+2<0的解集为{x|110.开放题已知集合A={-5,-1,2,4,5},请写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,这个不等式可以是(x+4)(x-6)>0(答案不唯一).
解析:由题意,知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,故不等式可以是(x+4)(x-6)>0,其解集为{x|x>6,或x<-4},该解集中只有-5在集合A中.此题答案不唯一.(共14张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
ba>c
a+c>b+c
ac>bc
aca+c>b+d
ac>bd
提示:不能,因为由a+c>b+d不能推出a>b,c>d,例如1+100>2+3,但显然1<2.
提示:不能,例如1>-2,2>-3,但1×2<(-2)×(-3).
答案:×
答案:√
解:(1)由于c的正、负或是否为零未知,故判断ac与bc的大小缺乏依据,所以该命题为假命题.
(2)由?a2>ab;由?ab>b2.
所以a2>ab>b2,所以该命题为真命题.
解析:①若a=2,b=-1,则不符合题意,故错误;
②取a=10,b=2,c=1,d=3,虽然满足a>b,且a+c>b+d,但不满足c>d,故错误;
③当a=-2,b=-3时,取c=-1,d=2,则c>d不成立,故错误.
答案:A
解析:对于选项A,-1=,不能判断正负;对于选项B,-=<0,所以正确;选项C,D作差后也不能判断正负.故选B.
答案:B
解:因为-6所以-10<2a+b<19.
又因为-3<-b<-2,所以-9?
解:因为2当0≤a<8时,0≤<4;
当-6所以-3<<4.
-9≤3a-2b≤0
解析:因为1≤a≤2,3≤b≤6,所以3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得-9≤3a-2b≤0.
解:因为2所以3<-b<4,-<<-,-2所以5所以<-<1,即-1<<-.
由上知6<-ab<12,所以-12因为9所以3<<8.
综上所述,得-21.若M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是
( )
A.M>N
B.M=N
C.MD.与x有关
答案:A
2.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是
( )
A.PB.P=Q
C.P>Q
D.P,Q的大小关系由a的取值确定
答案:A
3.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列结论正确的是
( )
A.a+b>0
B.a-b>0
C.ab>0
D.>0
答案:A
4.“一方有难,八方支援”是中华民族的传统美德.现至少有1
500
t粮食和840
t药品必须在一天之内全部运送到某灾区,可以用轮船和飞机两种运输工具.已知每天每艘轮船可同时运送粮食200
t和药品70
t,每架飞机每天可同时运送粮食100
t和药品80
t,设安排x艘轮船和y架飞机,则轮船和飞机的数量应满足的不等关系为.
5.下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格.某球迷赛前准备用1
200元预订15张下表中球类比赛的门票.
比赛项目
票价/(元/场)
足球
100
篮球
80
乒乓球
60
在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下,该球迷想预订上表中三种球类比赛的门票,其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同,且预订篮球比赛门票的费用不超过预订足球比赛门票的费用,求可以预订的足球比赛的门票数.
解:设预定篮球比赛的门票数与乒乓球比赛的门票数都是n(n∈N
)张,则足球比赛门票预定了(15-2n)张,
由题意,得
解得5≤n≤.
由n∈N
,得n=5,所以15-2n=5.
所以可以预订的足球比赛的门票数为5.
B级 能力提升
6.若x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),则x与y的大小关系是x解析:因为x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,所以x7.若a>b,则a3与b3的大小关系是a3>b3.
解析:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·[(a+)2+b2].
因为a>b,所以a-b>0,(a+)2+b2>0,
所以a3-b3>0,所以a3>b3.
8.已知正数a,b,c满足ab+bc+ca=1,
求证:(a+b+c)2≥3.
证明:因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)(当且仅当a=b=c时取等号),
所以a2+b2+c2≥1,所以a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥1+2,
所以(a+b+c)2≥3.
C级 挑战创新
9.多选题下列不等式成立的是
( )
A.a2+2>2a
B.a2+b2≥2(a-b-1)
C.a2+b2≥ab
D.+1<
解析:因为a2+2-2a=(a-1)2+1>0,
所以a2+2>2a,选项A正确;
因为a2+b2-2(a-b-1)=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以选项B正确;
因为a2+b2-ab=a2-ab++=(a-)2+≥0,所以选项C正确;
因为+1-=+>0,所以选项D错误.
答案:ABC
10.多空题某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员数和产值如下:
产品种类
每件所需
人员数
每件产值
/
(万元/件)
A类
7.5
B类
6
要使总产值最高,则A类电子器件应开发20件,总产值最高为330万元.
解析:设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件,总产值y万元.故有
+≤20,解得x≤20.
由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取最大值330.
所以应开发A类电子器件20件,能使总产值最高,为330万元.(共14张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
≤
【思考】
如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能根据图形对基本不等式作出几何解释吗?
答案:√
答案:×
【解题模型示范】
解析:因为02,a2+b2>2ab.当0a2,b>b2,所以a+b>a2+b2.所以最大者为a+b.
a+b
解析:因为0,所以>.
又因为≤,所以>,
所以b>a,故选D.
答案:D
解析:因为a>0,b>0,a+b=4,
所以≤=2,所以0所以+==≥1,故选项A,B,C均错,故选D.
答案:D
解析:因为a,b为正数,且a+b≥2,
所以ab≤()2≤4,当且仅当a=b=2时取等号.
答案:C
解析:因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
所以=≥,
当且仅当a-b=b-c,
即2b=a+c时,等号成立.
≤
预习导学思维启动
重点探究认知发展
读
a>0,b>0.
当a>0,b>0时,a+b≥2ab成立,a2+b2≥2ab成立,等号
想成立的条件题
因为00.b0时,所以+b≥,即≥2(当且
仅当=时取等号)2)=+2b+b≤￠+b°+b
算
+b,所以+b≤/@+b(当且仅当x时等号成立
2
而ab≤
故/+b≥≥历≥工工(当
2
且仅当a=时等号成立)
利用基本不等式比较大小
思若给定的代数式中既有“和式,义有“积式“这便是应用
足条件,即a>0,b>0;二要注意能否取等号
解析:因为0√ab,a2+b2>2ab.当0时,>a2,b>b2,所以a+b>a2+b2.所以最大者为a+b
解析:因为0所以
又因为√(1-a)b(1a)+b
所以
所以b>a,故选D
解析:因为a>0,b>0,+b=4
所以
2,所以0所以
≥1,故选项A,B,C均错,故选
解析:因为ab为正数,且a+b≥2√ab
所以ab≤()2≤4当且仅当a=b=2时取等号
解析:因为a>b>Cc,所以a-b>0,b-C>0
所以
当且仅当a-b=bc,即2b=a+c时,等号成立A级 基础巩固
1.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为
( )
A.x≥2y
B.x>2y
C.x≤2y
D.x<2y
答案:B
2.下列不等式一定成立的是
( )
A.x+≥2(x≠0)
B.x2+≥1(x∈R)
C.x2+1≤2x(x∈R)
D.x2+5x+6≥0(x∈R)
答案:B
3.
多选题若a≥0,b≥0,且a+b=2,则
( )
A.ab≤1
B.ab≥1
C.a2+b2≥2
D.a2+b2≤3
答案:AC
4.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是ab≥9.
B级 能力提升
5.若0( )
A.aB.a<<C.a<D.解析:若取a=2,b=8,则=4,=5,
所以a<<答案:B
6.若0解析:因为0①
2ab②
下面寻找②中数值在①中的位置.
因为a2+b2>2()2=,
a2+b2=a·a+b2所以又因为2ab<2()2=,2ab>2×a=a,
所以a<2ab<.
所以a<2ab<7.已知x>0,y>0,且
x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
解:因为x>0,y>0,所以30=x+2y+xy≥2+xy,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时,等号成立.所以xy+2-30≤0.
令t=,则t>0,t2+2t-30≤0,
(t+5)(t-3)≤0,所以-5≤t≤3.
又因为t>0,所以0<≤3,所以0C级 挑战创新
8.多选题下列条件中能使+≥2成立的条件是
( )
A.ab>0
B.ab<0
C.a>0,b>0
D.a<0,b<0
解析:要使+≥2,只要>0,且>0,即a,b不为0且同号即可,故选项A,C,D都符合.
答案:ACD
9.数学文化题《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图,在AB上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交半圆周于点D,连接OD.作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为
( )
A.≥(a>0,b>0)
B.≥(a>0,b>0)
C.≥(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
解析:由三角形相似,知CD2=DE·OD=AC·BC,即DE===,
由CD≥DE,得≥,故选A.
答案:AA级 基础巩固
1.若a>b>0,c( )
A.<
B.ad>bc
C.>
D.<
答案:D
2.若a<0,b<-1,则下列不等式成立的是
( )
A.a>>
B.>>a
C.>a>
D.>>a
答案:D
3.若a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式中成立的是
( )
A.ab>ac
B.ac>bc
C.a|b|>c|b|
D.a2>b2>c2
答案:A
4.若-1≤a≤3,1≤b≤2,则a-b的范围为-3≤a-b≤2.
5.
多选题已知a>b,且a≠0,b≠0,则下列不等式恒成立
的是
( )
A.a2>b2
B.a3>b3
C.a2+a-b>0
D.<
答案:BC
6.多选题下列条件能使<成立的是
( )
A.b>0>a
B.0>a>b
C.a>0>b
D.a>b>0
答案:ABD
B级 能力提升
7.若实数a,b,c满足c( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.ac(a-c)<0
D.cb2解析:因为c0,
所以ab>ac,故结论A成立;
又因为b-a<0,所以c(b-a)>0,故结论B成立;
而a-c>0,ac<0,故ac(a-c)<0,故结论C成立;
当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,有cb2答案:
D
8.把下列各题中的“=”全部改成“<”,结论仍然成立的是④.(填序号)
①如果a=b,c=d,那么a-c=b-d;
②如果a=b,c=d,那么ac=bd;
③如果a=b,c=d,且cd≠0,那么=;
④如果a=b,且a>0,b>0,那么a3=b3.
解析:对于①,如果a对于②,如果a对于③,如果a对于④,如果a0,b>0,那么a3C级 挑战创新
9.多选题若x>y,a>b,则恒成立的不等式是
( )
A.a-x>b-y
B.a+x>b+y
C.ax>by
D.x-2b>y-2a
解析:对于选项A,由于同向不等式不能相减,故选项A不正确.
对于选项B,根据同向不等式可以相加,故选项B正确.
对于选项C,由于不等式中各数不一定都为正数,不能两边相乘,故选项C不正确.
对于选项D,由a>b,得-2b>-2a,根据同向不等式的可加性知x-2b>y-2a成立,即选项D正确.
答案:BD
10.探索题已知下列三个不等式:
①ab>0;②>;③bc>ad.
以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可组成几个正确命题?
解:对②变形,得>0.
(1)故由ab>0,bc>ad,得②成立,即①③?②.
(2)若ab>0,>0,则bc>ad,即①②?③.
(3)若bc>ad,>0,则ab>0,即②③?①.
综上所述,可组成3个正确命题.