21.1 一元二次方程 教学课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
21.1
一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
知识回顾
没有未知数
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
2x+3
5x+6=22
x+3y=8
x-5＜18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
情景导入
在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为
2
米，
那么它的下部应设计为多高？
A
C
B
雕像的上部高度AC与下部高度BC应有
如下关系：AC：BC=BC：2，
即
BC
2=2AC.
设雕像下部BC高
x
m，
则
AC=2-x，
得方程
x2=2(2-x)，
整理得
x2+2x-4=0.
①
A
C
B
x
2-x
方程①中未知数的个数和最高次数各是多少？
获取新知
问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm2，得
化简，得
(100-2x)(50-2x)=3600.
x2-75x+350=0.
②
x
x
100cm
50cm
3600cm2
方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2：要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？
全部比赛场数为4×7=28
设应邀请
x
个队参赛，每个队要与其他
(x－1)
个队各赛一场，
因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共
列方程
化简，得：
x2-x-56=0.
③
由上述三个问题，得到三个方程
x2+2x-4=0.
①
x2-75x+350=0.
②
x2-x-56=0.
③
类似方程①②③这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax?+bx+c=0
(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式
.
为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？
当
a
=
0
时
bx＋c
=
0
当
a
≠
0
，
b
=
0时
，
ax2＋c
=
0
当
a
≠
0
，
c
=
0时
，
ax2＋bx
=
0
当
a
≠
0
，b
=
c
=0时
，
ax2
=
0
归纳：只要满足a
≠
0
，b
，
c
可以为任意实数.
a
x?+b
x+
c
=0
二次项系数
一次项系数
a≠0
二次项
一次项
常数项
指出方程各项的系数时要带上前面的符号.
例题讲解
例1
将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
注意：系数包含前面的符号
获取新知
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
一元二次方程的解
例2
下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？
－3，－2，－1，0，1，2，3
例题讲解
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10，
则左边≠右边，
所以－3不是方程x2－x－2＝0的解；
下面几个数同理可证.
经检验得－1，2为原方程的根.
随堂演练
D
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(　　)
A．ax2＋bx＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋
＝2
D．x2－x－2＝0
2.
把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是(　　)
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
A
3.方程x2＋x－12＝0的两个根为(　　)
A．x1＝－2，x2＝6
B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
D．x1＝－4，x2＝3
D
4.如图,在一块长12
m,宽8
m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77
m2.设道路的宽为x
m,则根据题意,可列方程为　　　　　
　.?
(12-x)(8-x)=77
5.一元二次方程－2(x－1)2＝x＋3化成一般形式ax2＋bx＋c＝0后，若a＝2，则b＋c的值是___．
2
6．把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：将原方程化简为：
　　9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)
9x2＋12x＋4＝4
x2
－24x
＋36
9x2－
4x2＋
12x＋
24x＋4－36＝0
二次项系数为
5，一次项系数为
36，常数项为－32
5x2
＋
36
x
－
32＝0
7.
已知关于x的方程(a2－1)x2＋(1－a)x＋a－2＝0.
(1)当a为何值时，该方程为一元二次方程？
(2)当a为何值时，该方程为一元一次方程？
并求一元一次方程的解．
解：
(1)由题意得a2－1≠0，即当a≠±1时，该方程
为一元二次方程．
(2)由题意得a2－1＝0且1－a≠0，解得a＝－1.
此时方程为2x－3＝0，解得
课堂小结
一元二次方程
一元二次方程实际应用
一元二次方程的定义
一元二次方程的根
一元二次方程的一般形式
a
x?+b
x+
c
=0
使方程两边相等的未知数的值
1.整式
2.一个未知数
3.最高次数为2
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