21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
随堂演练
获取新知
情景导入
例题讲解
知识回顾
第二十一章
一元二次方程
课堂小结
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
情景导入
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
获取新知
1.从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
2.
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
思考
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,
那么x1+x2=
-p
,
x1
·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2=
-p
,
x1
·x2=q.
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，那么
例题讲解
例1
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1)
x2－6x－15＝0
(2)
3x2＋7x－9＝0；(3)
5x－1＝4x2.
解：
(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
例2
已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，
求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以
x1
+
x2
=
1+x2
=
6
，
解得x2
=
5.
由于x1·x2
=
1×5
=
得m
=
15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
解：根据根与系数的关系可知：
例3
不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
总结常见的求值:
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
随堂演练
1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另
一个根是___，m
=____.
-3
2x1x2
2.设
x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则
(1)
x1+x2
=
_____
,
x1x2
=
_______，
(2)
x12+x22
=
(x1+x2)2
-
________
=
______,
(3)
(x1-x2)2
=
(______)2
-
4x1x2
=
_______.
4
1
14
12
x1+x2
3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2
+
7x
+
6
=
0;（2）2x2
-
3x
-
2
=
0.
解：(1)这里
a
=
1
,
b
=
7
,
c
=
6.
Δ
=
b2
-
4ac
=
72
–
4
×
1
×
6
=
25
>
0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1,
x2,
那么
x1
+
x2
=
-7
,
x1
x2
=
6.
（2）2x2
-
3x
-
2
=
0.
（2）这里
a
=
2
,
b
=
-3
,
c
=
-2.
Δ=
b2
-
4ac
=
（-
3）2
–
4
×
2
×
(-2)
=
25
>
0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1,
x2,
那么
x1
+
x2
=
,
x1
x2
=
-1
.
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，
且（x1+1)(x2+1)=4；
（1）求k的值；
（2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=
解得：k=-7；
（2）因为k=-7,所以
则：
课堂小结
根与系数的关系
（韦达定理）
内
容
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2，那么
应
用
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