(共20张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
A∪B
{x|x∈A,或x∈B}
提示:A∪B={x|x∈A,或x∈B}包含三种情况:
①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.
答案:D
A∩B
{x|x∈A,且x∈B}
提示:根据交集的定义有:A∩B?A,A∩B?B.
解析:因为A={1,2,3},B={2,3,6},所以A∩B={2,3}.
答案:B
解析:取集合A,B的公共部分,得A∩B={x|0
?
{x|0答案:C
解析:因为P={x|-1Q=,所以P∪Q={x|-2答案:B
解析:由并集的定义可得A∪B={-1,0,1,2,3,4},结合交集的定义可知(A∪B)∩C={-1,0,1}.
答案:C
解析:因为A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},所以A∩B={-1,
0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.
?
{1,6}
解析:根据集合交集中元素的特征可以求得A∩B={0,2},故选A.
答案:A
解析:利用数轴可知A∩B={x|-2答案:A
解析:因为A∩B=?,所以a>2.
a>2
解:(1)当m=3时,A={x|1因为B={x|3(2)因为A∩B=A,所以A?B,
所以解得5≤m<6.(共24张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
一般地,我们把研究对象统称为元素
一些元素组成的总体叫做集合
确定的
互不相同的
大写拉丁字母A,B,C
小写拉丁字母a,b,c,
构成两个集合的元素是一样的
提示:不一定,集合中的元素可以是任何对象,如数、点、三角形、学生、代数式等.
提示:①确定性:判断这些对象是否有明确的判断标准;②互异性:判断这些对象是否都不相同.
解析:“著名的科学家”和“较聪明的人”都没有明确的标准,对于某人是否“著名”或“较聪明”无法客观判断,因此“著名的科学家”和“较聪明的人”都不能构成集合;“很大的数”也没有明确的标准,所以不能构成集合;任意给定一个正整数,能够判定其是否小于10,有明确的标准,且小于10的正整数是确定的,故D项正确.
答案:D
解析:由“book”中的字母构成的集合的元素为b,o,k,共3个.
?
答案:C
a是集合A
a∈A
a不是集合A中
a?A
整数集
提示:只需判断该元素是否具备集合A中元素的特性.
?
解析:对于A项,因为0是一个元素,N是自然数集,所以0∈N,故A项不正确;对于B项,因为Q为有理数集,-是一个有理数,所以-∈Q,故B项正确;对于C项,因为π是无理数,Q是有理数集,所以π?Q,故C项不正确;对于D项,-2是一个负整数,不属于自然数,故D项不正确.
答案:B
?
解析:因为2=>,所以2?P.
∈
解析:因为5=22+1,2∈N
,所以5∈Q.
±3
解析:由题意,得a2=9,解得a=±3.
(3)(4)
解析:(1)中“的近似值”和(2)中“比较大”,这些标准均不明确,即元素不确定,故不能构成集合;对于(3)(4),其中的对象都是确定的,故能构成集合.
解析:因为集合A中元素是由满足x≤2,
x∈R的实数构成的,a=,b=2,由>2,得a?A.由2<2,得b∈A.
答案:B
-3,5,-1,3,0,2
解析:因为∈Z,且a∈Z,
所以只能为±1,±2,±4.
当=1时,a=-3;当=-1时,a=5;
当=2时,a=-1;当=-2时,a=3;
当=4时,a=0;当=-4时,a=2.
故集合M中的元素为-3,5,-1,3,0,2.
2,-2,-1,,,
解析:因为2∈S,所以=-1∈S,
=∈S,=2∈S.
因为-2∈S,
所以=∈S,=∈S,=-2∈S.
所以集合S中的元素有2,-2,-1,,,.
5或或-3
解析:因为3∈A,所以3=a-2或3=2a2+5a,所以a=5或a=或a=-3.
当a=5时,a-2=3,2a2+5a=75,满足集合中元素的互异性,符合题意.
当a=或a=-3时,经检验,符合题意.
故a=5或a=或a=-3.
解析:因为5∈A,所以a2+2a-3=5,
解得a=2或a=-4.
当a=2时,|a+3|=5,不符合题意,应舍去.
当a=-4时,|a+3|=1,符合题意,所以a=-4.
-4
解析:根据题意,得集合A中的元素为1,2,集合B中的元素为0,2,则集合C中的元素可能为0,2,0,4.又由集合元素的互异性,得集合C中的元素为0,2,4,故集合C中的所有元素之和为6.
?
答案:DA级 基础巩固
1.(全国卷Ⅰ)若集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(?UA)=
( )
A.{1,6}
B.{1,7}
C.{6,7}
D.{1,6,7}
答案:C
2.若集合A={1,5,7},B={x∈Z|1≤x≤7},则?BA=
( )
A.{2,4,6}
B.{2,3,4}
C.{2,3,4,6}
D.{2,3,4,7}
答案:C
3.若全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则(?UA)∩(?UB)=
( )
A.{5,7}
B.{1,5,7}
C.{2,4}
D.{1,2,3,4,6,8}
答案:A
4.若全集U=R,集合A={x|x≥3,或x≤0},则?UA={x|05.已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2解:因为U={x|x≤4},A={x|-2所以?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},?UB={x|x<-3,或2B级 能力提升
6.若集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(?UB)等于
( )
A.{3}
B.{4}
C.{3,4}
D.?
解析:因为?U(A∪B)={4},U={1,2,3,4},
所以A∪B={1,2,3}.
又因为B={1,2},所以?UB={3,4}.
由以上条件可知集合A中必有元素3,可能有元素1,2,一定没有元素4,所以A∩(?UB)={3}.
答案:A
7.若全集U={(x,y)|x,y∈R},集合M=,N={(x,y)|y≠x+1},则?U(M∪N)={(2,3)}.
解析:因为全集U={(x,y)|x,y∈R},集合M=,N=
{(x,y)|y≠x+1},所以集合M表示直线y-3=x-2,即直线y=x+1上,且除去点(2,3)的点的集合;集合N表示平面内不在直线y=x+1上的点的集合,所以M∪N={(x,y)|x≠2,y≠3},则?U(M∪N)={(2,3)}.
8.已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|x>2}.
(1)求A∩B,(?RB)∪A;
(2)若集合C={x|1解:(1)因为集合A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},
所以A∩B={x|2所以(?RB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}.
(2)因为集合C={x|1C?A,所以当C=?时,满足题意,此时a≤1;
当C≠?时,有解得1综上,a的取值范围是a≤3.
C级 挑战创新
9.多选题若集合A={x|1( )
A.A∩B=?
B.A∪B={x|1C.(?RA)∩B={x|x≤1}
D.(?RB)∪A={x|x≥0}
解析:因为集合A={x|1所以?RA={x|x≤1,或x>4},?RB={x|x≥0},
所以A∩B=?,A∪B={x|x<0,或1(?RA)∩B={x|x<0},(?RB)∪A={x|x≥0}.
答案:AD
10.多选题若集合M={x|-3( )
A.M∩N
B.?RM
C.?R(M∩N)
D.?R(M∪N)
解析:因为集合M={x|-3?RM
={x|x≤-3,或x≥1},
所以?R(M∩N)={x|x≤-3,或x≥1},
?R(M∪N)={x|x>3}.
答案:BCA级 基础巩固
1.若p:11,则p是q成立的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.不确定
D.既不充分也不必要条件
答案:A
2.若a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.不确定
D.既不充分也不必要条件
答案:D
3.若集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.不确定
D.既不充分也不必要条件
答案:A
4.若a,b∈R,则“a>b”是“a≥b”的充分不必要条件.(填“充分不必要”或“必要不充分”)
5.指出下列命题中p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”回答).
(1)p:x2=2x+1,q:x=;
(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;
(3)p:x=2,q:x-1=.
解:(1)因为x2=2x+1?/x=,
而x=?x2=2x+1,
所以p是q的必要不充分条件.
(2)因为a2+b2=0?a=b=0?a+b=0,而a+b=0?/a2+b2=0,所以p是q的充分不必要条件.
(3)因为当x=2时可得x-1=成立;
反过来,当x-1=成立时,可以得到x=1或x=2,所以p是q的充分不必要条件.
B级 能力提升
6.已知p:4x-m<0,q:(x-2)(x+1)≤0,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围为
( )
A.m≥8
B.m>8
C.m>-4
D.m≥-4
解析:设p,q对应的不等式的解集为集合A,B,则A=,B={x|-1≤x≤2}.
因为p是q的必要不充分条件,所以B?A,
故>2,即m>8.
答案:B
7.若a,b,c为正数,则“a+b>c”是“a2+b2>c2”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.不确定
D.既不充分也不必要条件
解析:因为a,b,c为正数,所以当a=2,b=2,c=3时,满足a+b>c,但a2+b2>c2不成立,即充分性不成立.若a2+b2>c2,则(a+b)2-2ab>c2,即(a+b)2>c2+2ab>c2,即>,即a+b>c成立,即必要性成立,则“a+b>c”是“a2+b2>c2”的必要不充分条件.
答案:B
8.多选题下列式子可以作为“(x-3)2>4”的充分条件的是
( )
A.x>1
B.x>5
C.x<1
D.x<5
答案:
BC
9.已知集合A={x|-6≤x<3},B={x|-4≤x≤4},C={x|3x+m<0}.
(1)求A∩B,?R(A∪B);
(2)若x∈C是x∈A的必要条件,求实数m的取值范围.
解:(1)因为B={x|-4≤x≤4},A={x|-6≤x<3},所以A∩B={x|-4≤x<3},A∪B={x|-6≤x≤4},
?R(A∪B)={x|x<-6,或x>4}.
(2)由已知,得C=,
因为x∈C是x∈A的必要条件,所以A?C,
所以-≥3,解得m≤-9.
故实数m的取值范围为m≤-9.
C级 挑战创新
10.多空题设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为1;若p是q的必要条件,则m的最小值为4.
解析:由|x|≤m(m>0),得-m≤x≤m.
p是q的充分条件??0所以m的最大值为1;
p是q的必要条件??m≥4,
所以m的最小值为4.A级 基础巩固
1.下列集合中表示同一集合的是
( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={4,5},N={5,4}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={1,2},N={(1,2)}
答案:B
2.方程x2=4的解所组成的集合用列举法表示为
( )
A.{(-2,2)}
B.{-2,2}
C.{-2}
D.{2}
答案:B
3.若集合A={-1,1,2},集合B={x|x∈A,且2-x?A},则集合B=
( )
A.{-1}
B.{2}
C.{-1,2}
D.{1,2}
答案:C
4.集合{(x,y)|y=2x-1}表示
( )
A.方程y=2x-1
B.任意一点(x,y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合
答案:D
5.若集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中共有6个元素.
B级 能力提升
6.若1,a,={0,a2,a+b},则a2
019+b2
019的值为
( )
A.0
B.1
C.-1
D.1或-1
解析:由题意可知元素0和1属于集合,且a≠0,所以=0,即b=0,则集合{1,a,0}={0,a2,a}.根据集合相等和集合元素的特征,得解得a=-1,所以
a2
019+b2
019=-1.
答案:C
7.多选题集合{1,5,9,13,17}用描述法可表示为
( )
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}
C.{x|x=4t+1,t∈N,且t<5}
D.{x|x=4s-3,s∈N
,且s<6}
答案:CD
8.已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值
是2.
解析:由题意,若3-m=2,则m=1,此时集合B不符合元素的互异性,故m≠1;若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=3,则m=0,不符合题意.综上,m=2.
C级 挑战创新
9.多选题方程组的解组成的集合是
( )
A.(5,4)
B.(5,-4)
C.(x,y)
D.{(5,-4)}
解析:由x+y=1,x2-y2=(x+y)(x-y)=9,得x-y=9,
结合x+y=1,解得所以方程组的解组成的集合为(x,y)或{(5,-4)}.
答案:CD
10.多空题若集合A={x|ax2+ax-1=0}只有一个元素,则a=-4,集合A=.
解析:经分析易得a≠0,当a≠0时,方程ax2+ax-1=0为关于x的一元二次方程,且该方程有两个相等的实数根,所以即解得a=-4.
所以关于x的方程ax2+ax-1=0为-4x2-4x-1=0,
解得x=-.A级 基础巩固
1.命题“每一个三角形的三个顶点共圆”的否定是
( )
A.存在一个三角形,它的三个顶点不共圆
B.存在一个三角形,它的三个顶点共圆
C.所有三角形的三个顶点共圆
D.所有三角形的三个顶点都不共圆
答案:A
2.命题“?x∈R,ax+b≤0”的否定是
( )
A.?x∈R,ax+b≤0
B.?x∈R,ax+b>0
C.?x∈R,ax+b≤0
D.?x∈R,ax+b>0
答案:B
3.命题“?x∈R,x2≠2x”的否定是
( )
A.?x∈R,x2=2x
B.?x?R,x2=2x
C.?x∈R,x2≠2x
D.?x∈R,x2=2x
答案:D
4.命题“?x∈R,x2+2x+5=0”的否定是?x∈R,x2+2x+5≠0.
5.
多选题下列各选项中,正确的是
( )
A.若p:能被2整除的数是偶数,则p的否定:存在一个能被2整除的数不是偶数
B.若p:有些矩形是正方形,则p的否定:所有的矩形都不是正方形
C.若p:?n∈N,2n≤100,则p的否定:?n∈N,2n>100
D.若p:有的三角形为等边三角形,则p的否定:所有的三角形不都是等边三角形
答案:ABC
B级 能力提升
6.若命题“存在x<2
021,使得x>a”是假命题,则实数a的取值范围是a≥2
021.?
解析:因为命题“存在x<2
021,使得x>a”是假命题,所以该命题的否定“对任意x<2
021,都有x≤a”是真命题,所以a≥2
021.
7.若命题“?x∈R,x2-4x+a=0”为假命题,则实数a的取值范围是a>4.
解析:因为命题“?x∈R,x2-4x+a=0”为假命题,所以该命题的否定“?x∈R,x2-4x+a≠0”为真命题,则(-4)2-4a<0,解得a>4.
8.写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)不论m取何实数,关于x的方程x2+mx-1=0都有实根;
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;
(3)某些梯形的对角线互相平分;
(4)能被8整除的数也能被4整除.
解:(1)原命题的否定是?m∈R,关于x的方程x2+mx-1=0无实根.因为判别式Δ=m2+4>0恒成立,所以方程x2+mx-1=0恒有实根,是假命题.
(2)原命题的否定是“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”,是假命题.
(3)原命题的否定是“任意一个梯形的对角线都不互相平分”,是真命题.
(4)原命题的否定是“存在一个数能被8整除,但不能被4整除”,是假命题.
C级 挑战创新
9.多选题下列说法正确的是
( )
A.命题p:?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1≤0的否定是?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1>0
B.命题p:?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1≤0的否定是?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1≥0
C.命题p:?x∈R,x2+x+1<0的否定是?x∈R,x2+x+1≥0
D.命题“?x∈R,x2≥2x-1”的否定是?x∈R,x2<2x-1
解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题p:?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1≤0的否定是?x∈{x|-1≤x≤1},x2-1>0,A项正确,B项错误;存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题p:?x∈R,x2+x+1<0的否定是?x∈R,x2+x+1≥0,C项正确;全称量词命题“?x∈R,x2≥2x-1”的否定为存在量词命题“?x∈R,x2<2x-1”,D项正确.
答案:ACD
10.多空题命题“?x∈N,x2>1”的否定为?x∈N,x2≤1,它是真命题(填“真”或“假”).
解析:因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“?x∈N,x2>1”的否定为“?x∈N,x2≤1”.因为当x=0或x=1时命题成立,故为真命题.A级 基础巩固
1.若a,b∈R,且a2+b2≠0,则①a,b全为0;②a,b不全为0;③a,b全不为0;④a,b至少有一个不为0.其中真命题的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:C
2.下列语句不是全称量词命题的是
( )
A.任何一个实数乘零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高二(1)班绝大多数同学是团员
D.每一个三角形的内角和都等于180°
答案:C
3.下列存在量词命题中:①有的实数是无限不循环小数,②有些三角形不是等腰三角形,③有的菱形是正方形,假命题的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:A
4.若命题“?x∈R,2x2+(2a-1)x+a2>0”是真命题,则实数a的取值范围是a>.
5.用量词符号“?”“?”表达下列命题:
(1)所有的有理数x都使得x2+x+1是有理数;
(2)一定有实数α,β,使得α+β=αβ;
(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10;
(4)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解.
解:(1)?x∈Q,x2+x+1是有理数.
(2)?α,β∈R,α+β=αβ.
(3)?x,y∈Z,3x-2y=10.
(4)?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解.
B级 能力提升
6.下列全称量词命题中真命题的个数为
( )
①负数没有平方根;
②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab;
③二次函数f(x)=x2+ax-2的图象与x轴恒有交点;
④?x,y∈R,x2+|y|>0.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①②③为真命题;当x=y=0时,x2+|y|=0,故④为假命题.
答案:C
7.下列四个命题:
①没有一个无理数不是实数;②空集是任何一个非空集合的真子集;③1+1<2;④至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数.
其中是真命题的为
( )
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
解析:①所有无理数都是实数,为真命题;
②显然为真命题;③显然不成立,为假命题;
④取x=1,能使x2-x+1=1是整数,为真命题.
答案:C
8.判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的字母不能表示一个未知数;
(3)有一个函数是一次函数,且其图象过原点;
(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”,故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”,故是存在量词命题.
(3)含有存在量词“有一个”,故为存在量词命题.
(4)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题.
C级 挑战创新
9.多选题有下列四个命题,其中为真命题的是
( )
A.?x∈R,2x2-3x+4>0
B.?x∈{1,-1,0},2x+1>0
C.?x∈N,x2≤x
D.?x∈N
,使x为29的因数
解析:对于A项,这是全称量词命题,因为(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A项为真命题;对于B项,这是全称量词命题,当x=-1时,2x+1>0不成立,故B项为假命题;对于C项,这是存在量词命题,当x=0或x=1时,有x2≤x成立,故C项为真命题;对于D项,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的因数成立,所以D项为真命题.
答案:ACD
10.多空题下列命题中,是全称量词命题的为①②③(填序号，下空同),是存在量词命题的为④.
①正方形的四条边都相等;
②有两个角相等的三角形是等腰三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
解析:①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是全称量词命题;②是全称量词命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的平方根不等于0”,是全称量词命题;④是存在量词命题.A级 基础巩固
1.若集合A={x|0( )
A.{x|-1B.{x|0C.{x|0D.{x|-1答案:B
2.(天津高考)若集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=
( )
A.{2}
B.{2,3}
C.{-1,2,3}
D.{1,2,3,4}
答案:D
3.若集合M={x|-2( )
A.M∩N=?
B.M∩N=M
C.M∪N=M
D.M∪N=R
答案:B
4.若集合
A={1,2,-1},集合
B={y|y=x2,x∈A},则A∪B=
( )
A.{1}
B.{1,2,4}
C.{-1,1,2,4}
D.{1,4}
答案:C
5.多选题若集合M?N,则下列结论正确的是
( )
A.M∩N=M
B.M∪N=N
C.N?M∩N
D.M∪N?M
答案:AB
B级 能力提升
6.若集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={-1,0,1,3,6},则A∩B中的元素个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:因为集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={-1,0,1,3,6},所以A∩B={-1,1,3},所以A∩B中的元素个数为3.
答案:C
7.若集合A={1,m-2},B={2,3},且A∩B={2},则实数m的值为4.
解析:因为集合A={1,m-2},B={2,3},且A∩B={2},所以m-2=2,解得m=4,所以实数m的值为4.
8.已知集合A={x|-1≤x≤4},B={x|m-3≤x≤2m+1}.
(1)当m=1时,求A∩B;
(2)若A∪B=B,求实数m的取值范围.
解:(1)当m=1时,B={x|m-3≤x≤2m+1}={x|-2≤x≤3}.因为集合A={x|-1≤x≤4},所以A∩B={x|-1≤x≤3}.
(2)若A∪B=B,则A?B,
所以
解得≤m≤2,所以实数m的取值范围是≤m≤2.
C级 挑战创新
9.多选题若集合A={x|-1( )
A.A∪B={x|-1B.A∩B={x|-1C.A∩B={x|1≤x<2}
D.A∪B={x|-1解析:因为集合A={x|-1集合B={x|1≤x≤3},
所以A∪B={x|-1A∩B={x|1≤x<2}.
答案:AC
10.多空题若集合A={x|x2=x},集合B={x|0解析:A={x|x2=x}={0,1},B={x|0第一章
集合与常用逻辑用语
并非所有的
并非任意一个
?x∈M,
﹁p(x)
提示:原命题的否定就是对原命题的结论进行否定.原命题的否定与原命题真假性相反.
答案:×
答案:×
答案:√
不存在一个
没有一个
?x∈M,﹁p(x)
提示:不是,不但要否定结论,还要将存在量词改为全称量词.
答案:×
答案:√
答案:×
解析:全称量词命题的否定为存在量词命题,所以?x∈R,x2≠x的否定是?x∈R,x2=x;存在量词命题的否定为全称量词命题,所以?x∈R,x2+x+1<0的否定是?x∈R,x2+x+1≥0.
答案:AC
解:因为p为真命题,即方程x2+2x+2-a=0有实根,所以Δ=4-4(2-a)≥0,即a≥1.即实数a的取值范围为a≥1.
a<1
解析:p的否定为:?x∈R,使ax2+2x+3=0.
因此当a≠0时,Δ=4-12a≥0,解得a≤.
当a=0时,ax2+2x+3=2x+3=0,此时方程有解.
综上所述,a的取值范围是.
答案:C
解析:A项中,命题是全称量词命题,且是一个假命题;B项中,当x=0时,x2=0,所以命题既是存在量词命题又是真命题;C项中,因为+(-)=0,所以C项是假命题;D项中,对于任意一个负数x,都有<0,所以D项是假命题.
答案:B
m>
解析:这一命题可以表述为“对所有的实数m,关于x的方程x2+x+m=0都有实数根”,其否定为“存在实数m,使得关于x的方程x2+x+m=0没有实数根”,为真命题,所以由Δ=1-4m<0,得m>,此时一元二次方程没有实数根,故m的取值范围为m>.A级 基础巩固
1.下列对象能构成集合的是
( )
A.高一年级全体较胖的学生
B.sin
30°,sin
45°,cos
60°,1
C.所有很大的自然数
D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
答案:D
2.若集合A中的元素满足x-1<,且x∈R,则下列各式正确的是
( )
A.3∈A,且-3?A
B.3∈A,且-3∈A
C.3?A,且-3?A
D.3?A,且-3∈A
答案:D
3.下列所给关系正确的个数是
( )
①∈R;②?Q;③0∈N
;④|-4|?N
.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
4.同类练设集合A中含有元素
a2+2a-3,2,3,集合B中含有元素2,|a+3|,若5∈A,且5?B,则a的值为-4.
解析:因为5∈A,所以a2+2a-3=5,
解得a=2或a=-4.
当a=2时,|a+3|=5,不符合题意,应舍去.
当a=-4时,|a+3|=1,符合题意,所以a=-4.
5.已知集合A中元素为关于x的方程x2+2x+a=0的根,若1∈A,则集合A中的元素为-3,1.
B级 能力提升
6.由实数x,-x,|x|,,-所构成的集合中最多含有2个元素.
解析:因为=|x|,-=-x,|x|=所以由实数x,-x,|x|,,-所构成的集合中最多含有2个元素.
7.已知集合A中含有元素a+2,(a+1)2,a2+3a+3,若1∈A,则2
019a的值为1.
解析:①若a+2=1,则a=-1.
所以(a+1)2=0,a2+3a+3=1,不满足集合元素的互异性.
②若(a+1)2=1,则a=-2或a=0.
当a=-2时,a+2=0,a2+3a+3=1,不满足集合元素的互异性;当a=0时,a+2=2,a2+3a+3=3,满足题意.
③若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2,由①②可知均不满足集合元素的互异性.
综上,知实数a的值为0,则2
019a的值为1.
8.集合A是由形如m+n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,试分别判断a=-,b=,c=(1-2)2与集合A的关系.
解:因为a=-=0+(-1)×,而0∈Z,-1∈Z,
所以a∈A.
因为b===+,而?Z,?Z,所以b?A.
因为c=(1-2)2=13+(-4)×,而13∈Z,-4∈Z,所以c∈A.
C级 挑战创新
9.多选题若以集合A中的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形不可能是
( )
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
解析:根据集合中的元素的互异性可知a,b,c,d互不相等,所以以这四个元素为边长的四边形不可能为平行四边形、菱形、矩形.
答案:BCD
10.多空题若集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为0,1,2;若集合A中的元素满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为2,3,6.
解析:由∈N,x∈N,知x≥0,>0,且x≠3,故0≤x<3.又因为x∈N,故x可能为0,1,2.
当x=0时,=2∈N,当x=1时,=3∈N,当x=2时,=6∈N.
故当集合中的元素为x时,集合A中的元素为0,1,2.
当集合中的元素为时,集合A中的元素为2,3,6.(共24张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
一一列举
{
}
提示:不能,因为“{
}”表示“所有”“一切”“整体”的含义,所以不能写成{自然数集},而应写成{自然数}.
提示:①集合中元素较少,能够一一列举出来时,适合用列举法;②集合中的元素较多或无限多,但呈现一定的规律性时,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.
?
解析:由x-4<2可知x<6.又因为x∈N
,所以x可以为1,2,3,4,5,故选D.
答案:D
解析:集合A中有2个元素:点(1,2),点(3,4).
答案:B
{x∈A|P(x)}
{x∈A:P(x)}
{x∈A;P(x)}
共同特征
一般符号
取值（或变化）范围）
一条
竖线
提示:当集合中的元素具有共同特征并且能够描述出来时,一般可使用描述法表示集合.
解:(1)集合的代表元素是数,用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且x<1
000}.
(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}.
解析:因为x∈{2,4,5},所以x=2或x=4或x=5.因为x?{2,4,6},所以x≠2,且x≠4,且x≠6,所以x=5.
答案:C
解析:集合A中含有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,
当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2合适;
当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4合适;
当a=6∈A时,6-a=0?A.
综上所述,a=2或4.
答案:D
解析:解方程组得或故集合为{(-1,1),(0,0)}.
答案:B
解析:因为集合中的第n项的分母为n,分子为2n+1,所以集合用描述法可表示为
.
答案:D
解:(1)集合的代表元素是数,用描述法可表示为{x|x=2k,k∈Z,且|x|<1
000}.
(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为{(x,y)|y=0,且x∈R}.
【解题模型示范】
解:由题意,知集合A中有两个元素,则关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根,把其中一个根x=1代入方程,得a-3+2=0,所以a=1,所以方程ax2-3x+2=0为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.所以集合A={1,2}.
?
解:因为集合{x|ax2+x=0}有两个元素,所以关于x的方程ax2+x=0有两个根,所以，所以解ax2+x=0,得x=0或x=-.所以的取值范围是{a|a
0}，集合{x|ax2+x=0}的两个元素为0和-.
解:由A={2},知22+2(a-1)+b=0,且Δ=(a-1)2-4b=0,
解得a=-3,b=4.
所以方程x2-(3-a)x-a+b-2=0即x2-6x+5=0,
变形,得(x-1)(x-5)=0,
解得x=1或x=5,所以集合B={1,5}.
?(共22张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
所有元素
U
不属于
全集U
?UA
?
?
U
A
U
提示:根据补集的定义,?UA={x|x∈U,且x?A},故A∩
(?UA)=?
提示:①A是U的一个子集,即A?U.A可以是?,也可以是U.
②?UA表示一个集合,且?UA?U.
③?UA与A之间没有公共元素.
答案:A
解析:A选项,由题意,得A∩B={0,1},正确;B选项,
?UB={2,4},不正确;C选项,A∪B={0,1,3,4},正确;D选项,集合A的真子集个数为23-1=7,不正确.所以选A、C.
答案:AC
解析:由题意可得全集U={1,2,3,4,5,6},
因为集合A={1,2,4},所以?UA={3,5,6}.
答案:B
解析:用数轴表示,集合A为图中阴影部分.
故?UA={x|x≤2或x>5}.
{x|x≤2或x>5}
解析:在集合U中,因为x∈Z,
则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,
所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.
又因为A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},B={-3,3,4},
所以?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.
{-5,-4,3,4}
{-5,-4,5}
解:(1)因为集合A={x|-3≤x≤2},B={x|1≤x≤4},
所以A∩B={x|1≤x≤2}.
(2)因为?RA={x|x<-3,或x>2},
所以(?RA)∪B={x|x<-3,或x≥1}.
解:因为集合A={x|2≤x<4},B={x|2x-7≥8-3x}={x|x≥3},所以A∩B={x|3≤x<4}.
因为?RB={x|x<3},所以A∪(?RB)={x|x<4}.
解:全集U={x∈N|1≤x≤6}={1,2,3,4,5,6},
集合A={x|x2-6x+8=0}={2,4},集合B={3,4,5,6}.
(1)A∩B={4},A∪B={2,3,4,5,6}.
(2)因为?UA={1,3,5,6},所以(?UA)∩B={3,5,6},它的所有子集是?,{3},{5},{6},{3,5},{3,6},{5,6},{3,5,6},共8个.
?
解:由B={x|-2-x≤0≤5-x}={x|-2≤x≤5},
所以?UB={x<-2,或x>5}.
因为C∩(?UB)=C,
所以C??UB.
①当C=?时,满足题意,此时a>2-a,
所以a>1.
②当C≠?时,此时有或无解.
综上,a>1.
解析:因为?RB={x|x<1,或x>2},且A∪(?RB)=R,所以a≥2.
a≥2A级 基础巩固
1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
2.给出下列3个结论:
①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;
②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;
③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.
其中正确的是
( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案:C
3.若p:x>0,q:|x|>0,则p是q的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
4.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:
(1)“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”是“ac<0”的必要条件;
(2)“△ABC≌△A'B'C'”是“△ABC∽△A'B'C'”的充分条件.
5.设p,q均为实数,判断“q<0”是“方程
x2+px+q=0
有一个正实根和一个负实根”的什么条件.
解:因为q<0,所以Δ=p2-4q>0.设方程两根为x1,x2,则x1x2=q<0,
所以“方程x2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”成立.
因为“方程x2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”成立,所以q<0,
所以“q<0”是“方程
x2+px+q=0
有一个正实根和一个负实根”的充要条件.
B级 能力提升
6.若a,b是实数,则“a<0,且b<0”是“ab(a-b)>0”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:已知a,b是实数,由a<0,且b<0不一定推出ab·(a-b)>0,比如当a0,则a-b和ab同号即可,当a>b>0时就满足了ab(a-b)>0,故不能推出a<0,b<0,故选D.
答案:D
7.若a,b是实数,则“a+b>0,且ab>0”的充要条件为a>0,且b>0.
解析:当ab>0时可得a,b符号相同.又因为a+b>0,所以a>0,b>0.
当a>0,且b>0时,a+b>0,且ab>0显然成立.
故“a+b>0,且ab>0”的充要条件为a>0,且b>0.
8.多选题设A,B为两个集合,则下列四个充要条件的判断中错误的是
( )
A.A?B?对任意x∈A,都有x?B
B.A?B?A∩B=?
C.A?B?B?A
D.A?B?存在x0∈A,使得x0?B
答案:ABC
C级 挑战创新
9.多空题四个电路图如图所示,条件p:“开关S闭合”,条件q:“灯泡L亮”,则p是q的充分不必要条件的电路图是①④;p是q的充要条件的电路图是②.
①
②
③
④
解析:
图①,开关S闭合则灯泡L亮,反之,灯泡L亮不一定有开关S闭合,所以p?q,但q?/p,所以p是q的充分不必要条件.
图②,p?q,所以p是q的充要条件.
图③,开关S,S1与灯泡L串联,所以p?/q,q?p,所以p是q的必要不充分条件.
图④,开关S闭合则灯泡L亮,反之,灯泡L亮不一定有开关S闭合,所以p?q,但q?/p,所以p是q的充分不必要条件.
10.探索题若a,b都是正整数,则a+b>ab成立的充要条件是a,b至少有一个为1.
解析:a+b>ab?+>1,
又因为a,b都是正整数,所以a,b至少有一个为1.(共15张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
[学习目标] 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
3.能初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,提升逻辑推理素养.
一、充分条件与必要条件
[知识梳理]
充分条件与必要条件的概念
若p,则q为真命题
↓
p?q
↓
p是q的
,q是p的
.
充分条件
必要条件
提示:不唯一,如x>1,x>6都是x>0的充分条件;x>0,x>1都是x>6的必要条件.
提示:如果q不成立,那么p一定不成立.如x>1是x>6的必要条件,若x≤1,则x>6一定不会成立.
提示:p?q说明命题“若p,则q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,如果“若p,则q”为假,那么应记作“p?q”.
[基础测试]
判断
(正确的在括号内画“√”,错误的画“×”)
.
(1)“x>0”是“x>1”的充分条件.
( )
(2)若x2=36,则x=6.
( )
(3)“x>1”是“x>0”的充分条件.
( )
(4)若x≠0,则xy≠0.
( )
答案:×
答案:×
答案:√
答案:×
解析:由“A={0}”可推出“A∩{0,1}={0}”,由“A∩{0,1}={0}”不能推出“A={0}”.故“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件
必要不充分
解:(1)由a<1不一定能得到>1(如a=-1);
但当>1时,有0所以p是q的必要不充分条件.
(2)解不等式x(x+1)>0可得x>0或x<-1,
所以由“x>0”能推出“x>0或x<-1”;
由“x>0或x<-1”不能推出“x>0”,
所以p是q的充分不必要条件.
解析:p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).设p对应的不等式的解集为A,q对应的不等式的解集为B.因为p是q的充分不必要条件,所以A?B.所以或解得m≥9,即实数m的取值范围是m≥9.
m≥9
解析:p:x2+x-6=0,即x=2或x=-3.
q:ax+1=0,当a=0时,方程无解;当a≠0时,x=-.由题意,知p?/q,且q?p,故a=0舍去;当a≠0时,应有-=2或-=-3,解得a=-或a=.
综上可知,a=-或a=.
-或
解析:设q,p对应的不等式的解集为集合A,B,则A=
{x|2因为q是p的充分不必要条件,所以A?B,
即或解得-1≤a≤6.
-1≤a≤6(共20张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
所有的
任意一个
全称
?
全称量词命题
?x∈M,p(x)
提示:一切、任意、任给、每一个、所有等.
提示:对M中的每一个x,都具有或满足性质p(x),毫无例外.
答案:√
答案:×
答案:×
存在一个
至少有一个
存在
?
存在量词命题
?x∈M,p(x)
提示:有一个、有些、有的、存在一个、至少有一个、对某些等.
提示:在M中,至少有一个x具有或满足性质p(x),而不是所有的个体都不具有性质p(x).
答案:×
答案:√
答案:×
解析:因为“所有”“任意”为全称量词,所以选项A,C为全称量词命题;“有的”“存在”为存在量词,所以选项B,D为存在量词命题.
答案:AC
解:①可改为“任意一个实数的平方都是非负数”,
所以用“?”可表示为?x∈R,x2≥0.
②为存在量词命题,所以用“?”表示为?x<0,ax2+2x+1=0(a<1).
解析:垂直于同一直线的两条直线是平行的,所以找不到两条相交直线垂直于同一直线.
答案:C
解析:A项中,命题是全称量词命题,且是一个假命题;B项中,当x=0时,x2=0,所以命题既是存在量词命题又是真命题;C项中,因为+(-)=0,所以C项是假命题;D项中,对于任意一个负数x,都有<0,所以D项是假命题.
答案:B
解析:因为p是假命题,所以方程x2+4x+a=0没有实根,因为Δ=16-4a<0,所以a>4.
答案:AA级 基础巩固
1.若集合M={x|x=4n+1,n∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z},则
( )
A.M?N
B.N?M
C.M∈N
D.N∈M
答案:A
2.已知集合A={-1,0,1},B={x|x>a},若A?B,则实数a的取值可以为
( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案:A
3.若??{x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是( )
A.a<
B.a≤
C.a≥
D.a>
答案:B
4.集合M={x∈N|-2≤x≤0}的子集的个数为2.
5.
多选题已知集合M={x|x2-9=0},则下列式子表示正确的有
( )
A.3∈M
B.{-3}∈M
C.?M
D.{3,-3}?M
答案:ACD
B级 能力提升
6.设A={x|2≤x≤4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,则实数a的取值范围是
( )
A.1≤a≤3
B.a>3或a=1
C.a=1
D.a>3
解析:因为A={x|2≤x≤4},
B={x|2a≤x≤a+3},且B?A,
所以当B=?时,满足题意,此时2a>a+3,解得a>3;
当B≠?时,或此时a不存在,
所以a的取值范围是a>3.
答案:D
7.已知集合A=,B=xx=-,b∈Z,C=,则A,B,C满足的关系为
( )
A.A=B?C
B.A?B=C
C.A?B?C
D.B?C?A
解析:集合A==,集合B=
=,集合C=
=
,
因为当a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数,当b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数,当c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数,所以A?B=C.
答案:B
8.已知A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1}.
(1)若A?B,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a使得A=B?若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
解:(1)①当B=?时,满足题意,此时有a+1>2a-1,
解得a<2;
②当B≠?时,则有
解得2≤a≤3.
综合①②,得a的取值范围为a≤3.
(2)若存在实数a使得A=B,
则即无解,
故不存在这样的实数a使得A=B.
C级 挑战创新
9.创新题若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=-1,0,,,1,2,3,4的所有非空子集中,是伙伴关系集合的个数为
( )
A.15
B.16
C.28
D.25
解析:根据伙伴关系集合的概念可知-1和1本身具备这种运算,这样所求集合即由-1,1,3和,2和这“四大”元素所组成的集合的非空子集.所以满足条件的集合的个数为24-1=15.
答案:A
10.多空题若集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A={-1,0}.若集合B满足{0}?B?A,则集合B={-1,0}.
解析:因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,
所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0}.
因为集合B满足{0}?B?A,
所以集合B={-1,0}.(共23张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
任意一个元素都是集合B中的元素
A?B(或B?A)
A包含于B(或B包含A)
x∈B,且x?A,
A?B(或B?A)
A?A
?
封闭曲线的内部
提示:符号“∈”反映了元素与集合的关系;符号“?”反映了集合与集合之间的关系.
提示:集合A中的元素一定是集合B中的元素,但集合B中的元素不一定是集合A中的元素.
?
解析:因为集合A={0,1,2},所以0∈A,选项A错误,选项B正确,选项C,D是集合与集合之间的关系,错用元素与集合的关系符号,所以选项C,D错误.
答案:B
解析:因为集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},
所以集合Q中的元素都在集合P中,所以Q?P.
答案:C
任何一个元素
任何一个元素
A=B
A?B
B?A
不含任何元素
?
空集是任何集合的子集
提示:不是,空集只有子集,没有真子集.
解析:A,B,C项显然不符合题意,空集与集合的关系不能用∈表示,D项符合题意.
答案:D
解析:因为A={1,-m},B={1,m2},且A=B,所以m2=-m,解得m=-1
或m=0.m=-1不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
0
解析:?表示空集,没有元素,{0}有一个元素,则?≠{0},故①错误;因为空集是任何集合的子集,故②正确;?和{0}都表示集合,故③错误;0表示元素,{0}表示集合,故④错误;0∈{0},故⑤正确;{1},{1,2,3}都表示集合,故⑥错误;{1,2}中的元素都是{1,2,3}中的元素,故⑦正确;易知{a,b}?{b,a},故⑧正确.综上,正确的个数是4,故选D.
答案:D
解析:由题意解方程x2+2x=0,得x=0或x=-2,所以B={-2,0}.又因为A={-2,0,2},所以A?B,B?A,故选B.
答案:B
解析:因为集合A={x|x>1},0是一个元素,元素与集合之间是属于或者不属于关系,故A项错误;
0>1不成立,所以{0}?A不正确,故B项错误;
空集是任何集合的子集,故C项正确;
集合与集合之间的关系不能用∈表示,故D项错误.
答案:C
解析:因为B?A,所以x2=4或x2=x,所以x的值可以是±2
或1或0.根据集合元素互异性,得x的值为±2或0.
答案:B
解析:由题意可得满足{1}?A?{1,2,3}的集合A可能为{1},{1,2},{1,3}或{1,2,3},共4个.
答案:C
解析:因为B={a,a2},所以a≠a2.又因为A={-1,0,1},且B?A,所以a=-1.
解析:因为集合A中共有3个元素,所以集合A的真子集的个数为23-1=7.
7
答案:A
解析:因为B?A,所以A≠?,因此可得解得≤a≤1,所以a的取值范围为≤a≤1.
≤a≤1
解析:因为B?A,
①当B=?时,满足B?A,则2a>a+2,解得a>2;
②当B≠?时,则或
即a≤-3或a=2.
综上所述,实数a的取值范围为a≤-3或a≥2.
a≤-3或a≥2
解析:由题意,得A={x|x2-x-2=0}={-1,2},又由集合B={x|ax-1=0},且B?A,
得当B=?时满足题意,此时a=0;
当B≠?,即a≠0时,此时B=,
要使得B?A,则=-1或=2,解得a=-1或a=.综上可知,实数a的值为0,-1,.
0,-1,(共20张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
若q,则p
p?q
q?p
p?q
充分条件
必要条件
充要条件
提示:是,p与q互为充要条件.
提示:“?”表示“等价”的意思.
答案:√
答案:√
答案:√
答案:CD
证明:充分性:将m=1代入方程x2-4x+4m=0,
得x2-4x+4=0,解得x=2,为整数根;
将m=1代入方程x2-4mx+4m2-4m-5=0,
得x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1,为整数根,
所以m=1是两个方程的根都是整数的充分条件.
解析:由A∩B=?,得
解得0≤a≤2.
答案:A
解:因为关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根,所以当a=0时,x=-,满足题意;
当a≠0时,设两根分别为x1,x2,则
或
解得a<0或0综上,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件为a≤1.
解:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的等价条件为即ac<0.
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
解:因为关于x的方程3x2+10x+k=0有两个不相等的负实数根,且x1+x2=-<0,所以只需
即解得0所以方程3x2+10x+k=0有两个不相等的负实数根的充要条件是0解析:函数的图象与y轴交于负半轴,则c<0.
c<0
解析:当m=0时,方程为-x+2=0,解得x=2;
当m≠0时,方程为一元二次方程,设x1,x2是方程的根,则x1+x2=,由x1+x2=2,得=2,解得m=-或1.当m=-或1时,Δ=(m+1)2-8m2<0,即当m=-或1时,方程无实数根.故当m=0时符合题意.
m=0