24.2.2 直线和圆的位置关系 教案 2021-2022学年人教版数学九年级上册
文档属性
| 名称 | 24.2.2 直线和圆的位置关系 教案 2021-2022学年人教版数学九年级上册 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 237.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-28 05:48:03 | ||
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文档简介
24.2.2
直线和圆的位置关系
第1课时
直线和圆的位置关系
一、教学目标
1.了解直线和圆的不同位置关系.
2.掌握直线和圆不同位置关系的判定及相关概念.
3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.
二、教学重难点
重点
了解直线和圆的三种位置关系.
难点
掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用.
重难点解读
1.判定直线和圆的位置关系有两种方法：
（1）根据概念看直线和圆的公共点个数；
（2）根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判定.
2.直线和圆的位置关系与点和圆的位置关系既有联系，又有区别.两者都是根据d与r的数量关系来判定位置关系，但前者中的d为圆心到直线的距离，后者中的d为点与圆心的距离.
3.理解直线与圆相切时，要抓住关键字眼“只有一个公共点”.
4.射线、线段与圆的位置关系不能像直线一样依据交点个数判定，要具体情况具体分析.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.回顾点和圆的位置关系.
2.已知点P在⊙O的外部，OP=5，那么⊙O的半径r满足___________.
3.如图，在△ABC中，O是它的外心，BC=24
cm，O到BC的距离是5
cm，则△ABC的外接圆的半径是___________cm.
活动2
探究新知
1.教材第95页
思考.
提出问题：
（1）直线和圆公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
（2）根据上面你观察发现的结果，你认为直线与圆的位置关系可以分为几类？你分类的依据是什么？分别把它们的图形在草稿纸上画出来；
（3）在刚才的过程中，除了公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系？
（4）怎样用d（圆心与直线的距离）来判定直线与圆的位置关系呢？
活动3
知识归纳
1.（1）直线和圆有两个公共点时，直线和圆
相交
，这条直线叫做圆的
割线
；
（2）直线和圆只有一个公共点时，直线和圆
相切
，这条直线叫做圆的
切线
，这个点叫做
切点
；
（3）直线和圆没有公共点时，直线和圆
相离
.
2.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
直线l与⊙O相交d
＜
r；
直线l与⊙O相切d
=
r；
直线l与⊙O相离d
＞
r.
活动4
典例赏析及练习
例1
已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是
r＞2
.
例2
如图，∠APC=30°，O为PA上一点，且PO=6，以点O为圆心，半径为的圆与PC的位置关系是（
C
）
A.相离
B.相切
C.相交
D.相切、相离或相交
例3
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4
cm，以点C为圆心，半径长为2
cm作圆，试判断⊙C与AB的位置关系.
【答案】解：AB与⊙C相切.
理由如下：如图，作CD⊥AB于点D.
∵∠B=30°，BC=4
cm，
∴CD=BC=2
cm，即CD等于⊙C的半径.
∵CD⊥AB，∴AB与⊙C相切.
练习：
1.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是
相离
.
2.已知半径为3的⊙O上一点P和⊙O外一点Q，如果OQ=5，PQ=4，则PQ与⊙O的位置关系是（
B
）
A.相交
B.相切
C.相离
D.位置不变
3.在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°.若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，求r的取值范围.
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，∴CD=.
又∵以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，
∴r的取值范围是r≥.
活动5
课堂小结
1.直线和圆的三种位置关系.
2.直线和圆的位置关系的判定.
四、作业布置与教学反思
第2课时
切线的判定与性质
一、教学目标
1.掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线.
2.掌握切线的性质定理.
3.能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题.
二、教学重难点
重点
切线的判定定理及性质定理的探究和运用.
难点
切线的判定和性质的综合运用.
重难点解读
1.切线的判定定理有两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，两者缺一不可.
2.切线的判定方法有以下几种：
（1）用定义判定：当直线与圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；
（2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.此时，切点通常不确定，过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：无切点，作垂线，证半径；
（3）运用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.此时，切点通常已给出，作过切点的半径，证明直线垂直于这条半径，即：有切点，连半径，证垂直.
3.切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他的结论时使用.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.在如图所示的三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是_______、_______、_______.
2.如图，正方形ABCD的边长为1.
（1）以点A为圆心，1为半径的圆与直线BC有怎样的位置关系？
（2）以点A为圆心，半径为多少时，圆与直线BD相切？
活动2
探究新知
1.教材第97页
第1个思考.
提出问题：
（1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作出圆的切线？能作几条？
（2）观察下面两个图形，直线l是圆的切线吗？判定直线是圆的切线的两个关键点是什么？
（3）请总结一下判定切线共有哪几种方法？
2.教材第97页
第2个思考.
提出问题：
（1）尝试用反证法证明你的结论.
（2）用简洁的语言总结出你得到的结论.
活动3
知识归纳
1.切线的判定定理：经过
半径
的外端并且
垂直于
这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：圆的切线
垂直于
过切点的半径.
提出问题：
切线的判定定理与性质定理有什么区别与联系？
3.切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线到圆心的距离等于半径；
（3）圆的切线垂直于过切点的半径.
4.在解决与圆有关的切线问题时，常见辅助线有：
（1）已知直线是圆的切线时，通常连接过切点的半径，则这条半径垂直于切线；
（2）要证明一条直线是圆的切线：①若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：有切点，连半径，证垂直；②若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：无切点，作垂线，证半径.
活动4
典例赏析及练习
例1
教材第98页
例1.
方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例2
如图，已知AB是⊙O的直径，∠DAC=∠B，判断AD与⊙O的位置关系，并说明理由.
【答案】解：AD与⊙O相切.
理由如下：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC=90°.
又∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠BAC=∠DAB=90°，即AB⊥AD.
∴AD是⊙O的切线.
练习：
1.如图，已知∠APB=30°，O是线段PB上一点，OP=5
cm，若以点O为圆心，1.5
cm为半径的⊙O沿BP方向以1
cm/s的速度移动，则⊙O移动
2
s后与PA相切.
2.教材第98页
练习第1题.
3.教材第98页
练习第2题.
4.如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，且∠BED=∠T=45°.求证：AT是⊙O的切线.
【答案】证明：由圆周角定理，得∠BAD=∠BED=∠T=45°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.∴∠ABD=45°.∴∠TAB=90°.
∴AT是⊙O的切线.
活动5
课堂小结
1.切线的判定定理和性质定理.
2.切线的证明方法.
3.在运用切线的性质时，连接圆心和切点是常作的辅助线，这样可以产生半径和垂直条件.
四、作业布置与教学反思
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
一、教学目标
1.掌握切线长定理，学会运用切线长定理进行计算与证明.
2.了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念.
二、教学重难点
重点
切线长定理及其运用.
难点
切线长定理的导出及其证明，运用切线长定理解决一些实际问题.
重难点解读
1.切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，可以度量.
2.切线长定理也是切线性质之一，是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据.
3.一个三角形有唯一的一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形，三角形内心一定在三角形内部，并且到三边的距离相等.
4.三角形内心和外心的区别与联系：
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？
2.点和圆有几种位置关系？
3.直线和圆有什么位置关系？
4.切线的判定定理和性质定理分别是什么？
活动2
探究新知
1.教材第99页
探究.
提出问题：
（1）判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由.
（2）△PBO与△PAO有什么关系？根据什么判断的？
2.教材第99页
思考.
活动3
知识归纳
1.经过圆外一点作圆的
切线
，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的
切线长
.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的
两
条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线
平分
两条切线的夹角.
3.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条
角平分线
的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离
相等
.
活动4
典例赏析及练习
例1
教材第100页
例2.
例2
如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A=100°，则∠BOC=
140°
.
例3
如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F.且AB=5，AC=12，BC=13，则⊙O的半径是
2
.
练习：
1.教材第100页
练习第1题.
2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠B=50°，∠C=60°，则∠EDF=
55°
.
3.如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为
.
4.如图，△ABC是一张周长为22
cm的三角形纸片，BC=6
cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为
10
cm.
活动5
课堂小结
1.圆的切线长概念和定理.
2.三角形的内切圆及内心的概念.
四、作业布置与教学反思
直线和圆的位置关系
第1课时
直线和圆的位置关系
一、教学目标
1.了解直线和圆的不同位置关系.
2.掌握直线和圆不同位置关系的判定及相关概念.
3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.
二、教学重难点
重点
了解直线和圆的三种位置关系.
难点
掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用.
重难点解读
1.判定直线和圆的位置关系有两种方法：
（1）根据概念看直线和圆的公共点个数；
（2）根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判定.
2.直线和圆的位置关系与点和圆的位置关系既有联系，又有区别.两者都是根据d与r的数量关系来判定位置关系，但前者中的d为圆心到直线的距离，后者中的d为点与圆心的距离.
3.理解直线与圆相切时，要抓住关键字眼“只有一个公共点”.
4.射线、线段与圆的位置关系不能像直线一样依据交点个数判定，要具体情况具体分析.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.回顾点和圆的位置关系.
2.已知点P在⊙O的外部，OP=5，那么⊙O的半径r满足___________.
3.如图，在△ABC中，O是它的外心，BC=24
cm，O到BC的距离是5
cm，则△ABC的外接圆的半径是___________cm.
活动2
探究新知
1.教材第95页
思考.
提出问题：
（1）直线和圆公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
（2）根据上面你观察发现的结果，你认为直线与圆的位置关系可以分为几类？你分类的依据是什么？分别把它们的图形在草稿纸上画出来；
（3）在刚才的过程中，除了公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系？
（4）怎样用d（圆心与直线的距离）来判定直线与圆的位置关系呢？
活动3
知识归纳
1.（1）直线和圆有两个公共点时，直线和圆
相交
，这条直线叫做圆的
割线
；
（2）直线和圆只有一个公共点时，直线和圆
相切
，这条直线叫做圆的
切线
，这个点叫做
切点
；
（3）直线和圆没有公共点时，直线和圆
相离
.
2.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
直线l与⊙O相交d
＜
r；
直线l与⊙O相切d
=
r；
直线l与⊙O相离d
＞
r.
活动4
典例赏析及练习
例1
已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是
r＞2
.
例2
如图，∠APC=30°，O为PA上一点，且PO=6，以点O为圆心，半径为的圆与PC的位置关系是（
C
）
A.相离
B.相切
C.相交
D.相切、相离或相交
例3
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4
cm，以点C为圆心，半径长为2
cm作圆，试判断⊙C与AB的位置关系.
【答案】解：AB与⊙C相切.
理由如下：如图，作CD⊥AB于点D.
∵∠B=30°，BC=4
cm，
∴CD=BC=2
cm，即CD等于⊙C的半径.
∵CD⊥AB，∴AB与⊙C相切.
练习：
1.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是
相离
.
2.已知半径为3的⊙O上一点P和⊙O外一点Q，如果OQ=5，PQ=4，则PQ与⊙O的位置关系是（
B
）
A.相交
B.相切
C.相离
D.位置不变
3.在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°.若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，求r的取值范围.
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，∴CD=.
又∵以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，
∴r的取值范围是r≥.
活动5
课堂小结
1.直线和圆的三种位置关系.
2.直线和圆的位置关系的判定.
四、作业布置与教学反思
第2课时
切线的判定与性质
一、教学目标
1.掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线.
2.掌握切线的性质定理.
3.能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题.
二、教学重难点
重点
切线的判定定理及性质定理的探究和运用.
难点
切线的判定和性质的综合运用.
重难点解读
1.切线的判定定理有两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，两者缺一不可.
2.切线的判定方法有以下几种：
（1）用定义判定：当直线与圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；
（2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.此时，切点通常不确定，过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：无切点，作垂线，证半径；
（3）运用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.此时，切点通常已给出，作过切点的半径，证明直线垂直于这条半径，即：有切点，连半径，证垂直.
3.切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他的结论时使用.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.在如图所示的三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是_______、_______、_______.
2.如图，正方形ABCD的边长为1.
（1）以点A为圆心，1为半径的圆与直线BC有怎样的位置关系？
（2）以点A为圆心，半径为多少时，圆与直线BD相切？
活动2
探究新知
1.教材第97页
第1个思考.
提出问题：
（1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作出圆的切线？能作几条？
（2）观察下面两个图形，直线l是圆的切线吗？判定直线是圆的切线的两个关键点是什么？
（3）请总结一下判定切线共有哪几种方法？
2.教材第97页
第2个思考.
提出问题：
（1）尝试用反证法证明你的结论.
（2）用简洁的语言总结出你得到的结论.
活动3
知识归纳
1.切线的判定定理：经过
半径
的外端并且
垂直于
这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：圆的切线
垂直于
过切点的半径.
提出问题：
切线的判定定理与性质定理有什么区别与联系？
3.切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线到圆心的距离等于半径；
（3）圆的切线垂直于过切点的半径.
4.在解决与圆有关的切线问题时，常见辅助线有：
（1）已知直线是圆的切线时，通常连接过切点的半径，则这条半径垂直于切线；
（2）要证明一条直线是圆的切线：①若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：有切点，连半径，证垂直；②若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：无切点，作垂线，证半径.
活动4
典例赏析及练习
例1
教材第98页
例1.
方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例2
如图，已知AB是⊙O的直径，∠DAC=∠B，判断AD与⊙O的位置关系，并说明理由.
【答案】解：AD与⊙O相切.
理由如下：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC=90°.
又∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠BAC=∠DAB=90°，即AB⊥AD.
∴AD是⊙O的切线.
练习：
1.如图，已知∠APB=30°，O是线段PB上一点，OP=5
cm，若以点O为圆心，1.5
cm为半径的⊙O沿BP方向以1
cm/s的速度移动，则⊙O移动
2
s后与PA相切.
2.教材第98页
练习第1题.
3.教材第98页
练习第2题.
4.如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，且∠BED=∠T=45°.求证：AT是⊙O的切线.
【答案】证明：由圆周角定理，得∠BAD=∠BED=∠T=45°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.∴∠ABD=45°.∴∠TAB=90°.
∴AT是⊙O的切线.
活动5
课堂小结
1.切线的判定定理和性质定理.
2.切线的证明方法.
3.在运用切线的性质时，连接圆心和切点是常作的辅助线，这样可以产生半径和垂直条件.
四、作业布置与教学反思
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
一、教学目标
1.掌握切线长定理，学会运用切线长定理进行计算与证明.
2.了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念.
二、教学重难点
重点
切线长定理及其运用.
难点
切线长定理的导出及其证明，运用切线长定理解决一些实际问题.
重难点解读
1.切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，可以度量.
2.切线长定理也是切线性质之一，是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据.
3.一个三角形有唯一的一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形，三角形内心一定在三角形内部，并且到三边的距离相等.
4.三角形内心和外心的区别与联系：
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？
2.点和圆有几种位置关系？
3.直线和圆有什么位置关系？
4.切线的判定定理和性质定理分别是什么？
活动2
探究新知
1.教材第99页
探究.
提出问题：
（1）判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由.
（2）△PBO与△PAO有什么关系？根据什么判断的？
2.教材第99页
思考.
活动3
知识归纳
1.经过圆外一点作圆的
切线
，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的
切线长
.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的
两
条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线
平分
两条切线的夹角.
3.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条
角平分线
的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离
相等
.
活动4
典例赏析及练习
例1
教材第100页
例2.
例2
如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A=100°，则∠BOC=
140°
.
例3
如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F.且AB=5，AC=12，BC=13，则⊙O的半径是
2
.
练习：
1.教材第100页
练习第1题.
2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠B=50°，∠C=60°，则∠EDF=
55°
.
3.如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为
.
4.如图，△ABC是一张周长为22
cm的三角形纸片，BC=6
cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为
10
cm.
活动5
课堂小结
1.圆的切线长概念和定理.
2.三角形的内切圆及内心的概念.
四、作业布置与教学反思
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