24.4 弧长和扇形面积 教案 2021-2022学年人教版数学九年级上册

24.4
弧长和扇形面积
第1课时
弧长和扇形面积
一、教学目标
1.以圆的周长和面积为基础，探究弧长和扇形面积公式.
2.能利用弧长和扇形面积公式计算简单组合图形的周长和面积.
二、教学重难点
重点
弧长和扇形面积公式及运用.
难点
弧长和扇形面积公式的推导.
重难点解读
1.由弧长公式知道弧长l、圆心角n°、半径R三者中任意两个量可以求出第三个量.
2.知道圆心角n°、半径R时，求扇形面积用公式S扇=；知道弧长l、半径R时，应选择公式S扇=lR.具体做题时要灵活选用.
3.求解不规则图形的面积时，一般不能直接利用公式求解.常用的方法有：①割补法；②拼凑法；③等积变形法；④迁移变换法；⑤构造方程法.其中前四种方法的基本思路都是将不规则图形转化为规则图形或规则图形的和、差进行求解.
4.在等积变形中，可根据平移、旋转和轴对称等图形变换或同底同高（等底等高）的三角形面积相等进行转化.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
回顾圆的周长、面积计算公式，三角形（等边三角形）的面积计算公式.
活动2
探究新知
1.教材第111页
思考.
强调n表示1°的圆心角的倍数，n不带单位，180也不带.
2.教材第112页
思考.
类比弧长公式的推导过程，如何推导扇形面积公式.
活动3
知识归纳
1.在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是，n°的圆心角所对的弧长为
l=
.
2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
3.在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是，n°的圆心角所对应的扇形面积是
S扇形=
.
4.半径为R，弧长为l的扇形面积S=
lR
.
活动4
典例赏析及练习
例1
教材第111页
例1.
例2
教材第112页
例2.
练习：
1.若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为
π
.
2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是
π
.
3.若扇形的半径为2，面积为π，则这个扇形的圆心角为（
D
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
4.一个扇形的面积为24
cm2，所对的弧长为12
cm，则该扇形的半径为（
B
）
A.2
cm
B.4
cm
C.8
cm
D.16
cm
5.如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC=BC，AB=2.以B为圆心，BC长为半径画圆弧交AB于点D，求阴影部分的面积.
【答案】解：∵AB是半圆⊙O的直径，∴∠ACB=90°.
又∵AC=BC，AB=2，∴∠ABC=45°，AC=BC=.
∴S阴影=S△ABC-S扇形BCD=×2×1-
=1-.
活动5
课堂小结
1.弧长公式、扇形的两个面积公式.
2.求解不规则图形面积的常用方法.
四、作业布置与教学反思
第2课时
圆锥的侧面积和全面积
一、教学目标
1.经历圆锥侧面积的探索过程.
2.会求圆锥的侧面积和全面积，并能解决一些简单的实际问题.
二、教学重难点
重点
计算圆锥的侧面积和全面积.
难点
圆锥的侧面积和全面积的公式推导.
重难点解读
1.圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周而成的图形，故圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形，满足r2+h2=l2，利用这一关系，可以由已知任意两个量求出第三个量.
2.如图所示，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长l，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长2πr，因此圆锥的侧面积S侧=·2πr·l=πrl.圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即S全=S侧+S底=πrl+πr2.
3.在计算圆锥的侧面积时，要注意各元素之间的对应关系，千万不要错认为圆锥底面圆半径等于扇形半径或把圆锥的母线长当作扇形的弧长.
4.进行有关计算时应画出展开图，数形结合不易出错.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.半径为R，n°的圆心角所对的弧长的计算公式是_________.
2.半径为R，圆心角为n°的扇形面积的计算公式是________.
3.半径为R，弧长为l的扇形面积的计算公式是____________.
活动2
探究新知
教材第113页
思考.
提出问题：
（1）圆锥有多少条母线？圆锥的母线有什么性质？
（2）圆锥展开得到的平面图由哪几部分构成？这个新图形的哪些量与圆锥的哪些量有关？
活动3
知识归纳
1.连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的
母线
，通常用字母l表示.圆锥的母线有
无数
条，圆锥的母线都相等.连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的
高
.
2.圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为圆锥的
母线长
，弧长是圆锥底面圆的
周长
.
3.圆锥的母线l，圆锥的高h，底面圆的半径r，存在关系式l2=h2+r2，圆锥的侧面积S=πrl；圆锥的全面积S全=S底+S侧=πrl+πr2.
活动4
典例赏析及练习
例1
已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是
21π
.
例2
教材第114页
例3.
例3
已知一个圆锥的母线长为30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（
C
）
A.90°
B.100°
C.120°
D.150°
方法总结：这类题要抓住两个要点：（1）圆锥的母线长为扇形的半径；（2）圆锥的底面圆周长为扇形的弧长.再结合题意，综合运用勾股定理、方程思想就可解决.
练习：
1.教材第114页
练习第1题.
2.圆锥的母线长为10
cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则该圆锥的高为
8
cm.
3.如图，从一张腰长为90
cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（
B
）
A.20
cm
B.15
cm
C.12
cm
D.10
cm
4.已知一个圆锥的高是12
cm，底面半径是9
cm，求该圆锥的全面积.
【答案】解：根据题意，得
该圆锥的母线长==15（cm）.
∴S全=S底面+S侧面=π·92+×2π×9×15=216π（cm2）.
活动5
课堂小结
1.圆锥侧面积和全面积公式.
2.圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长.
四、作业布置与教学反思