2.3用公式法求解一元二次方程同步能力达标训练（Word版 附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
同步能力达标训练（附答案）
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜且k≠﹣2
B．k
C．k≤且k≠﹣2
D．k
2．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则等腰三角形底边的值是（　　）
A．4
B．25
C．4或6
D．24或25
3．关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有实数根，则m的取值范围（　　）
A．m≤且m≠2
B．m＞
C．m≤
D．m≤3且m≠2
4．一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是（　　）
A．方程没有实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程的根是1、﹣5和
5．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（　　）
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
二、填空题
6．如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1＝0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是　
　．
7．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，则m的最大整数解是　
　．
8．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　
　．
9．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）＝0的根的情况是　
　．
10．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为　
　．
11．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　
　时，△ABC是等腰三角形；当k＝　
　时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
12．已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　
　．
13．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a＝0的两根都是整数，则a的值等于　
　．
14．方程x2+2ax+a﹣4＝0恒有相异两实根，若方程x2+2ax+k＝0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是　
　．
三、解答题
15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
16．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝3x1x2，求实数p的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．
18．已知方程x2+3mx+2m﹣3＝0．
（1）求证：对于任意的实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设a，b是平行四边形的两邻边边长，也是方程的两根，且a＞b，求a﹣b的最小值．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
20．解下列方程：
（1）3x2﹣13x+14＝0
（2）x2﹣6x＝5
参考答案
1．解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴k+2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（k+2）?1≥0，
解得：k且k≠﹣2，
故选：C．
2．解：设底边为a，
分为两种情况：①当腰长是4时，则a+4＝10，
解得：a＝6，
即此时底边为6，
②底边为4，腰长为10÷2＝5，
即底边长为4或6，
故选：C．
3．解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有一个实数根，
当m﹣2≠0时，
∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有实数根，
∴Δ＝3﹣m﹣4（m﹣2）?≥0，
解得：m≤，
∵3﹣m≥0，
∴m≤3，
∴m的取值范围是m≤，
故选：C．
4．解：∵原方程可化为x2+x﹣7＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣7，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
5．解：﹣3x2+5x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝52﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝13，
x＝＝，
故选：C．
6．解：根据方程的求根公式可得：
x＝[（﹣2（a+1）±]÷2＝[（﹣2a﹣2）±2a]÷2＝﹣a﹣1±a，
则方程的两根为﹣1或﹣2a﹣1，
或（x+1）（x+2a+1）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣2a﹣1，
∵﹣1＜0，
∴小于1的正数根只能为﹣2a﹣1，
即0＜﹣2a﹣1＜1，
解得﹣1＜a＜﹣．
故填空答案为﹣1＜a＜﹣．
7．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根，
∴Δ＝4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m＝4．
故答案为：m＝4．
8．解：∵关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4b＝0，
∴AC＝b＝4，
∵BC＝2，AB＝2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长＝AC＝2；
故答案为：2．
9．解：Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2
＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）
∵a，b，c分别是三角形的三边，
∴a+b＞c．
∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0
∴Δ＜0，
则方程没有实数根．
10．解：当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2﹣9＝0，
解得k＝±3，
当原方程是一元二次方程时，
Δ＝b2﹣4ac＝0，
即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0
解得：k＝﹣5．
故答案为±3或﹣5．
11．解：（1）因为Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
若AB＝BC＝5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的实数根，把x＝5代入原方程，得k＝3或k＝4．
∵无论k取何值，Δ＞0，
∴AB≠AC，故k只能取3或4；
（2）根据根与系数的关系：AB+AC＝2k+3，AB?AC＝k2+3k+2，
则AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB?AC＝25，
即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，
解得k＝2或k＝﹣5．
根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积k2+3k+2＞0，解得k＞﹣1，
∴k＝2．
故答案为：3或4；2．
12．解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k﹣2≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4（k﹣2）?1＝﹣4k+9＞0，
即，
解得：k＜且k≠2，
故答案为：k＜且k≠2．
13．解：设两个根为x1≥x2，
由韦达定理得，
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2＝6，
∴（x1+1）（x2+1）＝7，
∴或，
∴或，
∴a＝x1x2＝0或16．
故答案为：0或16．
14．解：∵方程x2+2ax+a﹣4＝0恒有相异两实根，
∴Δ＞0，而Δ＝4a2﹣4（a﹣4）＝4（a2﹣a+4）＝4[（a﹣）2+]，
又∵方程x2+2ax+k＝0有相异两实根，
∴△′＝4a2﹣4k＞0，即k＜a2；
k＞a﹣4，
所以k的取值范围是
a﹣4＜k＜a2．
故答案为a﹣4＜k＜a2．
15．解：（1）根据题意，得m≠1．
∵a＝m﹣1，b＝﹣2m，c＝m+1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，
则x1＝＝，
x2＝1；
（2）由（1）知，x1＝＝1+，
∵方程的两个根都为正整数，
∴是正整数，
∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，
解得m＝2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
16．证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，
x2﹣5x+6﹣p2＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）＝25﹣24+4p2＝1+4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，
∵x12+x22＝3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3x1x2，
∴52＝5（6﹣p2），
∴p＝±1．
17．（1）证明：Δ＝（k+3）2﹣4×3k＝（k﹣3）2≥0，
故不论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，
则（k﹣3）2＝0，
解得k＝3，
方程为x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
故△ABC的周长为：2+3+3＝8；
当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，
方程为x2﹣5x+6＝0，
解得，x1＝2，x2＝3，
故△ABC的周长为：2+2+3＝7．
18．（1）证明：方程的判别式Δ＝（3m）2﹣4（2m﹣3）＝9m2﹣8m+12＝9（m﹣）2+＞0，
即对于任意的实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得：a+b＝﹣3m，ab＝2m﹣3．
∵a＞b，
∴a﹣b＝＝＝＝，
∴当m＝时，a﹣b的最小值是．
19．解：（1）把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）根据题意得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1．
20．解：（1）∵3x2﹣13x+14＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣7）＝0，
则x﹣2＝0或3x﹣7＝0，
解得：x1＝2，x2＝；
（2）∵x2﹣6x＝5，
∴x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，
则x﹣3＝±，
∴x＝3±，即x1＝3+，x2＝3﹣．