2021-2022学年九年级数学北师大版上册2.2用配方法求解一元二次方程同步能力达标训练（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.2用配方法求解一元二次方程》
同步能力达标训练（附答案）
一、选择题
1．方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝1
B．x1＝﹣4，x2＝﹣1
C．x1＝0，x2＝3
D．x1＝x2＝﹣2
2．用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（　　）
A．（x﹣）2＝
B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝
D．
3．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21
B．﹣4，11
C．4，21
D．﹣8，69
4．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A．（x﹣）2＝
B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝
D．（x﹣）2＝
5．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　）
A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100
B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
C．2t2﹣7t﹣4＝0化为（t﹣）2＝
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝
6．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　）
A．6
B．3﹣3
C．3﹣2
D．3﹣
7．已知x，y都为实数，则式子﹣3x2+3xy+6x﹣y2的最大值是（　　）
A．0
B．2
C．
D．12
8．若x2+4y2﹣8x+4y+17＝0，则xy＝（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．2
D．1
9．已知M＝3x2﹣2x+4，N＝2x2+4x﹣5，则代数式M，N的大小关系是（　　）
A．M≥N
B．M≤N
C．M＞N
D．M＜N
二、填空题
10．已知等腰△ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，则△ABC的周长等于　
　．
11．若一元二次方程x2﹣6x+1＝0可以配方成（x+p）2＝q的形式，则代数式p+q的值为　
　．
12．若x2+4与2x﹣3互为相反数，则x的值为　
　．
13．当x＝　
　时，代数式3x2﹣6x的值等于12．
14．用配方法解方程x2﹣6x＝2时，方程的两边同时加上　
　，使得方程左边配成一个完全平方式．
15．对于实数p，q，且（p≠q），我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝3，则x＝　
　．
三、解答题
16．用配方法解方程：x2﹣6x﹣4＝0．
17．用适当的方法解一元二次方程：
（1）（2x﹣1）2﹣3＝0；
（2）x（x﹣4）＝1．
18．已知y1＝+8x﹣1，y2＝6x+2，当x取何值时y1＝y2．
19．小明同学解一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的过程如下：
解：x2﹣2x＝2，第一步；
x2﹣2x+1＝2，第二步；
（x﹣1）2＝2，第三步；
x﹣1＝±，第四步；
x1＝1+，x2＝1﹣，第五步．
（1）小明解方程的方法是　
　，他的求解过程从第　
　步开始出现错误；
（2）请用小明的方法完成这个方程的正确解题过程．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
21．阅读材料：数学课上，老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
因为（x﹣2）2≥0，
所以（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，解下列问题：
（1）代数式x2+6x+12的最小值为　
　；
（2）求代数式﹣x2+2x+9的最大或最小值．
参考答案
1．解：∵方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，
∴方程a（x+m+2）2+b＝0的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1，
故选：B．
2．解：∵2x2﹣7x＝﹣3，
x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+＝﹣+，
∴（x﹣）2＝．
故选：D．
3．解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
4．解：由原方程，得
x2﹣x＝，
x2﹣x+＝+，
（x﹣）2＝，
故选：A．
5．解：A．由x2﹣2x﹣99＝0得x2﹣2x＝99，则x2﹣2x+1＝99+1，即（x﹣1）2＝100，此选项正确；
B．由x2+8x+9＝0得x2+8x＝﹣9，则x2+8x+16＝﹣9+16，即（x+4）2＝7，此选项错误；
C．由2t2﹣7t﹣4＝0得2t2﹣7t＝4，则t2﹣t＝2，∴t2﹣t+＝2+，即（t﹣）2＝，此选项正确；
D．由3x2﹣4x﹣2＝0得3x2﹣4x＝2，则x2﹣x＝，∴x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝，此选项正确；
故选：B．
6．解：x2+6x+m＝0，
x2+6x＝﹣m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x＝36，
设4a＝6，
则a＝，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．
故选：B．
7．解：﹣3x2+3xy+6x﹣y2
＝﹣（）
＝﹣[（x2﹣6x+12）+（x2﹣3xy+y2）﹣12]
＝﹣[（x﹣2）2+（x﹣y）2﹣12]，
∵要求原式的最大值，即求（x﹣2）2+（x﹣y）2﹣12的最小值，
显然，当（x﹣2）＝0，（x﹣y）2＝0，即x＝4，y＝6时，取得最小值为﹣12，
∴式子﹣3x2+3xy+6x﹣y2的最大值是12，
故选：D．
8．解：x2+4y2﹣8x+4y+17＝0，
x2﹣8x+16+4y2+4y+1＝0，
（x﹣4）2+（2y+1）2＝0，
则（x﹣4）2＝0，（2y+1）2＝0，
解得，x＝4，y＝﹣，
∴xy＝4×（﹣）＝﹣2，
故选：A．
9．解：M﹣N＝3x2﹣2x+4﹣（2x2+4x﹣5）＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2≥0，故M≥N．
故选：A．
10．解：∵a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣124+49＝0，
则（a﹣3）2+（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
∴a＝3，b＝7；
∵△ABC是等腰三角形，
∴①等腰三角形三边长为3，3，7，
∵3+3＝6＜7，
∴3，3，7构不成三角形，
②等腰三角形三边长为3，7，7，
∵3+7＝10＞7，故能构成三角形，
∴△ABC的周长为17，
故答案为：17．
11．解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
∴p＝﹣3，q＝8，
则p+q＝﹣3+8＝5，
故答案为：5．
12．解：根据题意得：x2+4+2x﹣3＝0，即x2+2x+1＝0，
分解因式得：（x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1．
故答案为：﹣1
13．解：根据题意得：3x2﹣6x＝12，即x2﹣2x＝4，
配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x＝1±．
故答案为：1±．
14．解：x2﹣6x+32＝2+32，
（x﹣3）2＝11．
故答案为9．
15．解：若x2＞（x﹣1）2，
则min{（x﹣1）2，x2}＝（x﹣1）2＝3，
∴x1＝+1，x2＝﹣+1（不合题意舍去），
若（x﹣1）2＞x2，
则min{（x﹣1）2，x2}＝x2＝3，
∴x1＝（不合题意舍去），x2＝﹣．
故答案为：﹣或1+．
16．解：移项得x2﹣6x＝4，
配方得x2﹣6x+9＝4+9，
即（x﹣3）2＝13，
开方得，
∴．
17．解：（1）∵（2x﹣1）2﹣3＝0，
∴（2x﹣1）2＝3，
则2x﹣1＝±，
∴x1＝，x2＝；
（2）整理，得：x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
18．解：当y1＝y2时，
∴x2+8x﹣1＝6x+2，
∴x2+6x﹣9＝0，
∴x2+6x+9＝18，
∴（x+3）2＝18，
∴x＝﹣3±3．
即当x＝﹣3±3时，y1＝y2．
19．解：（1）小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第二步开始出现错误，
故答案为：配方法，二；
（2）x2﹣2x＝2，第一步；
x2﹣2x+1＝2+1，第二步；
（x﹣1）2＝3，第三步；
x﹣1＝±，第四步；
x1＝1+，x2＝1﹣，第五步
20．解：（1）∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°，
又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，
则90°+2∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝45°．
（2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根．
理由如下：
由勾股定理得：，
∴
解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0，
（x+b）2＝a2+b2，
得，
∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根；
②∵D为AE的中点，
∴，
由勾股定理得：，
则b2﹣ab＝0，
故b﹣a＝0，
整理得：．
21．解：（1）x2+6x+12
＝（x+3）2+3，
当x＝﹣3时，（x+3）2+3＝3，
因此（x+3）2+3有最小值3，即代数式x2+6x+12的最小值为3；
故答案是：3．
（2）∵﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣1）2+10，
由于（x﹣1）2≥0，所以﹣（x﹣1）2≤0，
当x＝1时，﹣（x﹣1）2＝0，
则﹣x2+2x+9的最大值为10；