第2章一元二次方程 单元综合同步能力达标训练2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合
同步能力达标训练（附答案）
一．选择题（共16小题，满分38分）
1．下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x+3＝；④（a2+a+1）x2﹣a＝0；（5）＝x﹣1，一元二次方程的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　）
A．任意实数
B．m≠1
C．m≠﹣1
D．m＞1
3．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
A．﹣4，2
B．﹣4x，2
C．4x，﹣2
D．3x2，2
4．已知x＝1是二次方程（m2﹣1）x2﹣mx+m2＝0的一个根，那么m的值是（　　）
A．或﹣1
B．﹣或1
C．或1
D．﹣
5．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　）
A．1，5
B．﹣1，3
C．﹣3，1
D．﹣1，5
6．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），此方程可变形为（　　）
A．（x+）2＝
B．（x+）2＝
C．（x﹣）2＝
D．（x﹣）2＝
7．已知一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜x1＜﹣1
B．﹣3＜x1＜﹣2
C．2＜x1＜3
D．﹣1＜x1＜0
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．14
B．12
C．12或14
D．以上都不对
9．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（　　）
A．1
B．1或2
C．2
D．2或3
10．方程x2﹣3|x|+2＝0的最小一个根的负倒数是（　　）
A．1
B．2
C．
D．4
11．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（　　）
A．10cm
B．12
cm
C．16cm
D．12cm或16cm
12．已知（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12＝0，则（x2+y2）的值是（　　）
A．﹣3
B．4
C．﹣3或4
D．3或﹣4
13．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1
B．a＞1且a≠5
C．a≥1且a≠5
D．a≠5
14．已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两实数根，则+的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣
C．
D．1
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是（　　）
A．5
B．﹣1
C．5或﹣1
D．﹣5或1
16．不论x取何值，x﹣x2﹣1的值都（　　）
A．大于等于﹣
B．小于等于﹣
C．有最小值﹣
D．恒大于零
二．填空题（共4小题，满分16分）
17．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　
　．
18．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是　
　．
19．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得　
　．
20．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了　
　人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有　
　人被感染．
三．解答题（共6小题，满分66分）
21．已知x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的实数根，求代数式：的值．
22．已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x＝﹣1为关于x的一元二次方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0的根．
（1）△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
（2）若代数式子有意义，且b为方程y2﹣8y+15＝0的根，求△ABC的周长．
23．用配方法证明x2﹣4x+5的值不小于1．
24．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为　
　元；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利　
　元，平均每天可售出　
　件（用含x的代数式进行表示）；
（3）请列出方程，求出x的值．
26．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2021年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
参考答案
一．选择题（共16小题，满分38分）
1．解：①ax2+bx+c＝0的二次项系数可能为0；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1是一元二次方程；
③x+3＝不是整式方程；
④（a2+a+1）x2﹣a＝0整理得[（a+）2+]x2﹣a＝0，由于[（a+）2+]＞0，故（a2+a+1）x2﹣a＝0是一元二次方程；
⑤＝x﹣1不是整式方程．
故选：B．
2．解：根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，即m≠﹣1，
故选：C．
3．解：把一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0得：
﹣3x2+4x﹣2＝0，
∵a＞0，
∴3x2﹣4x+2＝0，
∴一次项和常数项分别是：﹣4x，2，
故选：B．
4．解：把x＝1代入方程（m2﹣1）x2﹣mx+m2＝0可得（m2﹣1）﹣m+m2＝0，解得m＝﹣或1，又m≠±1
故选：D．
5．解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，
∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得：x＝﹣1或3，
即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，
故选：B．
6．解：ax2+bx+c＝0，
ax2+bx＝﹣c，
x2+x＝﹣，
x2+x+（）2＝﹣+（）2，
（x+）2＝，
故选：A．
7．解：x2﹣x﹣3＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，
x＝，
方程的最小值是，
∵3＜＜4，
∴﹣3＞﹣＞﹣4，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣1＞＞﹣
故选：A．
8．解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7．
当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形；
当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5＝12，
故选：B．
9．解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x2”与面“3x﹣2”相对，面“★”与面“x+1”相对．
因为相对两个面上的数相同，所以x2＝3x﹣2，解得x＝1或x＝2，
又因为不相对两个面上的数值不相同，当x＝2时，∵x+2＝4，3x﹣2＝4，
∴3x﹣2＝x+2，不符合题意，
∴x只能为1，即★＝x+1＝2．
故选：C．
10．解：设|x|＝y
此方程变形为y2﹣3y+2＝0，
∴（y﹣2）（y﹣1）＝0
∴y＝2或y＝1
∴|x|＝2或|x|＝1
∴x＝±2或x＝±1
∴最小的根为﹣2，它的负倒数是
故选：C．
11．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
即AB＝3或4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，
当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，
即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，
故选：C．
12．解：设x2+y2＝t．则由原方程，得
t2﹣t﹣12＝0，
∴（t+3）（t﹣4）＝0，
∴t+3＝0或t﹣4＝0，
解得，t＝﹣3或t＝4；
又∵t≥0，
∴t＝4．
故选：B．
13．解：分类讨论：
①当a﹣5＝0即a＝5时，方程变为﹣4x﹣1＝0，此时方程一定有实数根；
②当a﹣5≠0即a≠5时，
∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根
∴16+4（a﹣5）≥0，
∴a≥1．
∴a的取值范围为a≥1．
故选：A．
14．解：根据题意得m+n＝1，mn＝﹣1，
所以+＝＝＝﹣1．
故选：A．
15．解：∵方程x2﹣mx+2m﹣1＝0有两实根，∴△≥0；
即（﹣m）2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣8m+4≥0，
解得m≥或m≤．
设原方程的两根为α、β，则α+β＝m，αβ＝2m﹣1．
α2+β2＝α2+β2+2αβ﹣2αβ
＝（α+β）2﹣2αβ
＝m2﹣2（2m﹣1）
＝m2﹣4m+2＝7．
即m2﹣4m﹣5＝0．
解得m＝﹣1或m＝5
∵m＝5≤，∴m＝5（舍去）
∴m＝﹣1．故选B
16．解：x﹣x2﹣1＝﹣（x2﹣x）﹣1＝﹣（x2﹣x+﹣）﹣1＝﹣[（x﹣）2﹣]﹣1＝﹣（x﹣）2+﹣1＝﹣（x﹣）2﹣
∵（x﹣）2≥0
∴﹣（x﹣）2≤0
∴﹣（x﹣）2﹣≤﹣
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
17．解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）＝21，
故答案为：x（x﹣1）＝21．
18．解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，
则第一次下调后的价格为200（1﹣x），第二次下调的价格为200（1﹣x）2，
根据题意列得：200（1﹣x）2＝128，
解得：x＝0.2＝20%，或x＝1.8＝180%（舍去），
则这种药品平均每次降价的百分率为20%．
故答案为：20%
19．解：由题意列方程得，
x（x﹣1）＝45．
故答案为：x（x﹣1）＝45．
20．解：患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
依题意列方程：1+x+x（1+x）＝81，即（1+x）2＝81，
解方程得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人，
经三轮传播，将有（1+x）3＝（1+8）3＝729人被感染．
三．解答题（共6小题，满分66分）
21．解：∵x2+3x﹣1＝0．
∴x2+3x＝1．
x（x+3）＝1
∴原式＝÷＝＝．
22．解：（1）△ABC是等腰三角形，△ABC不是等边三角形；
理由如下：
∵x＝﹣1为方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0的根，
∴（c﹣b）+2（b﹣a）+（a﹣b）＝0，
∴c＝a，
∵a、b、c是△ABC的三条边长
∴△ABC为等腰三角形，
∵一元二次方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0，
∴c﹣b≠0，
∴c≠b，
∴△ABC不是等边三角形；
（2）依题意，得，
∴a＝2，
∴c＝a＝2，
解方程y2﹣8y+15＝0得y1＝3，y2＝5；
∵b为方程y2﹣8y+15＝0的根，且b＜a+c，
∴b的值为3，
∴△ABC的周长为7．
23．证明：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
∵无论x取何值，（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+1≥1，
即x2﹣4x+5的值不小于1．
24．解：（1）根据题意得：Δ＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，
解得：k＜；
（2）由k为正整数，得到k＝1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k为完全平方数，
则k的值为2．
25．解：（1）20×45＝900，
故答案为：900；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，
故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；
（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2100，
解得：x1＝10，x2＝30．
因尽快减少库存，故x＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
26．解：（1）设平均增长率为a，根据题意得：
64（1+a）2＝100
解得：a＝0.25＝25%或a＝﹣2.25
四月份的销量为：100?（1+25%）＝125（辆）．
答：四月份的销量为125辆．
（2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆，
根据题意得：2×≤x≤2.8×
解得：30≤x≤35
利润W＝（700﹣500）x+（1300﹣1000）＝9000+50x．
∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．
当x＝35时，不是整数，故不符合题意，
∴x＝34，此时＝13（辆）．
答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车