2021-2022学年九年级数学北师大版上册2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步能力达标训练(word解析版)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》
同步能力达标训练（附答案）
一、选择题
1．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（　　）
A．6
B．10
C．12
D．24
2．若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6
B．12
C．12或
D．6或
3．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3
D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
4．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．2
B．4
C．8
D．2或4
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（OA＞OB），在直线BC上取点P，使△PCD为等腰三角形，则点P的坐标为（　　）
A．（3，0）
B．（7，3）
C．（11，6）
D．（11，6）或（3，0）
6．一个三角形两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．9
B．11
C．13
D．9或13
7．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣5或1
B．﹣1或5
C．1
D．5
8．已知方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣4
B．x1＝﹣1，x2＝﹣4
C．x1＝﹣1，x2＝4
D．x1＝1，x2＝4
9．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（　　）
A．（x+5）（x﹣6）
B．（x﹣5）（x+6）
C．（x+5）（x+6）
D．（x﹣5）（x﹣6）
二、填空题
10．一元二次方程x（x+1）＝0的两根分别为
　
　．
11．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为
　
　．
12．现定义运算“?”，对于任意实数a、b，都有a?b＝a2﹣3a+b；如：3?5＝32﹣3×3+5，若x?2＝6，则实数x的值是　
　．
13．方程（x+1）2＝3（x+1）的解为　
　．
14．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为　
　．
15．已知矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，则矩形的面积为　
　．
16．当x＝　
　时，代数式（x+1）（x﹣5）与（3x﹣1）（x+1）的值相等．
三、解答题
17．解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
18．按照指定方法解下列方程：
（1）x（x﹣2）+3＝0．（自选方法）
（2）3x2﹣6x﹣2＝0．（配方法）
（3）x2﹣9＝2x+6．（因式分解法）
19．解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0时，我们将x2﹣1作为一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣3y＝0．解得y1＝0，y2＝3．当y＝0时，x2﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣1．当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝2或x＝﹣2．所以，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
模仿材料中解方程的方法，求方程（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0的解．
20．阅读理解：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得：y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x＝±．
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x＝±．
∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
运用上述方法解方程：x4﹣8x2+12＝0．
参考答案
1．解：方程x2﹣10x+24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为×4×6＝12．
故选：C．
2．解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
3．解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
故选：B．
4．解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0
解得：x＝4或x＝2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，
故选：A．
5．解：x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∵OA＞OB，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝BC＝＝5，
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∵∠CBM+∠OBA＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM，
∵CM⊥OB，
∴∠BMC＝90°＝∠AOB，
在△BCM和△ABO中，
，
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，
∴OM＝7，
∴C（7，3），
点P与点B重合时，P1（3，0），
点P与点B关于点C对称时，点C是BP的中点，设P（x，y），
∴＝7，＝3，
∴x＝11，y＝6，
则P2（11，6）．
故选：D．
6．解：∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．
故选：C．
7．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
8．解：设t＝x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0化为at2+bt+c＝0，
因为方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3，
所以t1＝2，t2＝﹣3，
当t＝2时，x+1＝2，解得x＝1；
当t＝﹣3时，x+1＝﹣3，解得x＝﹣4，
所以方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4．
故选：A．
9．解：由题意可知：x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，
∴x2+mx+n＝（x﹣5）（x+6）
故选：B．
10．解：方程x（x+1）＝0，
可得x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．
11．解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
而2+3＝5，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为3+4+5＝12．
故答案为12．
12．解：由题意可知：x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x＝4或x＝﹣1．
故答案为：4或﹣1．
13．解：方程变形得：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x+1﹣3）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．
14．解：∴x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得x1＝3，x2＝2，
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，
∵斜边长＝．
故答案为：．
15．解：设矩形的长和宽分别为x1、x2，
根据题意得x1?x2＝20，
所以矩形的面积＝x1?x2＝20．
故答案为20．
16．解：根据题意，得：（x+1）（x﹣5）＝（3x﹣1）（x+1），
∴（x+1）（x﹣5）﹣（3x﹣1）（x+1）＝0，
∴（x+1）（﹣2x﹣4）＝0，
则x+1＝0或﹣2x﹣4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣2．
∴当x＝﹣1或﹣2时，代数式（x+1）（x﹣5）与（3x﹣1）（x+1）的值相等，
故答案为：﹣1或﹣2，
17．解：x（x﹣7）＝8（7﹣x），
x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，
（x﹣7）（x+8）＝0，
x1＝7，x2＝﹣8．
18．解：（1）方程整理得：x2﹣2x+3＝0，
配方得：（x﹣）2＝0，
开方得：x﹣＝0，
解得：x1＝x2＝；
（2）方程整理得：x2﹣2x＝，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）方程整理得：x2﹣2x﹣15＝0，
因式分解得：（x﹣5）（x+3）＝0，
可得x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣3．
19．解：设x2+2x＝m，
则m2﹣2m﹣3＝0，
∴（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m﹣3＝0或m+1＝0，
解得m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，x2+2x＝3，即x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
当m＝﹣1时，x2+2x＝﹣1，即x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
解得x3＝x4＝﹣1；
综上，原方程的解为x1＝﹣3，x2＝1，x3＝x4＝﹣1．
20．解：设y＝x2，在原方程转化为y2﹣8y+12＝0，
整理，得（y﹣2）（y﹣6）＝0，
解得y＝2或y＝6，
则x2＝2或x2＝6，
故x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．