11.2.2三角形的外角 课件（共35张PPT）
文档属性
| 名称 | 11.2.2三角形的外角 课件（共35张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-29 14:54:01 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
人教版
八年级上
三角形
—三角形的外角
情境引入
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和及三角形的外角和．（重点）
4.会利用三角形的外角性质解决问题.
学习目标
1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
三角形的内角和是180
°
2.如图，在△ABC中，
∠A=70°,
∠B=60°,
则∠ACB=
，∠ACD=
.
50°
130°
A
B
C
D
70°
60°
50°
复习引入
B
D
C
A
40
°
70
°
？
●
●
●
问题：周末李明打算去看望生病的好友张强，他从家A处出发，打算去附近的C处超市，给李明买礼物，然后再折回到B处张强家，已知∠BAC=40°,∠ABC=70°,李明从C处要转多少度才能直达B处？
新课引入
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
A
40
°
70
°
？
●
●
●
70
°
110
°
B
C
D
探究新知
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
探究新知
看一看观察∠ACD的特征：
①∠ACD的顶点是
；
②一边AC是
；
③另一边CD是
。
在三角形的一个顶点上
三角形的一条边
三角形中一条边的延长线
A
B
C
D
探究新知
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
探究新知
问题1
如图∠ACD是△ABC的一个外角，那么延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
C
B
A
D
∠DCE不是△ABC的一个外角
∠ACD是△ABC的一个外角
∠BCE是△ABC的一个外角
探究新知
问题2
如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
∠ACD
与∠BCE为对顶角，∠ACD
=∠BCE；
在三角形每个顶点处都有两个外角.
探究新知
A
B
C
4
3
2
1
5
6
画一画
画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
探究新知
1、每一个三角形都有6个外角；
2、每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角。
3、这6个外角中有3对外角相等。
4、每个外角与相应的内角是邻补角。
探究新知
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
探究新知
如图,∠BEC是哪个三角形的外角？
∠AEC是哪个三角形的外角？
∠EFD是哪个三角形的外角？
F
B
E
A
C
D
是△AEC
是△AEC
是△BEF和△DCF
学以致用
（1）图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？
E
A
B
C
D
三角形的外角
相邻的内角
外角ACD的两个不相邻的内角
三角形内角
探究新知
（2）若∠BAC=55°，∠B=60°，试求∠ACB，∠ACD，∠CAE，的度数，并说出你的理由？
E
A
B
C
D
55°
60°
115°
125°
65°
探究新知
解：在△ABC中，由三角形的内角和180°得
∠BAC+∠B+∠ACB=180°
∠ACB=180°-∠BAC-∠B
=180°-55°-60°=65°
∠ACD=180°-∠ACB=115°
∠CAE=180°-∠BAC=125°
探究新知
通过上面的计算，你发现∠ACD，∠CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系？请你试着用自己的语言说一说，你能简述一下推导过程吗？
E
A
B
C
D
55°
60°
115°
125°
65°
∠ACD=∠BAC+∠B
;
∠ACD+∠ACB=180°;
∠ACD＞∠BAC，∠ACD＞∠B
∠CAE=∠B+∠ACB
;
∠CAE+∠BAC=180°;
∠CAE＞∠B，∠CAE＞∠ACB
探究新知
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角与它相邻的内角互补。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
你能用作平行线的方法证明以上结论吗？
探究新知
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1=
∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2=
∠A
，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD=
∠1+
∠2=
∠A+
∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
归纳推理
三角形内角和定理推论1：
A
B
C
D
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵
∠ACD是△ABC的一个外角
∴
∠ACD=
∠A+
∠B.
归纳推理
三角形内角和定理的推论2：
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
应用格式：
∵在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角。
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
归纳推理
例1
如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,
求∠BEC、∠BFC的度数.
∵
∠BEC是△AEC的一个外角，
∴
∠BEC=
∠A+
∠ACE，
∵∠A=42°
，∠ACE=18°，
∴
∠BEC=60°.
∵
∠BFC是△BEF的一个外角，
∴
∠BFC=
∠ABD+
∠BEF，
∵
∠ABD=28°
，∠BEC=60°，
∴
∠BFC=88°。
解：
F
A
C
D
E
B
42°
28°
18°
例题精讲
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80
°
60
°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50
°
32
°
(2)
∠1=40
°,
∠2=140
°
∠1=18
°,
∠2=130
°
巩固练习
练一练：把图形中∠1、∠2、∠3按照由大到小的顺序排列
∠1
＞
∠2
＞
∠3
3
2
1
巩固练习
（1）在一个三角形花坛的外圈走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来的位置时（方向与出发时相同），一共走了多少度？
注意：我们讲三角形的外角和时，是在三角形的每一个顶点处取一个外角相加，得到的和称为三角形的外角和。
如图:
∠1+
∠2+
∠3就是△ABC的外角和。
思考：
∠1+∠2+∠3=
？度
探究新知
例题2：如图△ABC中，有∠1，
∠2，
∠3，三个外角，求∠1+
∠2+
∠3的度数？
B
C
A
1
2
3
例题精讲
解：由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。得：
∠1=∠ABC+∠ACB,
∠2=∠BAC+∠ACB,
∠3=∠BAC+∠ABC,
∵∠ABC+∠BCA+∠ACB=180°
（三角形内角和为180°）
∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC,
∠1+∠2+∠3=2（∠ABC+∠BCA+∠ACB）=360°
你还有其他解法吗？
例题精讲
解法二：三角形的一个外角与它相邻的内角互补。
∠1+∠BAC=180°,
∠2+∠ABC=180°,
∠3+∠ACB=180°,
三个式子相加得：
∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+
∠3+∠ACB=540°,
∵∠ABC+∠BCA+∠ACB=180°
（三角形内角和为180°）
∴∠1+∠2+∠3=360°
你能有作平行线的方法证明以上结论吗？
B
C
A
1
2
3
例题精讲
解法三：过A作AD平行于BC，
∠3＝
∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝
∠BAD，
所以
∠1＋
∠2＋
∠3＝
∠1＋
∠4＋
∠BAD=360°
D
∠2＋
∠
3＝
∠
4＋∠BAD，
结论：三角形的外角和等于360°.
思考
你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
E
F
例题精讲
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.
（
）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.
（
）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.
（
）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（
）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.
（
）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（
）
是在三角形的每一个顶点处取一个外角相加
与它不相邻的两个内角
任何一个与它不相邻的内角
小试牛刀
2、如图D是△ABC的BC边上一点，
∠B=∠BAD,
∠ADC=80°，∠BAC=70°，
求：1）∠B
的度数，
2）∠C的度数。
在△ABC中：
∠B+∠BAC+∠C=180°
∠C=180?-40?-70?=70°
解：∵
∠ADC是△ABD的外角
∴
∠ADC=∠B+∠BAD=80°
∵
∠B=∠BAD
∴∠B=80?×
=40°
40°
A
B
C
D
70°
80°
小试牛刀
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+
∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+
∠
B+∠C+
∠
D+∠E
=
180?.
3.如图，求∠A+
∠B+
∠C+
∠D+
∠E的度数.
能力提升
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
4.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
=________.
360°
能力提升
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360
°
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
人教版
八年级上
三角形
—三角形的外角
情境引入
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和及三角形的外角和．（重点）
4.会利用三角形的外角性质解决问题.
学习目标
1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
三角形的内角和是180
°
2.如图，在△ABC中，
∠A=70°,
∠B=60°,
则∠ACB=
，∠ACD=
.
50°
130°
A
B
C
D
70°
60°
50°
复习引入
B
D
C
A
40
°
70
°
？
●
●
●
问题：周末李明打算去看望生病的好友张强，他从家A处出发，打算去附近的C处超市，给李明买礼物，然后再折回到B处张强家，已知∠BAC=40°,∠ABC=70°,李明从C处要转多少度才能直达B处？
新课引入
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
A
40
°
70
°
？
●
●
●
70
°
110
°
B
C
D
探究新知
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
探究新知
看一看观察∠ACD的特征：
①∠ACD的顶点是
；
②一边AC是
；
③另一边CD是
。
在三角形的一个顶点上
三角形的一条边
三角形中一条边的延长线
A
B
C
D
探究新知
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
探究新知
问题1
如图∠ACD是△ABC的一个外角，那么延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
C
B
A
D
∠DCE不是△ABC的一个外角
∠ACD是△ABC的一个外角
∠BCE是△ABC的一个外角
探究新知
问题2
如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
∠ACD
与∠BCE为对顶角，∠ACD
=∠BCE；
在三角形每个顶点处都有两个外角.
探究新知
A
B
C
4
3
2
1
5
6
画一画
画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
探究新知
1、每一个三角形都有6个外角；
2、每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角。
3、这6个外角中有3对外角相等。
4、每个外角与相应的内角是邻补角。
探究新知
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
探究新知
如图,∠BEC是哪个三角形的外角？
∠AEC是哪个三角形的外角？
∠EFD是哪个三角形的外角？
F
B
E
A
C
D
是△AEC
是△AEC
是△BEF和△DCF
学以致用
（1）图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？
E
A
B
C
D
三角形的外角
相邻的内角
外角ACD的两个不相邻的内角
三角形内角
探究新知
（2）若∠BAC=55°，∠B=60°，试求∠ACB，∠ACD，∠CAE，的度数，并说出你的理由？
E
A
B
C
D
55°
60°
115°
125°
65°
探究新知
解：在△ABC中，由三角形的内角和180°得
∠BAC+∠B+∠ACB=180°
∠ACB=180°-∠BAC-∠B
=180°-55°-60°=65°
∠ACD=180°-∠ACB=115°
∠CAE=180°-∠BAC=125°
探究新知
通过上面的计算，你发现∠ACD，∠CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系？请你试着用自己的语言说一说，你能简述一下推导过程吗？
E
A
B
C
D
55°
60°
115°
125°
65°
∠ACD=∠BAC+∠B
;
∠ACD+∠ACB=180°;
∠ACD＞∠BAC，∠ACD＞∠B
∠CAE=∠B+∠ACB
;
∠CAE+∠BAC=180°;
∠CAE＞∠B，∠CAE＞∠ACB
探究新知
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角与它相邻的内角互补。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
你能用作平行线的方法证明以上结论吗？
探究新知
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1=
∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2=
∠A
，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD=
∠1+
∠2=
∠A+
∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
归纳推理
三角形内角和定理推论1：
A
B
C
D
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵
∠ACD是△ABC的一个外角
∴
∠ACD=
∠A+
∠B.
归纳推理
三角形内角和定理的推论2：
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
应用格式：
∵在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角。
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
归纳推理
例1
如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,
求∠BEC、∠BFC的度数.
∵
∠BEC是△AEC的一个外角，
∴
∠BEC=
∠A+
∠ACE，
∵∠A=42°
，∠ACE=18°，
∴
∠BEC=60°.
∵
∠BFC是△BEF的一个外角，
∴
∠BFC=
∠ABD+
∠BEF，
∵
∠ABD=28°
，∠BEC=60°，
∴
∠BFC=88°。
解：
F
A
C
D
E
B
42°
28°
18°
例题精讲
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80
°
60
°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50
°
32
°
(2)
∠1=40
°,
∠2=140
°
∠1=18
°,
∠2=130
°
巩固练习
练一练：把图形中∠1、∠2、∠3按照由大到小的顺序排列
∠1
＞
∠2
＞
∠3
3
2
1
巩固练习
（1）在一个三角形花坛的外圈走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来的位置时（方向与出发时相同），一共走了多少度？
注意：我们讲三角形的外角和时，是在三角形的每一个顶点处取一个外角相加，得到的和称为三角形的外角和。
如图:
∠1+
∠2+
∠3就是△ABC的外角和。
思考：
∠1+∠2+∠3=
？度
探究新知
例题2：如图△ABC中，有∠1，
∠2，
∠3，三个外角，求∠1+
∠2+
∠3的度数？
B
C
A
1
2
3
例题精讲
解：由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。得：
∠1=∠ABC+∠ACB,
∠2=∠BAC+∠ACB,
∠3=∠BAC+∠ABC,
∵∠ABC+∠BCA+∠ACB=180°
（三角形内角和为180°）
∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC,
∠1+∠2+∠3=2（∠ABC+∠BCA+∠ACB）=360°
你还有其他解法吗？
例题精讲
解法二：三角形的一个外角与它相邻的内角互补。
∠1+∠BAC=180°,
∠2+∠ABC=180°,
∠3+∠ACB=180°,
三个式子相加得：
∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+
∠3+∠ACB=540°,
∵∠ABC+∠BCA+∠ACB=180°
（三角形内角和为180°）
∴∠1+∠2+∠3=360°
你能有作平行线的方法证明以上结论吗？
B
C
A
1
2
3
例题精讲
解法三：过A作AD平行于BC，
∠3＝
∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝
∠BAD，
所以
∠1＋
∠2＋
∠3＝
∠1＋
∠4＋
∠BAD=360°
D
∠2＋
∠
3＝
∠
4＋∠BAD，
结论：三角形的外角和等于360°.
思考
你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
E
F
例题精讲
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.
（
）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.
（
）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.
（
）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（
）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.
（
）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（
）
是在三角形的每一个顶点处取一个外角相加
与它不相邻的两个内角
任何一个与它不相邻的内角
小试牛刀
2、如图D是△ABC的BC边上一点，
∠B=∠BAD,
∠ADC=80°，∠BAC=70°，
求：1）∠B
的度数，
2）∠C的度数。
在△ABC中：
∠B+∠BAC+∠C=180°
∠C=180?-40?-70?=70°
解：∵
∠ADC是△ABD的外角
∴
∠ADC=∠B+∠BAD=80°
∵
∠B=∠BAD
∴∠B=80?×
=40°
40°
A
B
C
D
70°
80°
小试牛刀
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+
∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+
∠
B+∠C+
∠
D+∠E
=
180?.
3.如图，求∠A+
∠B+
∠C+
∠D+
∠E的度数.
能力提升
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
4.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
=________.
360°
能力提升
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360
°
课堂小结
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