2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.2圆的对称性 知识点分类提升训练(word解析版)

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》知识点分类提升训练（附答案）
一．垂径定理
1．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为　
　．
2．如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为　
　．
3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB长度为8，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有　
　个．
4．如图，以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的⊙P与平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是（2，﹣1），则点N坐标为　
　．
5．已知：如图⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为H，OG⊥BC，垂足为G，求证：弦AD＝2OG．
6．如图，在⊙O中，直径AB交弦CD于点E，OF⊥CD，垂足为F，AE＝1，OE＝2，OF＝1．
求ED，EC的长．
7．如图，点P是⊙O内一定点．
（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有　
　条．
8．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有　
　个．
9．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，4），D（0，﹣1），则线段AB的长度为　
　．
10．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．
二．垂径定理的应用
11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径为　
　cm．
12．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为　
　米．
三．圆心角、弧、弦的关系
13．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°，＝，则
∠DAB＝　
　°．
14．有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，如图，点A、B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数等于　
　°
15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
16．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且＝．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；
（2）如图②，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求、的度数．
四．综合训练
18．如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．
19．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．
20．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
参考答案
一．垂径定理
1．解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
∵G（0，2），
∴OG＝2，
在Rt△AGO中，∵AG＝4，OG＝2，
∴AG＝2OG，OA＝＝2，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA＝4，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝4，MG＝CG＝2，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
2．解：∵AQ⊥PD，垂足为Q，
∴∠AQD＝90°，
∴点Q在以AD为直径的圆上，
连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，
连接MO并延长交⊙M于Q′，
当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，
连接OD，
在Rt△ODE中，∵OD＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝4，
∴MA＝MQ′＝2，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，
∴OQ的最小值为．
故答案为．
3．解：连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交⊙O于D，
则AC＝AB＝4，
由勾股定理得，OC＝＝3，
则CD＝2，
∴⊙O上在线段AB的上方存在两个点到直线AB的距离为2，在AB的下方存在一个点到AB的距离为2，
故⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个，
故答案为3．
4．解：过点P作PA⊥MN于点A，如图所示：
∴AM＝MN，
∵以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的⊙P与平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点．
∴∠POB＝∠PAB＝∠ABO＝90°，
∴四边形ABOP是矩形，
∴AB＝OP，PA＝OB＝2，
设OP＝a，
则PM＝OP＝a，
∵点M的坐标是（2，﹣1），
∴BM＝1，
∴AM＝a﹣1，
在Rt△PAM中，PM2＝AM2+PA2，
即a2＝（a﹣1）2+4，
解得：a＝2.5，
∴AM＝1.5，
∴MN＝3，
∴BN＝1+3＝4，
∴点N的坐标为：（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
5．证明：作直径CM，连接BM，DM，AM，
∵OG⊥BC，OG过O，
∴CG＝BG，
∵CO＝OM，
∴BM＝2OG，
∵CM为⊙O直径，
∴∠CDM＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠CHB＝90°，
∴∠CHB＝∠CDM，
∴AB∥DM，
∴∠BAM＝∠AMD，
∴AD＝BM，
∴AD＝2OG．
6．解：∵AE＝1，OE＝2，
∴OA＝OB＝3，
连接OD，
∵OF⊥CD，
∴∠EFO＝∠DFO＝90°，
∴EF＝＝，DF＝＝2，
∵OF⊥CD，
∴DF＝CF＝2，
∴DE＝2+，CE＝2﹣．
7．解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，
则弦AB即为所求；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，
连接OA，如图2所示：
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP＝＝＝12，
∴AB＝2AP＝24，
∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；
②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，
∴长度为25的弦有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，
故答案为：4．
8．解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
又∵点P的坐标为（0，﹣7），
∴BP＝3，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，
在Rt△BCP中，CP＝＝4；
故CD＝2CP＝8，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD＝直径AE＝10；
所以，8≤CD≤10，
所以符合的弦有4条，整数值是8（一条弦），9（两条弦），10（一条弦），
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个，
故答案为：3．
9．解：连接AE，
∵C（0，4），D（0，﹣1），
∴CD＝5，CO＝4，OD＝1，
∴AE＝ED＝2.5，
∴OE＝2.5﹣1＝1.5，
∵x轴⊥y轴，
∴∠EOA＝90°，
在Rt△EOA中，由勾股定理得：AO＝＝＝2，
∵x轴⊥y轴，圆心E在y轴上，
∴AB＝2AO＝4，
故答案为：4．
10．解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，
∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，
在Rt△OEM中，∵OE＝4，
∴，，
∵，
∴，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD＝2DM，
∴，
∵，
∴在Rt△DOM中，，
∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．
二．垂径定理的应用
11．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故答案为：2.5
12．解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，
设圆的半径是r，
则：r2＝402+（r﹣20）2，
解得：r＝50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH＝NH＝MN＝30，
∴EH＝＝40（米），
∵EF＝50﹣20＝30（米），
∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；
故答案为：10．
三．圆心角、弧、弦的关系
13．解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝46°，
∴∠B＝44°．
∴∠ADC＝180°﹣44°＝136°．
∵＝，
∴AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA＝＝22°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝22°+46°＝68°．
故答案是：68．
14．解：如图，连接OA．
.∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴弧AC的度数为120°．
故答案为120．
15．证明：连接BD．
∵AB＝CD，
∴＝
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠B＝∠D，
∴PB＝PD．
16．解：（1）连接DF、DG．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB＝∠DGB＝90°，
∵＝，
∴∠EDF＝∠HDG，
∵∠DFB＝∠EDF+∠A，
∠DGB＝∠HDG+∠C，
∴∠A＝∠C．
（2）结论：α+β+θ＝180°．
理由：如图②中，连接DF，BH．
∵＝，
∴∠ADF＝∠HBG＝θ，
∵∠AFD+∠DFB＝180°，∠DFB+∠DHB＝180°，
∴∠AFD＝∠DHB，
∵∠A+∠ADF+∠AFD＝180°，∠AFD＝∠DHB＝∠C+∠HBG，
∴∠A+θ+∠C+θ＝180°，
∴α+β+θ＝180°．
17．解：连接CD，如图，
∵∠C＝90°，∠B＝28°，
∴∠A＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣2×62°＝56°
∴的度数为56°；
∵∠DCE＝90°﹣∠ACD＝34°，
∴的度数为34°．
四．综合训练
18．解：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴∠A＝∠B，
∴AD∥BC．
19．解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，
∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，
在Rt△OEM中，∵OE＝4，
∴，
∵，
∴，
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD＝2DM，
∴，
∵，
∴在Rt△DOM中，，
∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．
20．证明：连接OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
又∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DC．
21．解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵?AF?BC＝?AC?AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB?CE＝BC?AC，
∴CE＝＝＝．