人教版数学九年级上册24.3 正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系 教案

24.3
正多边形和圆
教学目标
1.
理解正多边形概念和性质，知道正多边形的中心、半径、中心角和边心距．
2.
会画正多边形，了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形，过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．
教学重点
1.
正多边形的画法．
2.
利用正多边形解决有关问题．
教学难点
对正n边形中泛指“n”的理解．
教学过程
一、导入新课
日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案．
你还能举出一些这样的例子吗？
通过生活中的实际例子导入新课的教学．
二、新课教学
1．正五边形的画法．
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE．
求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形．
证明：∵
＝，
∴
AB＝BC＝CD＝DE＝EA，＝3＝．
∴
∠A＝∠B．
同理
∠B＝∠C＝∠D＝∠E．
又
五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴
五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．
2．正多边形的有关概念．
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如图）．
3．实例探究．
例
如图，有一个亭子，它的地基是半径为4
m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
解：如图，连接OB，OC．因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于＝60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．
因此，亭子地基的周长
l＝6×4＝24（m）．
作OP⊥BC，垂足为P，在Rt△OPC中，OC＝4
m，PC＝＝＝2（
m），利用勾股定理，可得边心距
r＝＝2（m）．
亭子地基的
S＝lr＝×24×2≈41.6（m2）．
4．等分圆周．
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．
例如，画一个边长为1.5
cm的正六边形时，可以以1.5
cm为半径作一个⊙O
，用量角器画一个等于＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形（如下图）．
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（下图）．
5．实例探究．
用等分圆周的方法画出下列图案．
提示：第1幅图案．以圆的三等分点为圆心，圆的半径为半径作三条弧．
第2幅图案．以正六边形的各边中点为圆心，正六边形的边长为直径向圆外画半圆，就得到这幅图案．
第3幅图案．作5的内接正五边形，再以正五边形的各个顶点为圆心，边长为半径画十条弧．
三、巩固联系
教材第108页练习1．
四、课堂小结
今天学习了什么，有什么收获？
五、布置作业
习题24.3
第4、6题．