2021-2022学年苏科版八年数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》能力提升训练(word解析版)

2021-2022学年苏科版八年数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角是（　　）
A．40°
B．100°
C．70°
D．100°或40°
2．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，若AB＝6cm，则AC的长为（　　）
A．4m
B．5cm
C．6cm
D．8cm
3．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25°
B．25°或40°
C．25°或
35°
D．40°
4．下列三角形中，不是等边三角形的是（　　）
A．有一个角为60°的等腰三角形
B．有两个外角相等的等腰三角形
C．三个外角都相等的三角形
D．腰上的高也是这条腰上的中线的等腰三角形
5．如图，已知AB∥CD，AC＝BC，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
6．在△ABC中，AB＝BC，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，它们一组较短的直角边分别在AB，BC上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，BP交边AC于点D，则下列结论错误的是（　　）
A．AB＝2AD
B．BP平分∠ABC
C．BD垂直平分AC
D．AD＝DC
7．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（　　）
A．20°
B．140°
C．20°或140°
D．40°或140°
8．如图，点P是∠AOB平分线上的点，过点P作PM∥OB，交OA于点M．若在边OB上有一点N，且PN＝PM，则下列结论一定成立的是（　　）
A．ON＝OM
B．PN＝OM
C．∠OPN＝∠OPM
D．∠ONP+∠OMP＝180°
9．如图，△ABC中，BA＝BC，DE是边AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若AD恰好为∠BAC的平分线，则∠B的度数是（　　）
A．30°
B．36°
C．40°
D．50°
10．如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝118°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　）
A．65°
B．60°
C．56°
D．50°
11．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为（　　）
A．20°
B．15°
C．12°
D．10°
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．下列四个结论中：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论共有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二、填空题
13．如图，等边△ABC的边长为2，BD是高，延长BC到点E，使CE＝CD，则DE的长为　
　．
14．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于　
　．
15．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于　
　．
16．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝　
　．
17．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　
　度．
18．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为　
　cm．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．
参考答案
1．解：分两种情况讨论：
①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；
②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2＝100°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．
故选：D．
2．解：在△ABC中，
∵∠A＝80°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝6cm，
故选：C．
3．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
4．解：A、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故不符合题意；
B、有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故符合题意；
C、三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形，故不符合题意；
D、腰上的高也是这条腰上的中线的等腰三角形是等边三角形，故不符合题意；
故选：B．
5．解：如图所示，
∵AB∥CD，∠1＝70°，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵AC＝BC，
∴∠3＝∠4＝70°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：A．
6．解：如图．
由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE＝PF，
∴BP平分∠ABC，
∵AB＝BC，
∴AD＝DC，BD垂直平分AC，
故选项B、C、D正确，不符合题意；
只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB＝2AD，
故选项A错误，符合题意．
故选：A．
7．解：以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，
∴∠DFF'＝∠DF'F，
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知∠DFB＝∠DEB，
∵DE∥AB，∠ABC＝40°
∴∠DEB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠DFB＝140°；
当点F位于点F'处时，
∵DF＝DF'，
∴∠DF'B＝∠DFF'＝40°，
故选：D．
8．解：∵点P是∠AOB平分线上的点，
∴∠MOP＝∠MPO，
∵PM∥OB，
∴∠MPO＝∠POB，
∴∠MOP＝∠MPO，
∴PM＝OM，
∵PN＝PM，
∴PN＝OM，
故选：B．
9．解：设∠B＝x°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2x°，
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝2x°，
在△ABC中，根据三角形的内角和定理得：x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
故选：B．
10．解：等腰△ABC中，∠ABC＝118°，
∴∠A＝∠C＝31°，
∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，
∴EA＝EB，QB＝QC，
∴∠ABE＝∠QBC＝∠A＝∠C＝31°，
∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠QBC＝118°﹣31°﹣31°＝56°，
故选：C．
11．解：∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∵AB＝BC＝CD．
∴△ABC和△BCD为等腰三角形，∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠ECD＝∠A+∠CDB＝3∠A，CD＝DE，
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD＝∠DEC＝3∠A，
∠EDF＝∠A+∠DEC＝4∠A＝60°，
∴∠A＝15°．
故选：B．
12．解：∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBC，
∵BF∥AC，
∴∠C＝∠FBC，
∴∠ABC＝∠C，
∴AC＝AB，
∵AC＝AB，AD是△ABC的角平分线，
∴DB＝DC，AD⊥BC，B、C选项说法正确；
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，A选项说法正确；
∵△CDE≌△BDF，
∴BF＝CE，
∵AE＝2BF，
∴AB＝AC＝3BF，D选项正确；
故选：A．
13．解：∵△ABC是边长为2的等边三角形，BD是AC边上的高，
∴∠ACB＝60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴BD＝BC?sin60°＝2×＝，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E．
∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E＝60°，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，
∴BD＝DE＝．
故答案为：
14．解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10，
故答案为：10．
15．解：∵用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，
∴OA＝OB，
∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，
∴OA＝AC，
∴OA＝OB＝OC＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°．
故答案为60°．
16．解：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠DCA，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴DE＝EC＝4，
∴AE＝AC﹣EC＝7﹣4＝3，
故答案为：3．
17．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60°，
∵CG＝CD，
∴∠GDC＝30°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
18．证明：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；
∵DF＝BD，CE＝EF，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），
∴EC＝5（cm），
故答案为：5．
19．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
20．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，
∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，
在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴BQ⊥CP．